[TOPIC] Các Bài Toán Trong Tam Giác - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN HÌNH HỌC HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Hình học phẳng

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 04-12-2014, 22:05
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: THPTL.Q.Chí (HT)
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 810
Điểm: 515 / 8990
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.546
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.241 lần trong 754 bài viết

Lượt xem bài này: 5021
Mặc định [TOPIC] Các Bài Toán Trong Tam Giác

Sau đây mình xin lập TOPIC "Các Bài Toán Trong Tam Giác" để mọi người trên diễn đàn cùng nhau thảo luận các bài toán về chủ đề này! Mong được sử ủng hộ từ mọi người!
Lời nhắn:
1. Các bài toán cần được đánh số thứ tự từ 1,2,3,....
2. Hạn chế Spam!
3.Khuyến khích các bài toán, bài giải chất lượng!
...


Bài 1: Xác định hình dạng của tam giác $ABC$ có ba góc $A$, $B$, $C$ thỏa mãn:
$$\tan A\tan B\tan C=4\left(\sin\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}+\sin\frac{ B}{2}\cos\frac{C}{2} +\sin\frac{C}{2}\cos\frac{A}{2}\right)$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Nguyễn Minh Đức-THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Nguyễn Duy Hồng (05-12-2014), Shirunai Okami (20-12-2014), theoanm (06-12-2014), Đặng Tuyên (04-12-2014)
  #2  
Cũ 04-12-2014, 22:35
Avatar của Kị sĩ ánh sáng
Kị sĩ ánh sáng Kị sĩ ánh sáng đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Việt Yên- Bắc Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán học-Vật li
 
Cấp bậc: 21 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 514
Điểm: 183 / 5670
Kinh nghiệm: 56%

Thành viên thứ: 20837
 
Tham gia ngày: Mar 2014
Bài gửi: 549
Đã cảm ơn : 494
Được cảm ơn 423 lần trong 219 bài viết

Mặc định Re: [TOPIC] Chuyên Đề Nhận Dạng Tam Giác

Bài 2: Xác định hình dạng của tam giác $ABC$ có 3 góc $A;B;C$ thỏa mãn
\[\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}} = \dfrac{1}{{\cos \dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{C}{2}}}\]
Bài 3: Xác định hình dạng của tam giác $ABC$ có 3 góc $A;B;C$ thỏa mãn
\[\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} = \dfrac{1}{{\sin \dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{\sin \dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{\sin \dfrac{C}{2}}}\]


$$\boxed{\boxed{\text{Nguyễn Đình Huynh}~\bigstar~\text{A1 - K68 - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh}}}$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Kị sĩ ánh sáng 
Quân Sư (04-12-2014)
  #3  
Cũ 06-12-2014, 13:49
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: THPTL.Q.Chí (HT)
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 810
Điểm: 515 / 8990
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.546
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.241 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: [TOPIC] Chuyên Đề Nhận Dạng Tam Giác

Nguyên văn bởi Huynh Xem bài viết
Bài 2: Xác định hình dạng của tam giác $ABC$ có 3 góc $A;B;C$ thỏa mãn
\[\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}} = \dfrac{1}{{\cos \dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{C}{2}}}\]
Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$$\frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B}\geq \frac{4}{\sin A+\sin B}=\frac{2}{\sin\dfrac{A+B}{2}\cos \dfrac{A-B}{2}}\geq \frac{2}{\cos \dfrac{C}{2}}\\ \Rightarrow \frac{1}{\sin A}+\frac{1}{\sin B} \ge \frac{2}{\cos \dfrac{C}{2}}~~~~~(1)$$
Dấu $=$ xảy ra khi $A=B$.
Tương tự ta cũng có:
$$\frac{1}{\sin B}+\frac{1}{\sin C} \ge \frac{2}{\cos \dfrac{A}{2}}~~~~~(2)$$
Dấu $=$ xảy ra khi $B=C$.
$$\frac{1}{\sin C}+\frac{1}{\sin A} \ge \frac{2}{\cos \dfrac{B}{2}}~~~~~(3)$$
Dấu $=$ xảy ra khi $C=A$.
Cộng vế theo vế $(1)$, $(2)$ và $(3)$ ta được:
$$2\left(\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}} \right) \ge 2\left( \dfrac{1}{{\cos \dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{C}{2}}} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}} \ge \dfrac{1}{{\cos \dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{C}{2}}}$$
Dấu $=$ xảy ra khi $A=B=C$.
Do đó suy ra:
$$\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}} = \dfrac{1}{{\cos \dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{C}{2}}}\Leftrightarrow A=B=C$$
Vậy $\Delta ABC$ là tam giác đều.


Nguyễn Minh Đức-THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Quân Sư 
Kị sĩ ánh sáng (06-12-2014)
  #4  
Cũ 06-12-2014, 14:26
Avatar của hungdang
hungdang hungdang đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
 
Cấp bậc: 34 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 83 / 834
Điểm: 553 / 11962
Kinh nghiệm: 39%

Thành viên thứ: 3145
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.661
Đã cảm ơn : 7
Được cảm ơn 1.264 lần trong 734 bài viết

Mặc định Re: [TOPIC] Chuyên Đề Nhận Dạng Tam Giác

Bài 4: Cho tam giác ABC không nhọn. Nhận dạng tam giác
$\frac{{\sin A + \sin B + {\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} + cosB + cosC}} = 1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Nguyên văn bởi Huynh Xem bài viết
Bài 2: Xác định hình dạng của tam giác $ABC$ có 3 góc $A;B;C$ thỏa mãn
\[\frac{1}{{\sin A}} + \frac{1}{{\sin B}} + \frac{1}{{\sin C}} = \dfrac{1}{{\cos \dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{\cos \dfrac{C}{2}}}\]
Bài 3: Xác định hình dạng của tam giác $ABC$ có 3 góc $A;B;C$ thỏa mãn
\[\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} = \dfrac{1}{{\sin \dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{\sin \dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{\sin \dfrac{C}{2}}}\]
Bài 3: nên cho thêm giả thiết là $\Delta {ABC}$ nhọn chứ không lại phải chỉ ra thì hơi dài.

Bài 3: Xác định hình dạng của tam giác $ABC$ có 3 góc $A;B;C$ thỏa mãn
\[\frac{1}{{\cos A}} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} = \dfrac{1}{{\sin \dfrac{A}{2}}} + \dfrac{1}{{\sin \dfrac{B}{2}}} + \dfrac{1}{{\sin \dfrac{C}{2}}}\][/QUOTE]

Giả sử tù và không mất tính tổng quát. Giả sử $A > \frac{\pi }{2} > B \ge C \Rightarrow 0 < C \le \frac{\pi }{4}$ nên $\tan C \le 1;0 < \sin \frac{C}{2} < \sin C \le \cos C \Rightarrow 0 < \frac{1}{{\cos C}} < \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}$
và \[\frac{1}{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }} + \frac{1}{{\cos B}} = \frac{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} + cosB}}{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} .cosB}} = \frac{{2\cos \frac{{A + B}}{2}\cos \frac{{A - B}}{2}}}{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} .cosB}} < 0\] (do A tù)
vậy \[\frac{1}{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }} + \frac{1}{{\cos B}} + \frac{1}{{\cos C}} < \frac{1}{{\cos C}} < \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}} < \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}\] ( điều này trái giả thiết)
=> tam giác $\Delta ABC$nhọn ( nếu vuông thì vô nghĩa)
Nên \[\cos A > 0;{\mathop{\rm cosB}\nolimits} > 0;{\mathop{\rm cosC}\nolimits} > 0\]
Áp dụng AM-GM ta có:
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }} + \frac{1}{{\cos B}} \ge 2\frac{1}{{\sqrt {{\mathop{\rm cosA}\nolimits} .cosB} }} \ge \frac{4}{{\cos A + \cos B}}\\
\ge \frac{4}{{2\cos \frac{{A + B}}{2}.\cos \frac{{A - B}}{2}}} \ge \frac{2}{{\cos \frac{{A + B}}{2}}} = \frac{2}{{\sin \frac{C}{2}}}(do0 < \cos \frac{{A - B}}{2} < 1)\\
\Rightarrow \frac{1}{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }} + \frac{1}{{\cos B}} \ge \frac{2}{{\sin \frac{C}{2}}}
\end{array}\]
Dấu$ “=” $xảy ra khi và chỉ khi $A=B$
Tương tự
\[\begin{array}{l}
\frac{1}{{{\mathop{\rm cosB}\nolimits} }} + \frac{1}{{{\mathop{\rm cosC}\nolimits} }} \ge \frac{2}{{\sin \frac{A}{2}}}\\
\frac{1}{{\cos C}} + \frac{1}{{\cos A}} \ge \frac{2}{{\sin \frac{B}{2}}}
\end{array}\]
Cộng vế với vế ta được: \[\frac{1}{{{\mathop{\rm cosA}\nolimits} }} + \frac{1}{{{\mathop{\rm cosB}\nolimits} }} + \frac{1}{{{\mathop{\rm cosC}\nolimits} }} \ge \frac{1}{{\sin \frac{A}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{1}{{\sin \frac{C}{2}}}\]
Dấu$ “=” $xảy ra khi và chỉ khi $A=B=C$=> tam giác $\Delta ABC$đều


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  hungdang 
Quân Sư (06-12-2014)
  #5  
Cũ 19-12-2014, 20:18
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: THPTL.Q.Chí (HT)
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 810
Điểm: 515 / 8990
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.546
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.241 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: [TOPIC] Chuyên Đề Nhận Dạng Tam Giác

Bài 5: Cho $\Delta ABC$ không tù và thỏa mãn:
$$\frac{R}{m_a}=\tan \frac{A}{2}$$
Với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, $m_a$ là độ dài đường trung tuyến để từ $A$.
Nhận dạng $\Delta ABC$ ?


Nguyễn Minh Đức-THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 20-12-2014, 00:27
Avatar của Nôbita
Nôbita Nôbita đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hồ Chí Minh
Nghề nghiệp: Tập sự
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 12 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 281
Điểm: 58 / 4142
Kinh nghiệm: 24%

Thành viên thứ: 1430
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 174
Đã cảm ơn : 39
Được cảm ơn 191 lần trong 100 bài viết

Mặc định Re: [TOPIC] Chuyên Đề Nhận Dạng Tam Giác

Nguyên văn bởi Nguyễn Minh Đức Xem bài viết
Bài 5: Cho $\Delta ABC$ không tù và thỏa mãn:
$$\frac{R}{m_a}=\tan \frac{A}{2}$$
Với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp, $m_a$ là độ dài đường trung tuyến để từ $A$.
Nhận dạng $\Delta ABC$ ?
Áp dụng định lí sin ta có: $R=\dfrac{a}{2\sin A}$.
Thay vào biểu thức và rút gọn ta được: $\dfrac{a}{2m_a}=2\sin^2\dfrac{A}{2}=1-\cos A=\dfrac{a^2-(b-c)^2}{2bc}$
Hay $abc=m_a.(a-b+c)(a+b-c)\le m_a.a^2\Rightarrow m_a\ge \dfrac{bc}{a}$
Bình phương hai vế ta được: $m_a^2\ge \dfrac{b^2c^2}{a^2}$
Hay $\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}\ge \dfrac{b^2c^2}{a^2} \Leftrightarrow \dfrac{b^2+c^2}{2}\ge \dfrac{b^2c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{4}\ge bc\Rightarrow (b-c)^2\ge 0$
Dấu = xảy ra khi: $b=c, a=\sqrt2 b$.
Vậy $\Delta ABC$ là tam giác cân tại A với $b=c, a=\sqrt2 b$.

Bài 6: Cho $$\Delta ABC$ thỏa $(1-\cos A)(1-\cos B)(1-\cos C)=\cos A\cos B\cos C$$ Nhận dạng $\Delta ABC$.


"Hãy lấp lánh ngày hôm nay và ngày mai bạn sẽ tỏa sáng."


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #7  
Cũ 20-12-2014, 00:34
Avatar của caotientrung
caotientrung caotientrung đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Thpt Đô lương 2
Nghề nghiệp: giáo viên
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 430
Điểm: 127 / 6286
Kinh nghiệm: 23%

Thành viên thứ: 1859
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 383
Đã cảm ơn : 49
Được cảm ơn 319 lần trong 166 bài viết

Mặc định Re: [TOPIC] Chuyên Đề Nhận Dạng Tam Giác

Bài 7: ( Khá hay) Cho tam giác ABC chân đường cao lần lượt là A';B';C'. Nhận dạng tam giác ABC biết $S_{A'B'C'}=\frac{1}{4}S_{ABC}$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Kỹ thuật ép biên trong bài toán tìm Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Phạm Kim Chung [Tài liệu] Bất đẳng thức 6 25-05-2016 18:14
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp đường tròn tâm I, các tiếp tuyến với đường tròn tại A và C cắt tiếp tuyến có tiếp điểm B tại các điểm tương ứng M(-4; Khanhduy Hình giải tích phẳng Oxy 0 14-05-2016 00:00
Trong mặt phẳng với hệ độ Oxy cho tam giác ABC có C(-1,-2) ngoại tiếp đường tròn tâm I baolinhkl Hỏi và Giải đáp nhanh các bài Toán 3 11-05-2016 00:15
Bài toán hay: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H(5;5). EF cắt BC tại P(8;0). M(9/2;7/2). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. (Liệu có thể chứng minh PH dobinh1111 Hình giải tích phẳng Oxy 0 03-05-2016 12:44
Cho tam giác ABC ...Điểm M(-4;1) thuộc cạnh AC.Viết pt đường thẳng AB tn24121997 Hình giải tích phẳng Oxy 5 05-04-2015 22:37



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
nhận dạng tam giác
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014