Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= 4\sqrt{\frac{y^2}{z^2+zx}+ \frac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 07-12-2014, 00:00
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13452
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Lượt xem bài này: 1023
Mặc định Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= 4\sqrt{\frac{y^2}{z^2+zx}+ \frac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$

Bài toán. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi và đồng thời thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3yz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P= 4\cdot\sqrt{\dfrac{y^2}{z^2+zx}+ \dfrac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Nhữ Phong (07-12-2014), cuong1841998 (07-12-2014), Trọng Nhạc (07-12-2014)
  #2  
Cũ 07-12-2014, 15:49
Avatar của Nhữ Phong
Nhữ Phong Nhữ Phong đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: ninh binh
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: toan
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 419
Điểm: 121 / 5076
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 16741
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gửi: 363
Đã cảm ơn : 157
Được cảm ơn 346 lần trong 199 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= 4\sqrt{\frac{y^2}{z^2+zx}+ \frac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Bài toán. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi và đồng thời thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3yz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P= 4\cdot\sqrt{\dfrac{y^2}{z^2+zx}+ \dfrac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$$
Lời giải:
Ta có:
$$\frac{y^{2}}{z^{2}+xz}+\frac{z}{x+y}+\frac{y^{2} }{x^{2}+y^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{4(y+z)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+z^{2}+2zx+zy}$$
$$\geq \frac{4(z+y)^{2}}{3x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+zy}$$
$$= \frac{4(z+y)^{2}}{10zy-y^{2}-z^{2}}\geq 2$$
Cho nên ta có:
TH1: $\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq 2\Rightarrow z\geq \sqrt{2x^{2}+y^{2}}$
Thì suy ra :
$$P>4\sqrt{\frac{z}{x+y}}+4\geq 4\sqrt{\frac{\sqrt{2y^{2}+x^{2}}}{x+y}}+4>4\sqrt{\ sqrt{\frac{1}{\frac{1}{2}+1}}}+4>5$$
TH2: Nếu $\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}}\leq 2$
Do đó:
$$P\geq 4.\sqrt{2-\frac{z^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+(\frac{z^{2}+y^{2 }}{x^{2}+y^{2}})^{2}$$
Xét hàm này ta được $P\geq 5$ khi $x=y=z=1$
Kết luận minP=5 khi $x=y=z=1$



Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow and the important thing is not to stop questioning


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 07-12-2014, 18:47
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13452
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= 4\sqrt{\frac{y^2}{z^2+zx}+ \frac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$

Nguyên văn bởi bangcoi45(phong) Xem bài viết
Lời giải:
Ta có:
$$\frac{y^{2}}{z^{2}+xz}+\frac{z}{x+y}+\frac{y^{2} }{x^{2}+y^{2}}+\frac{z^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq \frac{4(y+z)^{2}}{2x^{2}+2y^{2}+z^{2}+2zx+zy}$$
$$\geq \frac{4(z+y)^{2}}{3x^{2}+2y^{2}+2z^{2}+zy}$$
$$\geq \frac{4(z+y)^{2}}{10zy-y^{2}-z^{2}}\geq 2$$
Cho nên ta có:
TH1: $\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}}\geq 2\Rightarrow z\geq \sqrt{2x^{2}+y^{2}}$
Thì suy ra :
$$P>4\sqrt{\frac{z}{x+y}}+4\geq 4\sqrt{\frac{\sqrt{2y^{2}+x^{2}}}{x+y}}+4>4\sqrt{\ sqrt{\frac{1}{\frac{1}{2}+1}}}+4>5$$
TH2: Nếu $\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}}\leq 2$
Do đó:
$$P\geq 4.\sqrt{2-\frac{z^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+(\frac{z^{2}+y^{2 }}{x^{2}+y^{2}})^{2}$$
Xét hàm này ta được $P\geq 5$ khi $x=y=z=1$
Kết luận minP=5 khi $x=y=z=1$
Bài giải có nhiều chỗ chưa đúng!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 07-12-2014, 18:57
Avatar của Nhữ Phong
Nhữ Phong Nhữ Phong đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: ninh binh
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: toan
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 419
Điểm: 121 / 5076
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 16741
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gửi: 363
Đã cảm ơn : 157
Được cảm ơn 346 lần trong 199 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= 4\sqrt{\frac{y^2}{z^2+zx}+ \frac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Bài giải có nhiều chỗ chưa đúng!
anh chỉ ra giùm em



Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow and the important thing is not to stop questioning


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #5  
Cũ 07-12-2014, 22:22
Avatar của Quốc Thắng
Quốc Thắng Quốc Thắng đang ẩn
materazzi
Đến từ: TP. HCM
Nghề nghiệp: Xe ôm
 
Cấp bậc: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 232
Điểm: 42 / 2535
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 22030
 
Tham gia ngày: Mar 2014
Bài gửi: 127
Đã cảm ơn : 74
Được cảm ơn 244 lần trong 91 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= 4\sqrt{\frac{y^2}{z^2+zx}+ \frac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Bài toán. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi và đồng thời thỏa mãn $x^2+y^2+z^2=3yz$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$P= 4\cdot\sqrt{\dfrac{y^2}{z^2+zx}+ \dfrac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$$
Dùng Cauchy - Schwarz có
$$ \dfrac{y^2}{z^2+zx}+ \dfrac{z}{x+y} = \dfrac{y^2}{z^2+zx}+ \dfrac{z^2}{xz+yz} \ge \frac{ \left( y+z \right)^2}{z \left( z+2x+y \right)} $$
Từ AM - GM có
$$ z \left( 2x+y+z \right) \le \frac{ \left( 2x+y+5z \right)^2}{16} $$
Như vậy
$$ \dfrac{y^2}{z^2+zx}+ \dfrac{z}{x+y} \ge \frac{ \left( y+z \right)^2}{z \left( z+2x+y \right)} \ge \frac{16 \left( y+z \right)^2}{ \left( 2x+y+5z \right)^2}$$
Kết hợp với $ \displaystyle \left( \frac{y^2+z^2}{x^2+y^2} \right)^2 +1 \ge 2 \cdot \left( \frac{y^2+z^2}{x^2+y^2} \right) $ ta có
$$ P \ge \frac{16 \left( y+z \right)}{ \left( 2x+y+5z \right)} + \frac{2 \left(y^2+z^2 \right)}{x^2+y^2} -1 \quad{(1)}$$
Lúc này , đặt $ \displaystyle a = \frac{x}{z} >0 \ ; \ b = \frac{y}{z} >0 $ , từ điều kiện đề bài có
$$ a^2 + b^2+1 = 3b \quad{(2)}$$
$\displaystyle (1)$ trở thành
$$ P \ge \frac{16 \left( b+1 \right)}{ 2a+b+5} + \frac{2 \left( b^2+1 \right)}{ a^2 + b^2} -1 \quad{(3)} $$
Dùng AM - GM có
$$ 3b = a^2 + b^2+1 \ge 2a +b^2 \quad{(4)} $$
Lại từ $ \displaystyle a^2 = 3b-1-b^2 >0 $ ta có
$$ \frac{3-\sqrt{5}}{2} < b < \frac{3+\sqrt{5}}{2} \quad{(5)} $$
Từ $ \displaystyle (2) , (4) , (5) $ kết hợp với $ \displaystyle (3) $ có
$$ P \ge \frac{16 \left( b+1 \right)}{b+5+3b-b^2} + \frac{2b^2+2}{3b-1} -1 = 5 + \frac{2 \left( b-12 \right) \left( b-1 \right)^2}{ \left( 3b-1 \right) \left( b-5 \right)} \ge 5 $$
Tại $ \displaystyle x=y=z $ thì đẳng thức xảy ra .

Vậy
$$ \min P = 5 $$


Con về chẳng thấy mẹ đâu
Nắng vàng mẹ chẳng gội đầu bên sân
Ngoài kia hoa nở thật gần
Ngó vào khe cửa thì thầm: Mẹ ơi!…


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lê Đình Mẫn (07-12-2014), miền cát trắng hải lăng (07-12-2014), songviuocmo123 (07-12-2014), Trọng Nhạc (07-12-2014)
  #6  
Cũ 07-12-2014, 23:54
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13452
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P= 4\sqrt{\frac{y^2}{z^2+zx}+ \frac{z}{x+y}}+ \left( \dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}\right)^2$

Nguyên văn bởi bangcoi45(phong) Xem bài viết
Lời giải:
TH2: Nếu $\frac{y^{2}+z^{2}}{x^{2}+y^{2}}\leq 2$
Do đó:
$$P\geq 4.\sqrt{2-\frac{z^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+(\frac{z^{2}+y^{2 }}{x^{2}+y^{2}})^{2}$$
Xét hàm này ta được $P\geq 5$ khi $x=y=z=1$
Kết luận minP=5 khi $x=y=z=1$
Cụ thể hàm em xét có GTNN bằng $4$.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M= 2016\left(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+ \dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}\right)-(a+b+c)\left(\dfrac{2015}{a}+ \dfrac{2015}{c}\right)$ Lê Đình Mẫn Bất đẳng thức - Cực trị 0 30-05-2016 17:19
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức mu8991 Bất đẳng thức - Cực trị 3 29-05-2016 01:03
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3(ab+bc+ca)$. $N_B^N$ Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 08:48
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a\left[\left(a^2+3\right)\dfrac{a+b}{c}+24\right]+b\left[\left(b^2+3\right)\dfrac{b+c}{a}+24\right]+c\left[\left(c^2+3\right)\dfrac{c+a}{b}+24\right]$$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 1 04-05-2016 23:05
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab }{c(2a+b)}$ youngahkim Bất đẳng thức - Cực trị 1 24-04-2016 23:33



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014