Chứng minh : $\frac{x^n(x{}^{n+1}+1)}{x^n+1}\leq (\frac{x+1}{2}){}^{2n+1}$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 19-11-2012, 20:43
Avatar của angel
angel angel đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Chuyên HT
Nghề nghiệp: HS
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 254
Điểm: 49 / 4466
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 868
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 147
Đã cảm ơn : 106
Được cảm ơn 283 lần trong 83 bài viết

Lượt xem bài này: 1121
Mặc định Chứng minh : $\frac{x^n(x{}^{n+1}+1)}{x^n+1}\leq (\frac{x+1}{2}){}^{2n+1}$

Với $ n\geq $0 . Chứng minh : $\frac{x^n(x{}^{n+1}+1)}{x^n+1}\leq (\frac{x+1}{2}){}^{2n+1}$


Written with a pen Sealed with a kiss...!!!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 20-11-2012, 18:37
Avatar của Inspectorgadget
Inspectorgadget Inspectorgadget đang ẩn
♥♥♥♥♥♥♥♥
Đến từ: Sài Gòn
Nghề nghiệp: :3
Sở thích: Làm "ai đó" vui :
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 328
Điểm: 76 / 5778
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 834
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 229
Đã cảm ơn : 66
Được cảm ơn 467 lần trong 180 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi angel Xem bài viết
Với $ n\geq $0 . Chứng minh : $\frac{x^n(x{}^{n+1}+1)}{x^n+1}\leq (\frac{x+1}{2}){}^{2n+1}$
VMO 2011

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề: Cho $a,b$ là hai số thực dương. Khi đó với mọi $n \ge 1$, ta có:$$(ab)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}} (a^n + b^n ) \le 2(\dfrac{{a + b}}{2})^{n^2 } (1)$$
Không mất tính tổng quát giả sử $a+b=2$ và đặt $a=1+x;b=1-x$ với $x\in[0;1]$. Bất đẳng thức (1) được viết lại thành
$$[(1 + x)(1 - x)]^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}} [(1 + x)^n + (1 - x)^n ] \le 2 \Leftrightarrow g(x) $$
$$= (1 + x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2}} (1 - x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}} + (1 + x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}} (1 - x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2}} \le 2$$
Ta có: $$[(1 + x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}} (1 - x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}} ]' = \dfrac{{n(n + 1)}}{2}(1 + x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2} - 1} (1 - x)^{^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2}} } - \dfrac{{n(n - 1)}}{2}(1 + x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2}} (1 - x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2} - 1} $$
$$ = \dfrac{n}{2}(1 + x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2} - 1} (1 - x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2} - 1} [(n + 1)(1 - x) - (n - 1)(1 + x)] $$
$$= n(1 + x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2} - 1} (1 - x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2} - 1} (1 - nx)$$
Và $$[(1 + x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}} (1 - x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2}} ]' = \dfrac{{n(n - 1)}}{2}(1 + x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2} - 1} (1 - x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2}} - \dfrac{{n(n + 1)}}{2}(1 + x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2}} (1 - x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2} - 1}$$
$$ = \dfrac{n}{2}(1 + x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2} - 1} (1 - x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2} - 1} [(n - 1)(1 - x) - (n - 1)(1 + x] = - n(1 + x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2} - 1} (1 - x)^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2} - 1} (1 + nx)$$
Do đó: $$g'(x) = n(1 + x)^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2} - 1} (1 - x)^{\dfrac{{n(n - 1) - 1}}{2}} [(1 + x)^2 (1 - nx) - (1 - x)^n (1 + nx)] $$
$$= n(1 - x^2 )^{\dfrac{{n(n - 1)}}{2} - 1} (1 + x)^n (1 + xn)[\dfrac{{1 - nx}}{{1 + nx}} - \dfrac{{(1 - x)^n }}{{(1 + x)^n }}]$$
Từ đây ta thấy $g'(x)$ dùng dấu với $h(x)=\dfrac{{1 - xn}}{{1 + xn}} - \dfrac{{(1 - x)^{n} }}{{(1 + x)^n }}$. Tính đạo hàm $h(x)$ ta được :
$$h'(x) = \dfrac{{2n(1 - x)^{n - 1} }}{{(1 + x)^{n + 1} }} - \dfrac{{2n}}{{(1 + nx)^2 }} = \dfrac{{2n(1 - x^2 )^{n - 1} }}{{(1 + x)^{2n} }} - \dfrac{{2n}}{{(1 + xn)^2 }}$$
$$ \le \dfrac{{2n}}{{(1 + x)^{2n} }} - \dfrac{1}{{(1 + nx)^2 }} = 2n[\dfrac{1}{{(1 + x)^n }} - \dfrac{1}{{1 + nx}}][\dfrac{1}{{(1 + x)^n }} + \dfrac{1}{{1 + nx}}] \le 0$$
Do đó theo bất đẳng thức $Bernoulli$ thì $(1+x)^n \ge nx+1$.
Như vậy, $h(x)$ là hàm nghịch biến trên $[0, 1)$. Suy ra $h(x) \le h(0)=0\forall x \in [0;1)$ . Mà $g'(x)$có cùng dấu với $h(x)$ nên ta cũng có $g'(x)\le 0$ với mọi $x\in[0;1)$. Do vậy $g(x)$ là hàm nghịch biến trên $[0, 1)$. Từ lý luận này, ta suy ra $g(x) \le g(0)=2$ với mọi $x\in [0, 1)$. Bổ đề được chứng minh. $\square$
Quay lại bài toán. Theo (5) ta có$$(ab)^{\dfrac{{n(k - 1)}}{2}} (a^k + b^k ) \le 2(\dfrac{{a + b}}{2})^{k^2 } ,\forall a,b > 0,k \le 1(2)$$
$$ \Rightarrow a + b \ge 2(ab)^{\dfrac{{k - 1}}{{2k}}} (\dfrac{{a^k + b^k }}{2})^{\dfrac{1}{{k^2 }}} (3)$$
Trong (3) cho $a=x^n,b=1$ và $k=\dfrac{n+1}{n}>1$, ta được:
$$x^n + 1 \ge 2x^{\dfrac{n}{{2(n + 1)}}} (\dfrac{{x^{n + 1} + 1}}{2})^{\dfrac{{n^2 }}{{(1 + n)^2 }}}$$
$$ \Rightarrow \dfrac{{x^n (x^{n + 1} + 1)}}{{x^n + 1}} \le \dfrac{{x^n (x^{n + 1} + 1)}}{{2x^{\dfrac{n}{{2(n + 1)}}} (\dfrac{{x^{n + 1} + 1}}{2})^{\dfrac{{n^2 }}{{(1 + n)^2 }}} }} = x^{\dfrac{{n(2n + 1)}}{{2(n + 1)}}} (\dfrac{{x^{n + 1} + 1}}{2})^{\dfrac{{2n + 1}}{{(n + 1)^2 }}} $$
Như thế phép chứng minh hoàn tất nếu ta chỉ ra được rằng: $$
x^{\dfrac{{n(2n + 1)}}{{2(n + 1)}}} (\dfrac{{x^{n + 1} + 1}}{2})^{\dfrac{{2n + 1}}{{(n + 1)^2 }}} \le (\dfrac{{x + 1}}{2})^{2n + 1} $$
$$ \Leftrightarrow x^{\dfrac{{n(n + 1)}}{2}} (x^{n + 1} + 1) \le 2(\dfrac{{x + 1}}{2})^{(n + 1)^2 } .$$
Đây chính là kết quả của bất đẳng thức (2). Áp dụng cho $a=x;b=1$ và $k=n+1$. Bài toán được chứng minh. $\square$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Inspectorgadget 
Miền cát trắng (20-11-2012)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$fracxnxn, 1, 1$, 122n, 1leq, 1xn, chứng, fracx, minh
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên