Tìm GTNN của $M=\sum \sqrt{\frac{x^2}{x^2+2015xy+y^2}}$ với x,y,z dương. - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 27-07-2014, 01:32
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13454
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Lượt xem bài này: 329
Mặc định Tìm GTNN của $M=\sum \sqrt{\frac{x^2}{x^2+2015xy+y^2}}$ với x,y,z dương.

Cho $x,y,z$ là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$M= \sqrt{\dfrac{x^2}{x^2+2015xy+y^2}}+ \sqrt{\dfrac{y^2}{y^2+2015yz+z^2}}+ \sqrt{\dfrac{z^2}{x^2+2015xz+z^2}}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 27-07-2014, 02:29
Avatar của Nhữ Phong
Nhữ Phong Nhữ Phong đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: ninh binh
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: toan
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 419
Điểm: 121 / 5077
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 16741
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gửi: 363
Đã cảm ơn : 157
Được cảm ơn 346 lần trong 199 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sum \sqrt{\frac{x^2}{x^2+2015xy+y^2}}$ với x,y,z dương.

Lời giải
Làm xong bài này đi ngủ:
Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ suy ra abc=1
Và M=$\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2015a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b ^{2}+2015b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$
Do đó không mất tính tổng quát giả sử $ab\geq 1\Rightarrow c\leq 1$
Ta chứng minh điều sau với t>0 thì ta có
$\frac{1}{\sqrt{t^{2}+2015t+1}}\geq \frac{2}{\sqrt{2017}(x+1)}$
$\Leftrightarrow (t-1)^{2}\geq 0$(đúng)
Vậy áp dụng điều vừa chứng minh khi thay t lần lượt bằng a và b ta có
M$\geq \frac{2}{\sqrt{2017}}(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}) +\frac{1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$
$\geq \frac{4}{\sqrt{2017}}.\frac{1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{ 1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$
$=\frac{4\sqrt{c}}{\sqrt{2017}(\sqrt{c}+1)}+\frac{ 1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$=f(c)
Với $c\leq 1$ ta chứng minh được f(c)$\geq f(1)=\frac{3}{\sqrt{2017}}$
Vậy Mmin = $\frac{3}{\sqrt{2017}}$ khi a=b=c hay x=y=z



Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow and the important thing is not to stop questioning


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
pttha (27-07-2014), Đặng Thành Nam (27-07-2014)
  #3  
Cũ 27-07-2014, 03:13
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 627
Điểm: 282 / 9309
Kinh nghiệm: 11%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 848
Đã cảm ơn : 515
Được cảm ơn 1.462 lần trong 525 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sum \sqrt{\frac{x^2}{x^2+2015xy+y^2}}$ với x,y,z dương.

Nguyên văn bởi bangcoi45 Xem bài viết
Lời giải
Làm xong bài này đi ngủ:
Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ suy ra abc=1
Và M=$\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2015a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b ^{2}+2015b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$
Do đó không mất tính tổng quát giả sử $ab\geq 1\Rightarrow c\leq 1$
Ta chứng minh điều sau với t>0 thì ta có
$\frac{1}{\sqrt{t^{2}+2015t+1}}\geq \frac{2}{\sqrt{2017}(x+1)}$
$\Leftrightarrow (t-1)^{2}\geq 0$(đúng)
Vậy áp dụng điều vừa chứng minh khi thay t lần lượt bằng a và b ta có
M$\geq \frac{2}{\sqrt{2017}}(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}) +\frac{1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$
$\geq \frac{4}{\sqrt{2017}}.\frac{1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{ 1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$
$=\frac{4\sqrt{c}}{\sqrt{2017}(\sqrt{c}+1)}+\frac{ 1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$=f(c)
Với $c\leq 1$ ta chứng minh được f(c)$\geq f(1)=\frac{3}{\sqrt{2017}}$
Vậy Mmin = $\frac{3}{\sqrt{2017}}$ khi a=b=c hay x=y=z
Bất đẳng thức cuối rất chặt. Thử thay số 2015 bằng số khác mà không được
Click the image to open in full size.


Giáo viên Toán tại website vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Chi tiết các khoá học các bạn xem tại link: http://vted.vn/khoa-hoc.html


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 27-07-2014, 19:41
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13454
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sum \sqrt{\frac{x^2}{x^2+2015xy+y^2}}$ với x,y,z dương.

Nguyên văn bởi Đặng Thành Nam Xem bài viết
Bất đẳng thức cuối rất chặt. Thử thay số 2015 bằng số khác mà không được
Click the image to open in full size.
Bài này nó tương đối chặt. Mấy tài liệu của VQBC có dạng này đấy mà lời giải nhìn hơi khủng. Bài toán tổng quát đây ($k\ge -2$):
$$M= \dfrac{a}{\sqrt{a^{2}+kab+b^2}}+ \dfrac{b}{\sqrt{b^{2}+kbc+c^2}}+ \dfrac{c}{\sqrt{c^{2}+kca+a^2}}\ge \min\left \{1; \dfrac{3}{\sqrt{k+2}}\right \}$$
Nguyên văn bởi bangcoi45 Xem bài viết
Lời giải
Làm xong bài này đi ngủ:
Đặt $a=\frac{x}{y};b=\frac{y}{z};c=\frac{z}{x}$ suy ra abc=1
Và M=$\frac{1}{\sqrt{a^{2}+2015a+1}}+\frac{1}{\sqrt{b ^{2}+2015b+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$
Do đó không mất tính tổng quát giả sử $ab\geq 1\Rightarrow c\leq 1$
Ta chứng minh điều sau với t>0 thì ta có
$\frac{1}{\sqrt{t^{2}+2015t+1}}\geq \frac{2}{\sqrt{2017}(x+1)}$
$\Leftrightarrow (t-1)^{2}\geq 0$(đúng)
Vậy áp dụng điều vừa chứng minh khi thay t lần lượt bằng a và b ta có
M$\geq \frac{2}{\sqrt{2017}}(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}) +\frac{1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$
$\geq \frac{4}{\sqrt{2017}}.\frac{1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{ 1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$
$=\frac{4\sqrt{c}}{\sqrt{2017}(\sqrt{c}+1)}+\frac{ 1}{\sqrt{c^{2}+2015c+1}}$=f(c)
Với $c\leq 1$ ta chứng minh được f(c)$\geq f(1)=\frac{3}{\sqrt{2017}}$
Vậy Mmin = $\frac{3}{\sqrt{2017}}$ khi a=b=c hay x=y=z
P/S: Lời giải nhìn quen mà em đặt ẩn không đúng rồi.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho x, y, z dương thỏa mãn $x^2+z^2\le 2$. Tìm GTNN. khanhtoanlihoa Bất đẳng thức - Cực trị 2 17-05-2016 21:10
Cho các số thực dương $a, b, c$. Tìm GTNN của biểu thức. khanhtoanlihoa Bất đẳng thức - Cực trị 1 16-05-2016 13:10



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014