Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 8\sqrt{xy}-2x-4y=1\\ 2x+y-6\sqrt{xy}-\sqrt{2(x^2+y^2)}+\dfrac{9(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Hệ phương trình


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 27-08-2014, 20:37
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: Software Engineering
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 811
Điểm: 515 / 11034
Kinh nghiệm: 44%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.547
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.246 lần trong 754 bài viết

Lượt xem bài này: 435
Mặc định Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 8\sqrt{xy}-2x-4y=1\\ 2x+y-6\sqrt{xy}-\sqrt{2(x^2+y^2)}+\dfrac{9(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} 8\sqrt{xy}-2x-4y=1\\ 2x+y-6\sqrt{xy}-\sqrt{2(x^2+y^2)}+\dfrac{9(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

PS: Hàng mới ra!


Nguyễn Minh Đức - ĐH FPT


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Quân Sư 
Kalezim17 (27-08-2014)
  #2  
Cũ 27-08-2014, 21:26
Avatar của Trần Quốc Tuấn
Trần Quốc Tuấn Trần Quốc Tuấn đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: HCM
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 12 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 297
Điểm: 64 / 4106
Kinh nghiệm: 90%

Thành viên thứ: 19264
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 192
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 215 lần trong 81 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 8\sqrt{xy}-2x-4y=1\\ 2x+y-6\sqrt{xy}-\sqrt{2(x^2+y^2)}+\dfrac{9(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Nguyên văn bởi Duc_Huyen1604 Xem bài viết
Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} 8\sqrt{xy}-2x-4y=1\\ 2x+y-6\sqrt{xy}-\sqrt{2(x^2+y^2)}+\dfrac{9(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

PS: Hàng mới ra!
Hướng làm:

Từ pt(1) ta có: $x\geq \frac{1}{2}$
Từ pt(2) ta có: $x\leq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ từ đó ta dễ dàng tìm được nghiệm $y= \frac{1}{2}$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 27-08-2014, 21:36
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: Software Engineering
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 811
Điểm: 515 / 11034
Kinh nghiệm: 44%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.547
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.246 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 8\sqrt{xy}-2x-4y=1\\ 2x+y-6\sqrt{xy}-\sqrt{2(x^2+y^2)}+\dfrac{9(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Nguyên văn bởi Kaito kuroba Xem bài viết
Hướng làm:

Từ pt(1) ta có: $x\geq \frac{1}{2}$
Từ pt(2) ta có: $x\leq \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x=\frac{1}{2}$ từ đó ta dễ dàng tìm được nghiệm $y= \frac{1}{2}$
Bạn có thể cho ý kiến rõ hơn không!Cụ thể hướng đánh giá $x$ !


Nguyễn Minh Đức - ĐH FPT


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 27-08-2014, 22:21
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 10100
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} 8\sqrt{xy}-2x-4y=1\\ 2x+y-6\sqrt{xy}-\sqrt{2(x^2+y^2)}+\dfrac{9(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Nguyên văn bởi Duc_Huyen1604 Xem bài viết
Giải hệ phương trình:
$$\begin{cases} 8\sqrt{xy}-2x-4y=1\\ 2x+y-6\sqrt{xy}-\sqrt{2(x^2+y^2)}+\dfrac{9(x^3+y^3)}{x^2+xy+y^2}= \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

PS: Hàng mới ra!
Trước hết ta cần chứng minh :

$\frac{3\left(x^3 + y^3 \right)}{x^2 + xy + y^2} \geq \sqrt{2\left(x^2 + y^2 \right)}$

Thật vậy , chúng ta có :

$x^2 + xy + y^2 \leq \frac{3(x^2 + y^2)}{2} \Leftrightarrow \frac{3\left(x^3 + y^3 \right)}{x^2 + xy + y^2} \geq \frac{2(x^3 + y^3)}{x^2 + y^2}$

Mặt khác theo bất đẳng thức AM - GM suy ra :

$\begin{cases} x^6 + 2x^3y^3 \geq 3x^4y^2 \\ y^6 + 2x^3y^3 \geq 3x^2y^4 \end{cases} \Rightarrow x^6 + y^6 + 4x^3y^3 \geq 3x^4y^2 + 3x^2y^4 \Leftrightarrow 2\left(x^3 + y^3 \right)^2 \geq \left(x^2 + y^2 \right)^3$

Khi đó ta được : $\frac{9\left(x^3 + y^3 \right)}{x^2 + xy + y^{2}} - \sqrt{2(x^2 + y^2)} \geq 2\sqrt{2\left(x^2 + y^2 \right)} \geq 2\left(x + y \right)$

Do đó :

$\frac{1}{2} = 2x + y - 6\sqrt{xy} - \sqrt{2\left(x^2 + y^2 \right)} + \frac{9(x^3 + y^3)}{x^2 + xy + y^2} \geq 4x + 3y - 6\sqrt{xy} \Leftrightarrow 1 \geq 8x + 6y - 12\sqrt{xy}$

Cuối cùng ta có hệ phương trình :

$\begin{cases} 8\sqrt{xy} - 2x - 4y = 1 \\ 1 \geq 8x + 6y - 12\sqrt{xy} \end{cases} \Rightarrow 8\sqrt{xy} - 2x - 4y \geq 8x + 6y - 12\sqrt{xy} \Leftrightarrow 10\left(\sqrt{x} - \sqrt{y} \right)^2 \leq 0 \Leftrightarrow x = y$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\left(x ; y \right) = \left(\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \right)$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Kalezim17 (27-08-2014), Kị sĩ ánh sáng (27-08-2014), Quân Sư (27-08-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên