Cho $x,y,z$ là các số thực thay đổi và thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(x^2+2y^2+5z^2)\left(\sqrt{(x^2+2y^2+5z^2)^2+4}-1\right)$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 24-11-2012, 00:29
Avatar của letrungtin
letrungtin letrungtin đang ẩn
$\color{red}{VIP\ 0187}$
Đến từ: Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7025
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 1014
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 169
Được cảm ơn 926 lần trong 298 bài viết

Lượt xem bài này: 1558
Mặc định Cho $x,y,z$ là các số thực thay đổi và thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=(x^2+2y^2+5z^2)\left(\sqrt{(x^2+2y^2+5z^2)^2+4}-1\right)$

Cho $x,y,z$ là các số thực thay đổi và thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=(x^2+2y^2+5z^2)\left(\sqrt{(x^2+2y^2+5z^2)^2+4 }-1\right)$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hiệp sỹ bóng đêm (24-11-2012), Miền cát trắng (24-11-2012), Quê hương tôi (24-11-2012), Đình Nam (27-05-2014)
  #2  
Cũ 24-11-2012, 00:43
Avatar của Phạm Kim Chung
Phạm Kim Chung Phạm Kim Chung đang ẩn
Sáng lập: K2pi -Toán THPT
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: GV THPT
 
Cấp bậc: 34 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 827
Điểm: 541 / 14449
Kinh nghiệm: 10%

Thành viên thứ: 1
 
Tham gia ngày: Dec 2011
Bài gửi: 1.625
Đã cảm ơn : 1.857
Được cảm ơn 6.047 lần trong 1.182 bài viết

Mặc định

Đề của thầy Tín chế hay quá à nha


Never study to be successful, study for self efficiency. Don’t run behind success. Follow behind excellence, success will come all way behind you.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hiệp sỹ bóng đêm (24-11-2012), letrungtin (24-11-2012)
  #3  
Cũ 25-11-2012, 16:11
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13460
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi letrungtin Xem bài viết
Cho $x,y,z$ là các số thực thay đổi và thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=(x^2+2y^2+5z^2)\left(\sqrt{(x^2+2y^2+5z^2)^2+4 }-1\right)$$
Phân tích hướng suy nghĩ:
Rất khó để đoán được điểm rơi trong bài này! Vì thế, với dạng của biểu thức P ta chỉ có thể dùng phương pháp hệ số bất định để tìm điểm rơi. Cụ thể, ta phải chọn số $k$ lớn nhất để $x^2+2y^2+5z^2\ge 2k(xy+yz+zx)=2k\quad (1)$ và phải đảm bảo dấu bằng xảy ra. Tôi chọn con số $2k$ để hệ số cho đẹp và có ý đồ ở biến đổi tiếp theo.
Nếu dùng $Cauchy-Schwarz$ trực tiếp thì
\[x^2+2y^2+5z^2= \dfrac{x^2}{1}+\dfrac{y^2}{\frac{1}{2}}+\dfrac{z^2 }{\frac{1}{5}}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}\ge \dfrac{3(xy+yz+zx)}{\frac{17}{10}}= \dfrac{30(xy+yz+zx)}{17}\]
Suy ra $k_{max}= \dfrac{30}{17}$. Nhưng khi ấy, kết hợp giả thiết thì dấu bằng không xảy ra.
Do đó, chúng ta có thể điều chỉnh hệ số $k$ để dấu bằng xảy ra khi áp dụng $Cauchy-Schwarz$. Ta có thể biến đổi $(1)$ thành
\[(1+k)x^2+(2+k)y^2+(5+k)z^2\ge k(x+y+z)^2\quad (2)\]
Lúc này, áp dụng $Cauchy-Schwarz$ ta được
\[VT_{(2)}= \dfrac{x^2}{\frac{1}{1+k}}+ \dfrac{y^2}{\frac{1}{2+k}}+ \dfrac{z^2}{\frac{1}{5+k}}\ge \dfrac{(x+y+z)^2}{\frac{1}{1+k}+ \frac{1}{2+k}+ \frac{1}{5+k}}\]
Do đó, số $k_{max}$ thỏa mãn BĐT $(2)$ phải là nghiệm của PT sau:
\[\dfrac{1}{\frac{1}{1+k}+\frac{1}{2+k}+\frac{1}{5+k }}=k\]
Giải ra được 3 nghiệm, tất nhiên ta chọn nghiệm $k=1$ bởi vì theo $(1)$ thì $k>0.$
Như vậy với phân tích trên chúng ta dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức phụ $x^2+2y^2+5z^2\ge 2(xy+yz+zx)=2.$
Từ đó suy ra $P\ge 2(\sqrt{4+4}-1)=4\sqrt{2}-2$.
Vậy $\min P = 4\sqrt{2}-2$ khi $x=3z,\ y=2z$ và $z= \pm \dfrac{\sqrt{11}}{11}.$


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
Miền cát trắng (25-11-2012), Nắng vàng (19-05-2013), Quê hương tôi (25-11-2012), Ryang Nguyễn (27-03-2017), Đình Nam (27-05-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$px2, $x, $xy, 2y2, 41right$, 5z22, 5z2leftsqrtx2, đổi, biểu, các, của, cho, giá, , mãn, nhất, nhỏ, số, tìm, thay, thỏa, thức, thực, trị, , yz, z$, zx1$
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014