Hình học không gian - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TRÍ - GIAO LƯU giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Nơi hỏi - yêu cầu sách, vở, tài liệu... giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Các môn học khác

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 02-02-2015, 19:43
Avatar của Học Toán THPT
Học Toán THPT Học Toán THPT đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 20 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 482
Điểm: 160 / 4174
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 41055
 
Tham gia ngày: Dec 2014
Bài gửi: 482
Đã cảm ơn : 120
Được cảm ơn 99 lần trong 73 bài viết

Lượt xem bài này: 944
Mặc định Hình học không gian

Các đa tạp (manifold) là những cấu trúc toán học. Các nhà toán học biết nhiều về các 3-đa tạp (đa tạp ba chiều), nhưng những vấn đề cơ bản nhất của chúng lại luôn là những vấn đề khó nhất. Có một lĩnh vực nghiên cứu các đa tạp được gọi là topology (topo học). Đối với những 3-đa tạp, các nhà topo có thể đặt ra ba câu hỏi căn bản: Dạng nào là dạng đơn giản nhất của 3-đa tạp?,Dạng đơn giản đó có duy nhất hay không? Có những dạng 3-đa tạp nào?
Câu trả lời cho câu hỏi đầu tiên đã được biết từ lâu: hình cầu ba chiều là 3-đa tạp đóng đơn giản nhất. Hai câu hỏi còn lại đã được để ngỏ trong cả một thế kỷ. Mãi đến năm 2002 chúng mới được giải đáp bởi Grigori ("Grisha") Perelman. Nhà toán học người Nga này hiện được coi là đã thành công trong việc chứng minh một định lý mang tầm thế kỷ.
Hình đã gửi

Được phỏng đoán bởi Henri Poincaré 100 năm về trước, định lý này phát biểu rằng, hình cầu ba chiều là duy nhất, không hề có 3-đa tạp nào khác có cùng tính chất đơn giản như nó. Những 3-đa tạp mà phức tạp hơn hình cầu ba chiều thì sẽ có các biên hoặc những liên thông tổ hợp từ vùng này sang vùng khác. Tiên đoán của Poincaré cho rằng, hình cầu ba chiều là 3-đa tạp đóng duy nhất mà không hề có những tính chất phức tạp đó. Bất cứ vật thể ba chiều nào mà có cùng tính chất với hình cầu thì đều có thể đưa về cùng hình dạng với hình cầu. Và theo các nhà topo, vật thể đó chẳng qua chỉ là một bản sao khác của hình cầu ba chiều. Chứng minh của Perelman cũng đã trả lời cho câu hỏi thứ ba: nó đã phân loại toàn bộ các loại 3-đa tạp có thể tồn tại.

Chứng minh phỏng đoán
Sau khi Poincaré đưa ra phỏng đoán về hình cầu ba chiều, cả một nửa thế kỷ đã trôi qua trước khi có những nỗ lực thực sự nhằm chứng minh nó. Trong những năm 1960, các nhà toán học đã chứng minh được những bài toán tương tự cho các hình cầu có 5 chiều hoặc nhiều hơn 5 chiều. Trong mỗi trường hợp, hình cầu n chiều là duy nhất và nó là đa tạp đơn giản nhất trong các đa tạp n chiều. Nghịch lý là ở chỗ, việc chứng minh cho những hình cầu có số chiều nhiều hơn 3 hoặc 4 thì lại dễ hơn. Trường hợp hình cầu 4 chiều từng được coi là đặc biệt khó thì đã được chứng minh vào năm 1982. Chỉ còn lại trường hợp ba chiều gắn liền với phỏng đoán của Poincaré là còn nan giải.

Cho đến tháng 11/2002, người mới có thể nghĩ đến việc khép lại bài toán ba chiều hóc búa khi Perelman, một nhà toán học ở Viện Toán học Steklov, St. Petersburg đăng một bài báo trên www.arxiv.com (một trang web được sử dụng rộng rãi bởi các nhà vật lý và toán học trên toàn thế giới). Bài báo không hề nhắc đến cái tên Poincaré nhưng các chuyên gia topo đã ngay lập tức nhận ra được sự liên quan của nó đến bài toán này. Perelman đăng tiếp một bài báo thứ hai vào tháng 3/2003. Và từ tháng 4 đến tháng 5 năm đó, ông đến Mỹ để thực hiện một loạt các bài seminar về kết quả của mình ở Viện Công nghệ Massachusetts và Đai học Stony Brook. Các nhóm toán học ở hàng chục viện nghiên cứu bắt đầu chú ý đặc biệt đến kết quả của ông, xăm soi đến từng chi tiết nhằm tìm ra các lỗi.

Ở Stony Brook, Perelman dành hai tuần để thực hiện các bài giảng chính thức và không chính thức, nói từ 3 đến 6 tiếng đồng hồ mỗi ngày. "Ông đã trả lời mọi câu hỏi một cách cực kỳ rõ ràng và tường minh", nhà toán học Michael Anderson ở Stony Brook nói", chưa ai có thể đưa ra bất cứ sự nghi ngờ đáng kể nào". Có thêm một bổ đề nhỏ được chứng minh để hoàn tất kết quả, Anderson nói, "nhưng không có nghi ngờ nào về giá trị của công trình này". Bài báo thứ nhất của Perelman là những ý tưởng cơ bản, và đã được chấp nhận vì tính thuyết phục. Bài báo thứ hai là những áp dụng và những lập luận mang tính kỹ thuật hơn.

Có một giải thưởng 1 triệu đôla cho ai chứng minh được phỏng đoán của Poincaré. Đây là một trong bảy "Bài toán Thiên niên kỷ", được chọn ra vào năm 2000 bởi Viện Toán học Clay ở Cambridge. Chứng minh của Perelman cần phải trụ vững được trong hai năm trước sự xem xét kiểm tra của toàn bộ giới toán học để có thể xứng đáng được nhận giải.

Công trình của Perelman đã mở rộng và hoàn tât một chương trình nghiên cứu mà Richard S. Hamilton ở Đại học Columbia đã bắt đầu khai phá từ những năm 1990. Viện Clay đã ghi nhận thành quả của Hamilton với một giải thưởng nghiên cứu vào cuối năm 2003. Những tính toán và phân tích của Perelman đã vượt qua được những chướng ngại mà trước đây Hamilton không thể vượt qua.
Hình đã gửi
Grigori Perelman mô tả chứng minh của ông ở Đại học Princeton (tháng 4/2003)

Những chiếc bánh rán bằng cao su
Để hiểu hơn phỏng đoán Poincaré và chứng minh Perelman, bạn cần phải biết một chút gì đó về topology. Trong lĩnh vực toán học này, hình dạng chính xác của một vật thể là không có giá trị, bởi vì bạn có thể nhào nặn, kéo căng hoặc nén nó lại như một cục bột làm bánh dẻo. Nhưng tại sao chúng ta lại quan tâm đến không gian được làm từ cục bột tưởng tượng này? Lý do liên quan đến một thực tế là, hình dạng chính xác của một vật thể - khoảng cách giữa hai điểm của nó – là một mức của cấu trúc. Và cái đó được gọi là hình học của vật thể. Bằng việc xem xét một cục bột làm báng dẻo, các nhà topo đã khám phá ra rằng, những tính chất của vật thể là cơ bản đến mức chúng tồn tại độc lập với cấu trúc hình học của nó. Nghiên cứu topo cũng giống như sự tìm hiểu các đặc điểm chung của loài người qua việc xem xét ìmột mẫu người bằng đất nặn”, và cái mẫu người ấy có thể được biến hóa theo nhiều cách khác nhau để trở thành những cá nhân cụ thể.

Nếu bạn đã đọc bất cứ một tài liệu liệu phổ biến nào về topology, bạn có lẽ sẽ biết đến một ví dụ kinh điển là, đối với một nhà topo, một cái chén và một cục đất nặn là không thể phân biệt được. Vấn đề là bạn có thể dễ dàng biến một cái chén bằng đất nặn thành một cái bánh rán (mỗi tội là không ăn được). Nói theo kiểu tinh thần của Tết Trung Thu thì đối với một nhà topo, cái bánh dẻo hình con cá và cái bánh dẻo hình hộp chẳng có gì khác nhau cả.

Điều mà các nhà topo quan tâm chủ yếu chính là bề mặt của những quả bóng và những cái bánh rán. Thực ra, topology vẫn cho thấy một sự khác biệt, vật thể hình cầu không thể biến dạng thành hình vòng xuyến được, tức là quả bóng không thể biến thành cái bánh vừng vòng được. Tức là, một quả cầu và một vòng xuyến là những thực thể riêng biệt. Các nhà topo trước đây đã quyết định tìm xem các bao nhiêu thực thể khác biệt về mặt topo như vậy có thể tồn tại, và chúng được đặc trưng hóa như thế nào. Đối với các bề mặt hai chiều, câu hỏi sẽ được rút về một cách gọn gẽ là: bề mặt đó có bao nhiêu cái ìtay cầm”.

Đến cuối thế kỷ 19, các nhà toán học đã biết cách để phân loại các bề mặt. Và một cách tự nhiên, học đã bắt đầu quan tâm đến những đa tạp ba chiều. Câu hỏi đầu tiên được đặt ra là, những hình cầu ba chiều có tương tự như hình cầu hai chiều, tức là sẽ duy nhất về tính đơn giản hay không? Một lịch sử dài cả thế kỷ trong toán học đã theo đuổi câu hỏi cơ bản đó với đầy rẫy những nỗ lực chỉ đem lại thất bại.
Chính Henri Poincaré đã trả lời câu hỏi này bằng trực cảm. Ông là một trong hai nhà toán học xuất chúng nhất đầu thế kỷ 20 (người kia là David Hilbert). Poincaré đã thể hiện tài năng của mình trong tất cả các lĩnh vực toán học, cả thuần túy lẫn ứng dụng. Ngoài việc phát triển một số lớn các lĩnh vực toán học, ông còn đóng góp cho các lý thuyết về cơ học thiên thể, điện từ học, và cả triết học về khoa học.
Poincaré đã phát triển trên phạm vi rộng một lĩnh vực toán học được gọi là topo đại số. Vào khoảng năm 1900, ông đã xây dựng được một phép đo topo cho vật thể, gọi là homotopy. Để xác định homotopy của một đa tạp, hãy tưởng tượng bạn có một vòng kín trong đa tạp đó. Vòng kín có thể được uốn vòng quanh đa tạp theo bất cứ kiểu khả dĩ nào. Khi ấy, chúng ta sẽ hỏi, liệu cái vòng kín có thể luôn luôn co lại thành một điểm chỉ bằng việc di chuyển vòng quanh mà luôn luôn tiếp xúc với đa tạp hay không? Đối với trường hợp hình xuyến, câu trả lời là không. Nếu vòng kín chạy xung quanh chu vi của hình xuyến, nó sẽ co lại theo đường tròn trong của cái bánh vừng vòng, và không thể trở thành một điểm.

Trong một hình cầu n chiều, bất kể bị xoắn lại thế nào thì vòng kín luôn luôn có thể được gỡ rối và co lại thành một điểm. Poincaré đã nhận định rằng, 3-đa tạp duy nhất mà trên đó mọi vòng kín khả dĩ đều có thể co về một điểm chính là một hình cầu ba chiều. Tuy nhiên, ông đã không thể chứng minh được điều này. Đây chính là phỏng đoán Poincaré mà qua nhiều thập kỷ, nhiều người đã cố gắng chứng minh là nó sai bởi vì đơn giản là họ đã không thể chứng minh là nó đúng.

Hình học hóa
Chứng minh của Perelman là thành công đầu tiên có tính thuyết phục cao. Phương pháp của ông là phân tích các đa tạp ba chiều được liên hệ với một thủ tục gọi là sự hình học hóa. Hình học liên hệ với hình dạng thực tế của một vật thể hay đa tạp: đối với hình học, một vật thể là ìđược làm bằng gốm” chứ không phải ìbột bánh dẻo”.

Để biết được Perelman đã sử dụng sự hình học hóa như thế nào, hãy xét cách mà hình học được sử dụng để phân loại các 2-đa tạp, hay các bề mặt Mỗi bề mặt topo được gắn với một hình học đặc biệt duy nhất: theo đó, đường cong của bề mặt được trải ra một cách đồng đẳng trên đa tạp, tức là chỗ nào nó cũng có độ cong như nhau. Đối với hình cầu, hình học duy nhất đó là một mặt cầu hoàn hảo. Dạng quả trứng là một hình học khả dĩ khác, tuy nhiên nó không thỏa mãn điều kiện trên, bởi vì đầu nhỏ của quả trứng sẽ cong hơn đầu to.

Các 2-đa tạp tạo nên ba kiểu hình học. Hình cầu được coi là có độ cong dương, hình xuyến được hình học hóa là phẳng, có độ cong bằng không, giống như mặt phẳng. Tât cả các 2-đa tạp khác mà có từ hai ìtay cầm” trở lên thì đều có độ cong âm, ví dụ như cái yên ngựa. Poincaré cùng với Paul Koebe và Felix Klein đã đóng góp cho sự hình học hóa này. Đó là sự hình học hóa của các 2-đa tạp.

Sẽ là tự nhiên nếu ta thử áp dụng những phương pháp như vậy cho các 3-đa tạp. Liệu có thể tìm ra những hình học duy nhất cho các 3-đa tạp topo mà trên chúng, đường cong cũng trải ra một cách đồng đẳng hay không?

Hóa ra là, các 3-đa tạp rắc rối hơn các 2-đa tạp rất nhiều. Hầu hết các 3-đa tạp đều không thể được gắn với một hình học đồng nhất. Thay vào đó, chúng phải bị cắt thành những mẩu nhỏ, mỗi mẩu có một hình học chính tắc riêng biệt. Hơn nữa, thay vì chỉ có ba hình học cơ bản như trường hợp các 2-đa tạp, các 3-đa tạp có thể có tới tám hình học chính tắc.

Kiểu phân loại này lần đầu tiên được phỏng đoán bởi Thurston vào cuối những năm 1970. Ông và các cộng sự đã chứng minh được một số khía cạnh của nó, nhưng điểm mấu chốt, là toàn bộ hệ phụ thuộc vào phần còn lại vẫn chưa thể nắm bắt được, bao gồm cả phần chứa đựng phỏng đoán Poincaré. Các hình cầu ba chiều có duy nhất hay không? Các công trình của Perelman đã trả lời cho câu hỏi đó, đồng thời đã hoàn thành chương trình Thurston.

Hamilton đã bắt đầu một chương trình phân tích các 3-đa tạp vào đầu những năm 1990, sử dụng một phương trình gọi là dòng Ricci (lấy theo tên nhà toán học Gregorio Ricci-Curbastro), tương tự như phương trình của dòng nhiệt. Trong một vật có sự chênh lệch nhiệt độ, nhiệt lương sẽ truyền một cách tự nhiên từ nơi nóng hơn sang nơi lạnh hơn cho đến khi nhiệt độ tại moi nơi là như nhau. Phương trình dòng Ricci có một hiệu ứng tương tự như vậy xảy ra với độ cong, nó sẽ làm mất dần đi những lồi lõm, tức là làm mất dần đi sự chênh lệch độ cong. Nếu bạn bắt đầu với một hình quả trứng, nó sẽ dần dần trở thành một hình cầu hoàn hảo.
Phép phân tích của Hamilton đã gặp phải một chướng ngại: trong một số trường hợp nhất định, dòng Ricci sẽ khiến một đa tạp bị co thành một điểm. Một ví dụ là khi đa tạp có hình quả tạ tay, tức là hai hình cầu được nối với nhau bằng một trục. Các quả cầu sẽ thu hút vật chất từ cái trục và khiến cho phần giữa trục trở thành một điểm. Một ví dụ khác là khi một que nhỏ được gắn vào một đa tạp, dòng Ricci có thể gây ra một rắc rối được gọi là kỳ dị hình điếu xì-gà. Khi các đa tạp bị biến dạng như thế này, nó sẽ được gọi là kỳ dị và không còn là một đa tạp ba chiều thực sự nữa. Để vượt qua được trở ngại này, người ta đã phải trông cậy vào tài năng của Perelman.

Perelman đã đến Mỹ vào năm 1992 để làm tiến sỹ. Ông học một thời gian ở Đại học New York và Stony Brook, sau đó dành 2 năm ở Đại học California, Berkeley. Perelman nhanh chóng trở thành một tài năng trẻ sáng giá khi chứng minh được những kết quả quan trọng và sâu sắc trong một lĩnh vực hình học. Ông được trao tặng một giải thưởng của Hội Toán học châu Âu (ông đã từ chối nhận) và nhận một lời mời danh dự đọc diễn văn trước Hội đồng Toán Quốc tế. Mùa xuân năm 1995, từ chối những lời mời hấp dẫn của các trung tâm toán học nổi tiếng, Perelman đã trở về nhà mình ở St. Petersburg. ìVề mặt văn hóa, ông là một con người rất Nga,” một đồng nghiệp người Mỹ nhận xét, ìÔng theo chủ nghĩa coi khinh vật chất.”

Sau khi về St. Petersburg, Perelman gần như biến mất trong làng toán học quốc tế. Sau nhiều năm, ông đã chỉ xuất hiện khi gửi e-mail cho các đồng nghiệp cũ để chỉ ra những sai sót trong các công trình mà họ đã đăng trên internet. Những e-mail gửi lại cho ông để hỏi về tình hình công việc thì đều không nhận được trả lời.
Cuối cùng, vào cuối năm 2002, một vài người đã nhận được e-mail của Perelman rằng, ông đã đăng công trình của mình trên mạng, và họ có lẽ sẽ tìm thấy điều gì đó đáng quan tâm trong công trình này. Đó là cuộc tấn công đầu tiên của Perelman đối với phỏng đoán Poincaré. Trong bài báo của mình, ngoài việc nhắc đến Viện Steklov của mình, Perelman tỏ ra biết ơn về số tiền hỗ trợ mà ông đã dành dụm được khi còn làm tiến sỹ ở Mỹ.

Trong công trình của mình, Perelman đã đưa vào một số hạng mới cho phương trình dòng Ricci. Phương trình thu được tuy không loại bỏ những rắc rối về kỳ dị nhưng nó đã cho phép Perelman thực hiện sự phân tích sâu sắc hơn. Với những kỳ dị cho trường hợp đa tạp quả tạ, ông đã chỉ ra rằng, cách ìđiều trị” có thể được tiến hành như sau: cắt đi sự biến dạng của mỗi bên và hàn lại chỗ hở trên mỗi quả tạ bằng một chỏm cầu. Khi ấy dòng Ricci có thể tiếp tục làm biến đổi đa tạp song song với thủ tục ìphẫu thuật” như vậy. Ông cũng chỉ ra rằng, các kỳ dị xì-gà là không thể xảy ra. Theo cách này, một 3-đa tạp bất kỳ có thể được đưa về một tập hợp các mẩu nhỏ, mỗi mẩu có một hình học đồng nhất.

Khi dòng Ricci và phép phẫu thuật được áp dụng cho tất cả các 3-đa tạp khả dĩ, bất cứ đa tạp nào mà cũng ìđơn giản” như hình cầu ba chiều thì cuối cùng nhất thiết phải có cùng hình học đồng nhất như hình cầu ba chiều. Điều đó có nghĩa là về mặt topo, đa tạp cần tìm chính là hình cầu ba chiều và nó là duy nhất.
Hình đã gửi
Poincaré đang nói chuyện với Marie Curie tại Hội nghị Vật lý Solvay lần thứ nhất (Brussels tháng 10/1911). Những người đứng đằng sau (từ trái sang phải) là Ernest Rutherford, Heike Kamerlingh Onnes và Albert Einstein. Đây là lần duy nhất Einstein và Poincaré gặp nhau. Poincaré đã mất sau đó 9 tháng.


Ngoài việc chứng minh phỏng đoán Poincaré, nghiên cứu của Perelman còn rất quan trọng cho những kỹ thuật phân tích mới, các nhà toán học cũng đang áp dụng công trình của ông để đi tìm lời giải cho những bài toán khác. Thêm vào đó, toán học cũng có những mối liên hệ kỳ lạ với vật lý. Dòng Ricci thực ra là có liên quan đến cái gọi là nhóm tái chuẩn hóa, xác định sự thay đổi cường độ của các tương tác phụ thuộc vào năng lượng lượng va chạm. Chẳng hạn, ở những năng lượng thấp, tương tác điện từ có cường độ được đặc trưng bởi con số 0,0073 (khoảng 1/137). Nếu hai electron va vào nhau ở tốc độ gần với ánh sáng, cường độ khi ấy sẽ là xấp xỉ 0,0078.

Tăng năng lượng va chạm là tương đương với nghiên cứu lực ở khoảng cách gần hơn. Do dó, nhóm tái chuẩn hóa giống như một chiếc kính hiển vi với độ phóng đại có thể thay đổi để khảo sát một quá trình ở những mức độ tinh tế khác nhau. Tương tự như vậy, dòng Ricci là chiếc kính hiển vi dùng để quan sát các đa tạp ở một độ phóng đại được chọn. Những lồi lõm nhìn thấy được ở một độ phóng đại này có thể biến mất ở một độ phóng đại khác. Các nhà vật lý mong đợi rằng, ở thang chiều dài Planck (khoảng 10-35m), không gian mà chúng ta đang sống sẽ trông hoàn toàn khác, nó sẽ lổn nhổn với những vòng kín, ìtay cầm” và các cấu trúc topo khác. Toán học mô tả sự thay đổi các lực vật lý là rất giống với toán học mô tả sự hình học hóa của một đa tạp.

Một mối liên hệ khác với vật lý là ở chỗ các phương trình thuyết tương đối tổng quát. Chúng mô tả lực hấp dẫn và cấu trúc trên phạm vi lớn của vũ trụ, được liên hệ gần gũi với phương trình dòng Ricci. Hơn nữa, số hạng mà Perelman đã thêm vào thực ra là nảy sinh trong lý thuyết dây, một lý thuyết lượng tử về hấp dẫn. Chúng ta hãy chờ xem những khám phá của Perelman có đem lại điều gì mới cho lý thuyết tương đối tổng quát và lý thuyết dây hay không.

Trần Trung lược dịch (Theo Tạp chí Tia Sáng).
---------------------------------------------------------------------
Trong thời gian ở Trung Quốc, Khâu Thành Đồng - nhà toán học gốc Hoa duy nhất đến nay đoạt Huy chương Fields - đến tìm học trò cũ Chu Hi Bình, trưởng khoa toán ĐH Tôn Dật Tiên; trước đó, Khâu đã tuyển Chu và một đệ tử khác của mình, Tào Hoài Đông, giáo sư ĐH Lehigh, vào công việc kiểm chứng lời giải của Perelman. ìChúng ta phải tìm hiểu xem bài báo của Perelman có toàn vẹn không” - Khâu Thành Đồng nói với họ.
Tháng 4/2006, tạp chí Toán học Châu Á (A.J.M) do Khâu Thành Đồng đồng chủ biên đã đăng bài báo của Chu và Tào ìBài chứng minh hoàn thiện các giả thuyết Poincaré và hình học hóa: Ứng dụng của Lý thuyết Hamilton-Perelman về dòng Ricci” với lời bình luận: ìbài chứng minh này nên được coi là một thành tựu to lớn của Lý thuyết Hamilton-Perelman về dòng Ricci”.
Tháng 6/2006, Khâu bắt đầu quảng bá công lao của hai học trò trong việc nghiên cứu giải quyết giả thuyết Poincaré: ìHamilton đóng góp hơn 50%, người Nga, Perelman đóng góp khoảng 25%, và người Trung Quốc: Khâu, Chu và Tào, đóng góp khoảng 30%”. (Một nhà toán học hàng đầu đôi khi cũng có phép cộng kì cục như vậy!) Những động thái trên khiến giới toán học có cảm giác Khâu đang tước đoạt những công lao của Perelman trong việc giải quyết hoàn toàn giả thuyết Poincaré. Perelman thì cho rằng: ìCó vẻ như Chu không hiểu lắm bài báo của tôi và chỉ cố gắng xây dựng lại lời giải”. Còn về Khâu Thành Đồng, ông nói: ìTôi không thể nói rằng tôi bị xúc phạm. Có những người khác còn làm những điều xấu xa hơn..."
Trong khi Khâu Thành Đồng đang nỗ lực quảng bá cho công lao của học trò mình thì 9 nhà toán học lỗi lạc của Hiệp hội Toán học thế giới (International Mathematical Union, I.M.U) đã nhất trí chọn Perelman là người được nhận huy chương Fields với công trình của anh về Giả thuyết Poincare; và Chủ tịch John M. Ball đã đến St. Petersburg thuyết phục Pérelman đến nhận giải thưởng trong lễ trao giải công khai tại Đại hội của Hiệp hội Toán học thế giới (4 năm tổ chức 1 lần) vào ngày 22/8 tại Madrid. Thế nhưng những gì mà Ball nhận được chỉ là một câu nói đơn giản: "Tôi từ chối".
Mikhail Gromov, nhà hình học người Nga, nói rằng ông hiểu được lô-gích của Perelman: ìĐể làm được những công việc vĩ đại, bạn phải có một tinh thần thanh khiết. Bạn chỉ có thể suy nghĩ về Toán học mà thôi. Bất cứ điều gì khác đều là điểm yếu của con người. Đồng ý nhận giải thưởng cũng là một điểm yếu. Những nhà khoa học lý tưởng chỉ làm khoa học và không quan tâm đến gì khác”.


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 02-02-2015, 19:51
Avatar của Học Toán THPT
Học Toán THPT Học Toán THPT đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 20 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 482
Điểm: 160 / 4174
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 41055
 
Tham gia ngày: Dec 2014
Bài gửi: 482
Đã cảm ơn : 120
Được cảm ơn 99 lần trong 73 bài viết

Mặc định Dịnh li

Định lý Fermat cuối cùng (Fermat’s Last Theorem, dưới đây viết tắt là FLT - người dịch) mãi tới gần đây vẫn là bài toán chưa giải được nổi tiếng nhất trong toán học. Vào giữa thế kỷ 17, Pierre de Fermat đã viết rằng không có giá trị n > 2 nào có thể thỏa mãn phương trình ì,” trong đó là các số nguyên. Ông cam đoan rằng ông đã có một cách chứng minh đơn giản định lý này, nhưng tới nay người ta chưa tìm thấy tài liệu nào về điều đó. Kể từ lúc đó, vô số nhà toán học chuyên và không chuyên đã cố tìm một chứng minh hợp lệ (và nghi ngờ rằng liệu Fermat có thật có chứng minh đó hay không). Vào năm 1994, Andrew Wiles tại Princeton University tuyên bố rằng ông đã khám phá ra cách chứng minh trong khi nghiên cứu về một bài toán hình học tổng quát hơn.

Helen G. Grundman, giáo sư toán tại Byrn Mawr College, đánh giá tình hình của cách chứng minh đó như sau:
ìTôi nghĩ là ta có thể nói, vâng, các nhà toán học hiện nay đã bằng lòng với cách chứng minh FLT đó. Tuy nhiên, một số sẽ cho là chứng minh đó của một mình Wiles mà thôi. [Thật ra] chứng minh đó là công trình của nhiều người. Wiles đã có đóng góp đáng kể và là người kết hợp các công trình lại với nhau thành cái mà ông đã nghĩ là một cách chứng minh. Mặc dù cố gắng khởi đầu của ông được phát hiện sau đó là có sai lầm, Wiles và người phụ tá Richard Taylor đã sửa lại được, và nay đó là cái mà ta tin là cách chứng minh đúng FLT.
ìChứng minh mà ta biết hiện nay đòi hỏi sự phát triển của cả một lãnh vực toán học chưa đuợc biết tới vào thời Fermat. Bản thân định lý được phát biểu rất dễ dàng và vì vậy xem ra có vẻ đơn giản một cách giả tạo; bạn không cần biết rất nhiều về toán để hiểu bài toán. Tuy nhiên, để rồi nhận ra rằng, theo kiến thức tốt nhất của bạn, cần phải biết rất nhiều về toán mới có thể giải được nó. Vẫn là một câu hỏi chưa có lời đáp rằng liệu có hay không một cách chứng minh FLT mà chỉ liên quan tới toán học và các phương pháp đã có vào thời Fermat. Chúng ta không có cách nào trả lời trừ phi ai đó tìm ra một chứng minh như vậy.

Glenn H. Stevens ở khoa toán tại Boston University cho biết thêm:
ìVâng, các nhà toán học bằng lòng rằng FLT đã được chứng minh. Cách chứng minh của Andrew Wiles theo ‘semistable modularity conjecture’ – phần mấu chốt của cách chứng minh của ông – đã được kiểm tra cẩn thận và thậm chí đơn giản hóa. Trước khi có chứng minh của Wiles, người ta đã biết FLT sẽ là một hệ quả của modularity conjecture, kết hợp nó với một định lý lớn khác theo Ken Ribet và dùng các ý tưởng mấu chốt từ Gerhard Frey và Jean-Pierre Serre.
ìTôi muốn hỏi câu hỏi thứ hai này bằng một cách khác. Nói cho cùng, làm sao chúng ta có thể may mắn tới mức tìm ra một cách chứng minh? Nhà bác học Đức Karl Gauss tổng kết thái độ của nhiều nhà toán học chuyên nghiệp trước-1985 khi vào năm 1816 ông đã viết: ‘Tôi thú nhận rằng FLT, như một định đề (proposition) cô lập, không thu hút tôi cho lắm, vì tôi có thể dễ dàng đưa ra vô số các định đề như vậy, mà chúng không thể đuợc chứng minh hay bị bác bỏ.’ Dù sao chúng ta cũng đã gặp may và xoay sở để cứu FLT khỏi cảnh cô lập của nó bằng cách liên hệ với vài nhánh quan trọng của toán học hiện đại, đặc biệt là các dạng theory of modular. Có thật là chỉ nhờ may mắn? Có bao nhiêu trong số ‘vô số địnhđề’ của Gauss cũng có thể được chuyển đổi đầy ma thuật và tạo khả năng khai thác những công cụ mạnh mẽ của toán học hiện đại? FLT chỉ mới là khởi đầu. Vẫn còn nhiều cuộc thám hiểm hấp dẫn phía trước chúng ta.

Và Fernando Q. Gouvêa, trưởng khoa toán và khoa học máy tính tại Colby College, cho thêm thông tin:

ìChứng minh đầy đủ FLT bao gồm trong 2 bài báo, một bởi Andrew Wiles và một được viết chung bởi Wiles và Richard Taylor, tạo nên toàn bộ nội dung số tháng 5/1995 của tờ Annals of Mathematics :huh:, một tạp chí xuất bản tại Princeton University. Việc xuất bản tạp chí dĩ nhiên ngụ ý là những người xét duyệt đã công nhận rằng bài báo là đúng.

ìVào mùa hè 1995, đã có một hội nghị lớn tổ chức tại Boston University để đi sâu vào chi tiết của bài chứng minh. Các chuyên gia trong mỗi lãnh vực liên quan đã có bài phát biểu giải thích nền tảng và nội dung công trình của Wiles và Taylor. Sau khi khảo sát bài chứng minh quá kỹ lưỡng đến như vậy, cộng đồng toán học cảm thấy thoải mái khi công nhận rằng nó đúng.

ìCâu hỏi thứ hai khó trả lời hơn nhiều. Dĩ nhiên, rất có thể nguyên nhân cần một thời gian dài để chứng minh định lý là chúng ta không đủ thông minh! Nhưng xem ra không phải vậy khi ta thấy biết bao nhiêu nhà toán học lỗi lạc đã suy nghĩ về nó qua nhiều thế kỷ. Vậy thì tại sao bài chứng minh lại khó như vậy?

ìThứ nhất FLT là một phát biểu rất tổng quát: ứng với không số mũ n>2 nào làm cho phương trình Fermat có lời giải. Dễ dàng hơn nhiều khi cố gắng giải bài toán ứng với một số mũ cụ thể. Thí dụ, trong một lá thơ, Ferma đã giải thích làm sao để chứng minh với n=4; Euler vào thế kỷ 18 đã có thể đưa ra cách chứng minh cho trường hợp n=3, và vân vân. Thực sự, ngay trước công trình của Wiles, các nhà toán học đã chỉ ra rằng không có lời giải cho định lý đối với các số lên tới n=4,000,000 hay cỡ đó. Xem ra đó là rất nhiều số, nhưng tất nhiên, nó chưa hề thậm chí làm xây xát bề mặt của điều đoan quyết nói về tất cả số mũ.

ìVấn đề khác là đoan quyết của Fermat luôn luôn có vẻ như, bên lề (**). Thật khó khăn khi nối kết FLT với các phần khác của toán học, điều đó có nghĩa là các ý tưởng toán học đầy sức mạnh có thể không nhất thiết áp dụng được. Sự thật là, nếu có ai nhìn vào lịch sử của định lý sẽ thấy rằng những bước tiến lớn nhất khi nghiên cứu hướng về một cách chứng minh xuất hiện khi vài liên hệ với các lãnh vực toán khác được tìm thấy. Thí dụ, công trình của nhà toán học Ba lan Ernst Eduard Kummers vào giữa thế kỷ 19 xuất hiện từ sự liên hệ FLT với các theory of cyclotomic fields. Và Wiles không phải là ngoại lệ: chứng minh của ông phát triển từ công trình của Frey, Serre và Ribet liên kết phát biểu của Fermat với theory of elliptic curves. Một khi mối liên hệ đã được thiết lập, và người ta biết rằng chứng minh được Modularity Conjecture cho các đường cong elliptic sẽ dẫn tới cách chứng minh FLT, là có lý do để hy vọng. Công trình của Wiles cho thấy niềm hy vọng đó đã được xác nhận.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 02-02-2015, 19:51
Avatar của Học Toán THPT
Học Toán THPT Học Toán THPT đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 20 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 482
Điểm: 160 / 4174
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 41055
 
Tham gia ngày: Dec 2014
Bài gửi: 482
Đã cảm ơn : 120
Được cảm ơn 99 lần trong 73 bài viết

Mặc định Toán học có là cội nguồn của thực tại ?

Vào cuối thế kỉ 19, khi James Clerk Maxwell nhận ra rằng ánh sáng là sóng điện từ, các phương trình của ông cho thấy tốc độ ánh sáng phải là khoảng 300.000 km/s. Con số này gần với giá trị mà các nhà thực nghiệm đo được, nhưng các phương trình Maxwell để lại một cái kết mè nheo lỏng lẻo: 300.000 km/s so với cái gì? Thoạt đầu, các nhà khoa học theo đuổi giải pháp tạm thời là một chất vô hình thấm đẫm toàn không gian vũ trụ, “ether”, làm hệ quy chiếu chuẩn.

Vào đầu thế kỉ 20, Einstein cho rằng các nhà khoa học cần xem xét các phương trình Maxwell nghiêm túc hơn. Nếu các phương trình Maxwell không nhắc tới một hệ quy chiếu chuẩn, thì không cần có một chuẩn quy chiếu nào cả. Tốc độ ánh sáng, Einstein khẳng định mạnh, là 300.000 km/s so với bất kì cái gì. Các chi tiết lịch sử có nhiều cái hấp dẫn, nhưng tôi đang nói tới một cái lớn hơn: mọi người đều đã biết tới toán học của Maxwell, nhưng cần sự thiên tài của Einstein để lĩnh hội nó một cách trọn vẹn. Giả thuyết của ông rằng tốc độ ánh sáng là tuyệt đối đã cho phép ông đột phá bước đầu tiên đến với thuyết tương đối hẹp – làm xoay chuyển hàng thế kỉ nhận thức về không gian, thời gian, vật chất và năng lượng – và cuối cùng là đến với thuyết tương đối rộng, lí thuyết của sự hấp dẫn vẫn là cơ sở cho mô hình vũ trụ vận hành hiện nay của chúng ta.

Đây là một ví dụ hay của cái mà nhà khoa học đoạt giải Nobel Steven Weinberg muốn nói tới khi ông viết: “Sai lầm của chúng tôi không phải là chúng tôi xem xét các lí thuyết của mình quá nghiêm túc, mà là chúng tôi không xem xét chúng đủ nghiêm túc.” Weinberg đang muốn nói tới một đột phá lớn khác trong lĩnh vực vũ trụ học, tiên đoán của Ralph Alpher, Robert Herman và George Gamow về sự tồn tại của bức xạ nền vi sóng vũ trụ, ánh le lói của vụ nổ lớn Big Bang. Tiên đoán này là một hệ quả trực tiếp của thuyết tương đối rộng kết hợp với nhiệt động lực học căn bản. Nhưng nó chỉ phát sinh nổi bật sau khi được khám phá lí thuyết hai lần, cách nhau hơn chục năm, và rồi được quan sát thấy qua một hoạt động may mắn tình cờ.

Để chắc chắn, nhận xét của Weinberg phải được áp dụng thận trọng. Mặc dù bàn làm việc của ông ngổn ngang những công thức toán học đã được chứng minh có tương quan với thế giới thực, nhưng mỗi phương trình mà các nhà lí thuyết chúng ta chắp vá còn xa mới phát triển tới mức đó. Khi không có những kết quả thực nghiệm thuyết phục, thì việc xác định cơ sở toán học nào nên được xem xét nghiêm túc mang tính nghệ thuật nhiều ngang như khoa học vậy.
nhatthuc.jpg
Những người khác còn hiểu cơ sở toán học của thuyết tương đối đầy đủ hơn cả Einstein

Einstein là một bậc thầy của nghệ thuật đó. Trong thập niên sau khi thiết lập lí thuyết tương đối hẹp của ông vào năm 1905, ông đã trở nên quen thuộc với các lĩnh vực toán học mà đa số các nhà vật lí có biết chút ít hoặc chẳng biết gì. Khi ông mò mẫm hướng đến những phương trình cuối cùng của thuyết tương đối rộng, Einstein đã thể hiện một kĩ năng hiếm có trong việc nhào nặn những cấu trúc toán học này với bàn tay săn chắc của trực giác vật lí. Khi ông nhận được tin rằng các quan sát nhật thực năm 1919 đã xác nhận tiên đoán của thuyết tương đối rộng rằng ánh sáng sao sẽ truyền đi theo đường cong, ông lưu ý rằng nếu các kết quả là khác, thì ông “sẽ xin lỗi ngài huân tước thân mến, vì lí thuyết là đúng mà.”

Tôi đảm bảo rằng số liệu thuyết phục ủng hộ thuyết tương đối rộng đã làm thay đổi giọng điệu của Einstein, nhưng nhận xét trên cho thấy làm thế nào một hệ phương trình toán học, qua lô gic nội tại khéo léo của chúng, cái đẹp tiềm ẩn của chúng và khả năng của chúng cho sự ứng dụng rộng rãi, dường như có thể bộc lộ thực tại. Hàng thế kỉ khám phá đã chứng minh nhiều cho khả năng của toán học làm biểu lộ những sự thật bí ẩn về sự vận hành của thế giới; những bước ngoặt vĩ đại trong vật lí học đã hiển hiện hết lần này đến lần khác từ sự tuân theo sự chỉ dẫn của toán học.

Tuy nhiên, có một giới hạn đối với mức xa mà Einstein sẵn sàng theo đuổi cơ sở toán học của riêng ông. Ông không xem xét thuyết tương đối rộng “đủ nghiêm túc” để tin tưởng sự tiên đoán của nó về những lỗ đen, hay tiên đoán một vũ trụ giãn nở. Những người khác lĩnh hội các phương trình Einstein còn đầy đủ hơn cả ông, và những thành tựu của họ đã đưa đến hành trình tìm hiểu vũ trụ học trong gần một thế kỉ qua. Thay vậy, trong khoảng 20 năm cuối đời mình, Einstein đã lao mình vào nghiên cứu toán học, say mê vươn tới thành tựu mơ ước là một lí thuyết thống nhất của vật lí học. Nhìn lại, người ta không thể giúp gì mà kết luận rằng trong những năm tháng này ông đã đi quá xa – một số người nói là mù quáng – vào mớ bòng bong của các phương trình mà với chúng ông liên tục bị bao vây.Thỉnh thoảng, cả Einstein cũng có quyết định sai lầm về những phương trình nào nên xem xét nghiêm túc và những phương trình nào thì không nên.

Cơ học lượng tử cung cấp một trường hợp khác nghiên cứu song đề này. Trong hàng thập niên sau khi Erwin Schrödinger viết ra phương trình của ông cho sự diễn tiến hàm sóng lượng tử vào năm 1926, nó được xem là chỉ tương quan với những cái rất nhỏ: các phân tử, nguyên tử và các hạt. Nhưng vào năm 1957, Hugh Everett đã đi theo tiếng vọng của Einstein hồi nửa thế kỉ trước đó: xem xét toán học một cách nghiêm túc. Everett cho rằng phương trình Schrödinger nên áp dụng cho mọi thứ bởi vì mọi thứ vật chất, bất kể kích cỡ, được cấu tạo từ các phân tử, nguyên tử và các hạt dưới nguyên tử diễn tiến theo các quy luật xác suất. Việc áp dụng lô gic này cho thấy không phải chỉ các thí nghiệm diễn tiến theo kiểu này, mà các nhà thực nghiệm cũng thế. Điều này khiến Everett đi tới khái niệm của ông về một “đa vũ trụ” lượng tử trong đó toàn bộ mọi kết cục được hiện thực hóa trong một mảng mênh mông của những vũ trụ song song.

Hơn 50 năm sau, chúng ta vẫn không biết liệu cách tiếp cận của ông có đúng hay không. Nhưng bằng cách xem xét cơ sở toán học của thuyết lượng tử một cách nghiêm túc – hoàn toàn nghiêm túc – có lẽ ông đã có một trong những phát hiện nổi bật nhất của sự thám hiểm khoa học. Đa vũ trụ trong vô số dạng thức kể từ đó đã trở thành một đặc điểm toán học rộng khắp mang đến cho chúng ta một sự hiểu biết sâu sắc hơn của thực tại. Ở dạng sâu xa nhất của nó, “đa vũ trụ tối hậu”, mỗi vũ trụ khả dĩ được phép bởi toán học tương ứng với một vũ trụ thực tế. Xét đến thái cực này, thì toán học là thực tại.

Nếu một số hay toàn bộ nền tảng toán học buộc chúng ta nghĩ về những vũ trụ song song tỏ ra có tương quan với thực tại, thì câu hỏi nổi tiếng của Einstein – phải chăng vũ trụ có những tính chất mà nó có chỉ bởi vì không một vũ trụ nào đó khác là có thể – sẽ có một câu trả lời dứt khoát: không. Vũ trụ của chúng ta không phải là vũ trụ khả dĩ duy nhất. Những tính chất của nó có thể khác, và thật vậy những tính chất của những vũ trụ khác có thể cũng khác. Nếu vậy thì việc tìm kiếm một lời giải thích căn bản lí giải tại sao những cái nhất định lại như chúng vốn thế là chuyện vô nghĩa. Khả năng thống kê hay sự ngẫu nhiên thuần túy sẽ ấn sâu vào kiến thức của chúng ta về vũ trụ hết sức bao la.
Tôi không biết đây có là cách mà vạn vật hóa ra sẽ là thế hay không. Chẳng ai biết cả. Nhưng chỉ qua sự đấu tranh gan dạ chúng ta mới có thể học được những giới hạn của mình. Chỉ qua sự say mê theo đuổi các lí thuyết, cho dù là những lí thuyết đưa chúng ta vào những vương quốc kì lạ và xa lạ - bằng cách xem xét toán học một cách nghiêm túc – chúng ta thật sự có một cơ hội làm sáng tỏ những mảng rộng còn ẩn náu của thực tại.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 02-02-2015, 19:52
Avatar của Học Toán THPT
Học Toán THPT Học Toán THPT đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 20 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 482
Điểm: 160 / 4174
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 41055
 
Tham gia ngày: Dec 2014
Bài gửi: 482
Đã cảm ơn : 120
Được cảm ơn 99 lần trong 73 bài viết

Mặc định ]Những phát minh trong toán học

LÝ THUYẾT SỐ
Hệ đếm (thiên kỷ III trước CN)
Như các bảng bằng đất sét tìm thấy ở Sure và Uruk (hiện nay là Warka, Irac) hoặc muộn hơn nhiều, ở Nippur (Babilon, 2200-13550) cho thấy, hệ đếm đã được ghi chép lại vào thiên kỷ III trước CN. Hệ đếm Babilon thông minh là một hệ đếm cơ số 60. Cách tính thời gian của chúng ta là bắt nguồn từ đó. Không tồn tại số không, những đơn vị vắng mặt (thiếu), đơn giản được biểu thị bằng một chỗ khuyết.
Còn hệ đếm cổ của người Maya là một hệ thống cơ số 20 theo 10 ngón tay và 10 ngón chân. Hệ thống của họ đã là một hệ đếm theo vị trí và có một số không ở đầu cùng vốn không phải là một toán tử.
Vào thế kỷ V trước CN, người Hy lạp đã sử dụng các chữ trong bảng chữ cái. Đối với các số hàng nghìn người ta lấy lại chín chữ cái đầu tiên kèm theo một dấu phẩy bên trái các chữ cái đó (a có giá trị là 1 và ,a có giá trị là 1000). Hệ đếm này, vốn không có số không, đã được sử dụng suốt một thiên kỷ. Người Hêbrơ và người Arap đã làm cho hệ thống đếm này phù hợp với bảng chữ cái của họ. lúc bấy giờ các tính toán được thực hiện với các bàn tính, dụng cụ gảy bằng tay gồm nhiều hàng. Ở đó các chữ số biểu thị bằng những viên sỏi (từ ìtính toán” bắt nguồn từ calculus, có nghĩa là viên sỏi).

Hệ đếm hiện nay (thế kỷ V)
Chính vào thế kỷ V sau CN, ở Ấn Độ đã xuất hiện hệ đếm thập phân, sử dụng mười chữ số từ 0 đến 9 như chúng ta đã biết hiện nay. Năm 829, nhà bác học M.ibn Musa Khwarizm’i (780-850) đã xuất bản một cuốn sách đại số, ở đó ông đã chấp nhận hệ đếm thập phân. Tu sĩ xứ Auvergne là Gorbert đã bắt đầu tìm hiểu các chữ số ìArap” trong chuyến du ngoạn (980) tới Cordoue ở Tây Ban Nha và đã có thể bắt đầu truyền bá những ký hiệu đó khi đã trở thành Giáo hoàng Sylvestre II vào tháng 4 năm 999. Nhưng phải chờ tới L. Fibonacci, còn gọi là Léonard de Pise, mà nhờ có tác phẩm Liber Abaci của ông viết năm 1202, thì khoa học Arập mới được truyền bá ở châu Âu. Vào năm 1440, với ự phát minh ra nghề in thì mười chữ số mới có được hình dạng cố định cuối cùng.

Số không (thế kỷ IV trước CN)
Hệ đếm Babilon được hoàn thiện vào thế kỷ IV trước CN bở sự xuất hiện của số không trong các văn bản toán học, hoặc ở đầu một con số, hoặc ở giữa, nhưng không bao giờ ở cuối. Từ số không (zero) bắt nguồn từ từ Synya, có nghĩa là ìkhông có gì” trong tiếng Phạn; nó trở thành sifr trong tiếng Arap và được L. Fibonacci La tinh hoa thành zephirum. Nó được gọi là số không (zero) vào năm 1491 trong một khảo luận ở Florence.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #5  
Cũ 02-02-2015, 19:53
Avatar của Học Toán THPT
Học Toán THPT Học Toán THPT đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 20 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 482
Điểm: 160 / 4174
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 41055
 
Tham gia ngày: Dec 2014
Bài gửi: 482
Đã cảm ơn : 120
Được cảm ơn 99 lần trong 73 bài viết

Mặc định Số nguyên tố (thế kỷ II trước CN)

Số nguyên tố (thế kỷ II trước CN)
Sau Euclide, vốn vào thế kỷ II trước CN đã chứng minh rằng tập hợp số nguyên tố và vô hạn, thì sàng Ératosthène (khoảng 284-192) là phương pháp đầu tiên được sử dụng trong việc tìm các số nguyên tố trong một giới hạn nào đó.
Nhưng chính từ ìđịnh lý nhỏ” của Fermat (1640) mà E. Lucas người Pháp, vào năm 1876 đã hiệu chỉnh một số phương pháp nghiên cứu tính số nguyên tố của một số số lớn. Số nguyên tố lớn nhất đã biết là (2 ^216091 – 1) - khoảng 65050 chữ số (đây là con số lớn nhất vào thời điểm cuốn sách này ra đời, hiện nay người ta đã tìm được những số nguyên tố lớn hơn thế nhiều – ngocson52), nó được một nhóm nhà kỹ thuật của hãng dầu mỏ Chevron ở Houston (Taxas), khám phá ra một cách ngẫu nhiên vào năm 1985. Trong khi thử một siêu máy tính họ đã phát hiện ra số nguyên tố mới đó: phải mất vài chục trang sách mowis viết hết con số đó.

Số thập phân (thế kỷ XVI)
Cho đến cuối thế kỷ XVI người ta mới chỉ phát triển cơ số 10 cho phần nguyên của một số, phần thập phân chỉ được biểu thị dưới dạng phân số hoặc trong hệ cơ số 60 trong các đơn vị thời gian và góc.
Năm 1579 F. Viète đã tuyên bố rằng trái với các phần nghìn, phầm trăm, phần chục, các phần sáu mươi chỉ được sử dụng ít và S. Stevin năm 1582 đã đề nghị sử dụng các số thập phân trong các tính toán; nhưng các cách viết vẫn rất khác nhau trong suốt thế kỷ XVII.
Nhà toán học và vật lý xứ Flandre là S. Stevin (1548-1620) cũng đã đề nghị sự phân chia thập phân các đơn vị đo lường. Nhưng phải chờ mãi tới Cách mạng Pháp mới có được hệ mét thập phân (20/12/1799).

Số vô tỉ (thế kỷ IV trước CN)
Trong khi chứng minh không thể viết sqrt(2) dưới dạng một phân số thì Aristote (thế kỷ IV trước CN) đã tìm ra các số vô tỉ (mà Pythagore đã linh cảm được), được gọi tạm là số ìvô ước”.
Người ta đã phân biệt được số đại số như sqrt(2) và số siêu việt như pi và ìe” vào thế kỷ XVII. Năm 1872 Ch. Hermite người Pháp đã chứng minh tính sieu việt của e và năm 1882 F. Lindemann người Đức đã chứng minh tính siêu việt của pi.

Số pi (thế kỷ II trước CN)
Sử dụng các đa giác 96 cạnh nội tiếp và bàng tiếp đường tròn, nhà bác học Hy lạp Archimède (287-212 trước CN) đã chứng minh rằng số pi nằm giữa (3 + 10/71) và (3 + 10/70). Vậy nên khi Ptôlémée (nhà toán học Hy lạp thế kỷ II sau CN) lấy giá trị 3,1416 cho số pi, ông đã biện minh rằng nó gần với giá trị trung bình của hai giá trị cận của Archimède. Năm 1874, W. Schanks, người Anh, đã tính được 707 chữ số thập phân của số pi, đã được khắc ở Cung Phát Minh (Palais de Découverte) ở Paris. 527 chữ số đầu tiên là chính xác còn những chữ số tiếp theo là sai. Từ đó nhờ có các máy tính người ta đã tính được hàng nghìn chữ số thập phân của số pi.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 02-02-2015, 19:54
Avatar của Học Toán THPT
Học Toán THPT Học Toán THPT đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 20 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 482
Điểm: 160 / 4174
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 41055
 
Tham gia ngày: Dec 2014
Bài gửi: 482
Đã cảm ơn : 120
Được cảm ơn 99 lần trong 73 bài viết

Mặc định Số hoàng kim (thế kỷ III trước CN)

Số hoàng kim (thế kỷ III trước CN)
Số hoàng kim, nghiệm của phương trình 1/x = x/(1+x), bằng (1+sqrt(5))/2 ~ 1,618 và tồn tại trong phép phân chia không đối xứng mà tỷ số giữa phần lớn và phần nhỏ bằng tỷ số giữa hai phần và phần lớn. Người ta tìm thấy số đó trước Euclide, nhưng chính Euclide vào thế kỷ III trước CN đã biến nó thành bài toán nổi tiếng khi tìm cách chia một đoạn thẳng sao cho phàn lớn là trung bình tỉ lệ của phần nhỏ và đoạn thẳng hoặc ìphép chia hoàng kim”. Tính hài hòa dựa trên số hoàng kim đã được nghiên cứu ở nhiều bộ môn nghệ thuật: trong kiến trúc (Phidias với nhà thờ Parthénon ở thế kỷ V trước CN, Alberti ở thế kỷ XV, Le Corbusier ở thế kỷ XX); trong âm nhạc (sự nghiên cứu theo thuyết Pythagore về quãng âm); trong hội họa (L. de Vinci, Raphael).

Số Fractan (1962)
Được B. Mandelbrot, một người Pháp gốc Ba Lan, phát minh ra ra năm 1962. Các số fractan có khả năng trở thành một công cụ toán học để rút ra những quy luật tổ chức của tự nhiên.
Khái niệm fractan đặc biệt có ích trong việc mô tả những cấu trúc mà mỗi bộ phận của nó cho dù kích thước như thế nào đi nữa thì vẫn tương tự với toàn cấu trúc. Ví dụ: phải chăng mỗi cành của một cái cây không đại diện cho toàn bộ cả cái cây?
Các số fractan mới xuất hiện trong toán học có cơ sở ở hai định luật: định luật tương tự (autosimilarité), bộ phận tương tự với toàn thể); định luật số chiều fractan nói rằng các tập hợp số fractan có số chiều phân đoạn (không nguyên) và mảnh nọ tương ứng với mảnh kia. Một trong những áp dụng gây ấn tượng mạnh nhất của các số fractan liên quan đến sự tổng hợp các hình ảnh nhờ máy tính.

Số ìkhông thể có” (thế kỷ XVIII)
Chính nhờ có nhà toán học Italia R. Bombelli (1526-1573) mà ta có định nghĩa đầu tiên về số phức, lúc đó được gọi là số ìkhông thể có” hoặc ìsố ảo” trong công trình Đại số (Bologne, 1572) công bố ít lâu trước khi ông mất. Ông đã định nghĩa các số đó khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đã đưa ra căn bậc hai c]ủa -1.
Cho tới năm 1746 người ta đã sử dụng các số ảo mà không biết nhiều về cấu trúc của chúng. Nhưng chính nhà toán học Pháp D’Alembert vào năm đó đã xác định được dạng tổng quát ìa+b*sqrt(-1) của chúng, đông thời chấp nhận nguyên lý tồn tại n nghiệm của một phương trình bậc n. Nhà toán học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) đã đưa ra ký hiệu ìi” để chỉ căn bậc hai của -1, năm 1801 Gauss đã dùng lại ký hiệu đó.

Tập hợp số thực (thế kỷ XIX)
Vào thế kỷ VI trước CN, nhà toán học và thiên văn học Hy lạp Eudoxe đã thử viết ra một tập hợp không chỉ gồm số hữu tỷ mà ông cảm thấy chưa đủ. Nhưng ông đã không thành công cũng như một số nhà toán học thời cổ vốn tỏ thái độ rất ngập ngừng đối với số vô tỷ. mãi vào thế kỷ XIX, nà toán học Nga G. Cantor (1845-1918) mới nghiên cứu các đại lượng vô tỷ và ìtính liên tục”, khái niệm giải thích cái vẻ liên tục của đoạn thẳng được tạo nên bởi vô hạn các điểm phân biệt, mỗi điểm biểu thị một số. Chính khi đó đã xuất hiện nhiều nghịch lý đặt lại vấn đề về các khái niệm trực giác.
Cantor ý thức được sự đối đầu với lương tri truyền thống, đã phải tiến hành một cuộc đấu tranh nhiều năm để thuyết phục những người cùng thời với mình. Khi ông mất vào 6/1/1918, sự nghiệp của ông trở nên phổ cập rộng.

HÌNH HỌC
Định lý Thalès (thế kỷ VII-VI trước CN)
Trước Thales mỗi nhân viên đo đạc hoặc nhà hình học đều phải tìm những ìkỹ xảo” để đo các khoảng cách, các bề mặt v.v… Nhà triết học và toán học Hy lạp thuộc trường phái Ioni là Thales de Milet (thế kỷ VII-VI) đã có ý tưởng tài tình đo các chiều cao nhờ dùng bóng vaod lúc mà ìbóng bằng với vật”, nghĩa là vào lúc các tia nắng chiếu xuyên một góc 450. Để đo chiều cao của Đại Kim tự tháp ông đã cải tiến phương pháp của mình bằng cách sử dụng các tia nắng ở bất kỳ lúc nào. Và ông đã có thể dừng lại ở đó, song toàn bộ giá trị cồn việc của ông là muốn xuất phát từ thực nghiệm để xây dựng nên một lý thuyết: việc sử dụng các tia sáng mặt trời đã cho phép ông nghiên cứu các đường thẳng song song và mối liên hệ giữa độ dài hình chiếu và độ dài ban đầu. Rồi ông đã phát biểu một địng lý mà từ đó được gọi là Định lý Thales: ìCác đường thẳng song song chiếu những đoạn dài tỷ lệ từ đường thẳng này lên đường thẳng khác”. Như vậy là ông đã rút ra hình học từ cuốn sổ ghi chép các kỹ thuật băng cách đưa vào đó quan điểm suy diễn và chứng minh của toán học.

Định lý Pythagore (thế ky VI trước CN)
Xuất phát từ các công trình của Thales về các đường thẳng song song và cũng với tinh thần chứng minh, Pythagore, nhà triết học và toán học Hy lạp ở thế kỷ VI trước CN đã quan tâm đến hình chiếu vuông góc và đã chứng minh được định lý mang tên ông. Định lý đó thiết lập được mối liên hệ giữa chiều dài các cạnh của một tam giác vuông. Mối quan hệ đó đã được biết đến từ thời có các nhân viên đo đạc, song chính Pythagore là người đầu tiên đã chứng minh được nó.

Tiên đề Euclide (thế kỷ III trước CN)
Nhà toán học Hy lạp là Euclide (thế kỷ III trước CN) chủ yếu đã tổng hợp các công trình của người đi trước trong tác phẩm ìNguyên lý” ông đã hệ thống các kiến thức của thời đại mình, đồng thời chứng minh lại toàn bộ xuất phát từ năm tiên đề được coi như đúng dù rằng không được chứng minh. Tiên đề cơ bản và quen thuộc nhất là: ìQua một điểm bên ngoài một đường thẳng, chỉ có thể kẻ một đường thẳng song song với đường thẳng đó”. Điều trái ngược với tiên đề này đã được Aristote xem xét trong tác phẩm ìNhững phép phân tích khác”, song với một quan điểm hoàn toàn mang tính chất giáo huấn.
Cho đến thế kỷ XIX, các nhà toán học vẫn nghĩ rằng có thể chứng minh được tiên đề đó. Bởi vậy ở thế kỷ thứ XVIII nhiều nhà toán học đã uổng công thử chứng minh nó bằng phản chứng; đã xuất hiện hai điều phủ định khả dĩ: ìTồn tại ít nhất một điểm qua đó không có một đường thănngr nào song song với đường thẳng đã cho đi qua” và ìTồn tại ít nhất một điểm qua đó ít nhất có hai đường thẳng song song khác nhau đi qua”. Việc giải thích rõ ràng hai điều ngược lại đó đã làm nảy sing hai loại hình học mới ở thế kỷ sau đó.

Lượng giác (thế kỷ III-II trước CN)
Trong thời Cổ Đại lượng giác đã phát triển như một kỹ thuật phụ của thiên văn học. vậy nên chính những nhà thiên văn Hy Lạp Asistarque de Samos (thế kỷ III trước CN) và Hipparque de Nicée (thế kỷ II trước CN) là những nhà lượng giác học tiên phong. Người Hy Lạp ở thành Alexandria là C. Ptolémée (khoảng 80-160 sau CN) đã tập hợp tất cả các tri thức của thời đó trong khảo luận gọi là ìSách thiên văn” (Almageste) của mình.
Chính nhờ người Arập ở thế kỷ IX mà lượng giác đã phát triển thành một bộ môn khoa học tách riêng hoàn toàn. Al Khwârizmi (780-850) đã lập được các bảng số sin đầu tiên, Habasch và al Hasib đã lập được các bảng tang. Sách thiên văn hoàn thiện (Perfectionnement de l’Almageste) của al Bâttâmi (877-925) là một công trình thực sự về lượng giác hiện đại, hoàn hảo hơn nhiều so với Sách thiên văn của Ptolémée. Những công trình đó được những nhà toán học Đức J. Muller (1436-1476) và G. Rhaeticus (1514-1576) sửa lại và phát triển. A. de Moivre (1667-1754) và L. Euler (1707-1783) đã gắn mỗi số phức tương ứng với một tia và một góc; bởi vậy cho phép khảo sát lượng giác nhờ hàm phức; nhờ thế chính lượng giác biến thành một lý thuyết đại số.

Mặt cônic (thế kỷ III trước CN)
Các mặt cônic đã được nghiên cứu theo những cách rất khác nhau qua các thời đại, chính điều đó cho thấy roc hình học đã tiến triển từ thời cổ đại đến thời chúng ta như thế nào. Trong khảo luận của mình về các tiết diện cônic, A. de Perga (khoảng 262-130 trước CN) đã nghiên cứu những mặt cắt khác nhau của một hình nón. Khi đó ông đã chứng minh rằng có thể thu được các hình Parabol, Hypecbol và Elip.
Vào thế kỷ thứ XVII, Descartes đã thể hiện các mặt cônic dưới dạng các phương trình và chỉ ra rằng có thể thu được các mặt cônic từ các phương trình bậc hai.
B. Pascal (1623-1662) đã tạo nên quan niệm hiện đại bằng cách tiếp cận mặt cônic theo quan điểm giải tích. Ở thế kỷ XX, các mặt cônic là một phần của lý thuyết tổng quát hơn về các dạng toàn phương.Cấu trúc không gian của vecto (1844)
Vào thế kỷ XIX, khi nghiên cứu cấu trúc của các tập hợp vận dụng được các phép toán thì người ta mới rõ rằng cấu trúc của tập hợp các vecto trong mặt phẳng có thể áp dụng được cho những tập hợp khác, như tập hợp các ma trận chẳng hạn. Vậy nên trong ìLý thuyết mở rộng” của mình vào năm 1844, nhà toán học Đức H. Grassmann (1809-1877) đã định nghĩa các không gian vecto có số chiều lớn hơn ba. Trong khi nghiên cứu các quatecnion, W. Hamilton (1805-1865) cũng đã xây dựng nên những hệ thống vecto đầu tiên. Những định nghĩa đã rất có ích cho vật lý học khi xây dựng lý thuyết tương đối trong đó không thời gian được xem như một không gian vecto bốn chiều.

Hình học phi Euclide (thế kỷ XVIII)
Vào thế kỷ XVIII, G. G. Saccheri, J. H. Lambert, Taurinus, Reid và nhiều nhà toán học khác đã thử gán các hệ quả logic cho những sự phủ định tiên đề Euclide, nhưng họ đã không thực sự tin vào chuyện đó và đã không đi đến những lý thuyết hoàn hảo. Vào đầu thế kỷ XIX, những lý thuyết đó bắt đầu hình thành và quy về hai loại hình học khác nhau song đều khả dĩ và có thể xem xét cụ thể được.

Hình học Hypecbolic (thế kỷ XIX)
Nhà toán học Hungari J. Bolyai (1802-1860) và nhà toán học Nga N. I. Lobatchevski (1792-1856) đã xây dựng nên một loại hình học trong đó mặt phẳng là một bề mặt Hypecbolic; để hình dung một bề mặt như thế, ta có thể so sánh nó với một mặt yên ngựa.

Hình học Eliptic (thế kỷ XIX)
Nhà vật lý và toán học Đức C. F. Gauss (1777-1855) đã xây dựng một hình học, trong đó mặt phẳng được xác định như bề mặt một hình cầu có bán kính vô hạn; có thể hình dung được khái niệm đó khi so sánh với mặt nước, bởi vì Trái Đất là hình cầu chứ không phải như Euclide đã tưởng. B. Riemann (1828-1866), người Đức, là học trò của Gauss ở Gottingen, đã tiếp tục các công trình của Gauss và đã đề nghị xét lại hình học cổ điển cho phép xem hình học Eliptic như một trường hợp của một lý thuyết tổng quát hơn.

Tọa độ (thế kỷ XVII)
Việc sử dụng các số để xác định một cách đơn tính vị trí của một điểm trên một bề mặt đã được biết đến từ thời Archimede (thế kỷ III trước CN). Nhưng mãi tới thế kỷ XVII thì tọa độ mới được sử dụng một cách có hệ thống đối với các bài toán hình học. Có truyền thuyết rằng nhà triết học và toán học người Pháp R. Descartes (1596-1650) đã nảy ra ý tưởng về tọa độ khi ông nhìn thấy một con côn trùng bay trước những ô kính cửa sổ của mình. Khám phá đó đã cho phép khảo sát các bài toán hình học theo phương pháp đại số; rồi nhờ có nhà toán học Pháp P. de Fermat (1601-1665) đã bắt đầu xuất hiện hình học giải tích trong đó các phương trình và đường cong có liên quan với nhau.

Vectơ (1798)
Nhag hình học Đan Mạch C. Wessel, năm 1798 và J. R. Argand, năm 1806 đã viết hai báo cáo về các số phức. Cả hai người đều có ý tưởng không chỉ biểu diễn các số phức thông qua một điểm A trên mặt phẳng mà còn đồng nhất chúng với vectơ gốc ở O và điểm mút A trong một hệ tọa độ Descartes trên mặt phẳng. Vậy là nảy sinh khái niệm vectơ , như vậy tìm tổng của hai số phức tức là dựng tổng của hai vecto là những đối tượng hình học mà đối với chúng tồn tại các phép toán rất gần với các phép toán quen thuộc trong tập hợp các số.

Cấu trúc không gian của vecto (1844)
Vào thế kỷ XIX, khi nghiên cứu cấu trúc của các tập hợp vận dụng được các phép toán thì người ta mới rõ rằng cấu trúc của tập hợp các vecto trong mặt phẳng có thể áp dụng được cho những tập hợp khác, như tập hợp các ma trận chẳng hạn. Vậy nên trong ìLý thuyết mở rộng” của mình vào năm 1844, nhà toán học Đức H. Grassmann (1809-1877) đã định nghĩa các không gian vecto có số chiều lớn hơn ba. Trong khi nghiên cứu các quatecnion, W. Hamilton (1805-1865) cũng đã xây dựng nên những hệ thống vecto đầu tiên. Những định nghĩa đã rất có ích cho vật lý học khi xây dựng lý thuyết tương đối trong đó không thời gian được xem như một không gian vecto bốn chiều.

Hình học phi Euclide (thế kỷ XVIII)
Vào thế kỷ XVIII, G. G. Saccheri, J. H. Lambert, Taurinus, Reid và nhiều nhà toán học khác đã thử gán các hệ quả logic cho những sự phủ định tiên đề Euclide, nhưng họ đã không thực sự tin vào chuyện đó và đã không đi đến những lý thuyết hoàn hảo. Vào đầu thế kỷ XIX, những lý thuyết đó bắt đầu hình thành và quy về hai loại hình học khác nhau song đều khả dĩ và có thể xem xét cụ thể được.

Hình học Hypecbolic (thế kỷ XIX)
Nhà toán học Hungari J. Bolyai (1802-1860) và nhà toán học Nga N. I. Lobatchevski (1792-1856) đã xây dựng nên một loại hình học trong đó mặt phẳng là một bề mặt Hypecbolic; để hình dung một bề mặt như thế, ta có thể so sánh nó với một mặt yên ngựa.

Hình học Eliptic (thế kỷ XIX)
Nhà vật lý và toán học Đức C. F. Gauss (1777-1855) đã xây dựng một hình học, trong đó mặt phẳng được xác định như bề mặt một hình cầu có bán kính vô hạn; có thể hình dung được khái niệm đó khi so sánh với mặt nước, bởi vì Trái Đất là hình cầu chứ không phải như Euclide đã tưởng. B. Riemann (1828-1866), người Đức, là học trò của Gauss ở Gottingen, đã tiếp tục các công trình của Gauss và đã đề nghị xét lại hình học cổ điển cho phép xem hình học Eliptic như một trường hợp của một lý thuyết tổng quát hơn.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Giải toán Hình học không gian qua các đề thi thử THPT Quốc Gia 2016 FOR U [Tài liệu] Hình học Không Gian 0 02-06-2016 13:14
Hình không gian linhly1110 Hỏi và Giải đáp nhanh các bài Toán 0 27-05-2016 23:08
Giải giúp mình bài hình không gian baoquoc220 Hỏi và Giải đáp nhanh các bài Toán 0 26-05-2016 21:50
Giải bài toán Hình Học Không Gian bằng phương pháp tọa độ hóa Ẩn Số [Tài liệu] Hình học Không Gian 1 31-05-2015 22:57
Tài liệu Hình học Không Gian Cổ Điển (Nguyễn Tất Thu) Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hình học Không Gian 0 20-11-2014 23:59



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014