Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 16-07-2014, 22:38
Avatar của $LQ\oint_{N}^{T}$
$LQ\oint_{N}^{T}$ $LQ\oint_{N}^{T}$ đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: hunter
Sở thích: ngủ
 
Cấp bậc: 20 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 491
Điểm: 166 / 4897
Kinh nghiệm: 66%

Thành viên thứ: 27839
 
Tham gia ngày: Jul 2014
Bài gửi: 500
Đã cảm ơn : 143
Được cảm ơn 377 lần trong 276 bài viết

Lượt xem bài này: 622
Mặc định Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
Em mới tiếp cận BDT nhờ mọi người chỉ giáo
giải tỉ mĩ giúp em


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:





Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
$N_B^N$ (16-07-2014), katarina (08-11-2014)
  #2  
Cũ 16-07-2014, 22:48
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: THPTL.Q.Chí (HT)
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 810
Điểm: 515 / 8986
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.546
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.241 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Nguyên văn bởi lequangnhat20 Xem bài viết
Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
Em mới tiếp cận BDT nhờ mọi người chỉ giáo
giải tỉ mĩ giúp em
Thật không đó bạn!Xem như đây là "TOPIC" sưu tầm cách chứng minh BĐT trên đi!
BĐT cần chứng minh tương đương với:
$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left(a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ca+a^2 \right)\geq 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \right]\geq 0$
BĐT trên luôn đúng!
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c$.


Nguyễn Minh Đức-THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
$N_B^N$ (16-07-2014), cuong1841998 (25-07-2014)
  #3  
Cũ 16-07-2014, 22:48
Avatar của $N_B^N$
$N_B^N$ $N_B^N$ đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Cầu Thị
 
Cấp bậc: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 247
Điểm: 46 / 3120
Kinh nghiệm: 88%

Thành viên thứ: 15915
 
Tham gia ngày: Aug 2013
Bài gửi: 140
Đã cảm ơn : 374
Được cảm ơn 64 lần trong 33 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Nguyên văn bởi lequangnhat20 Xem bài viết
Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
Em mới tiếp cận BDT nhờ mọi người chỉ giáo
giải tỉ mĩ giúp em
Áp dụng bất đẳng thức cauchy dạng
$x^2+y^2 \ge 2\sqrt{x^2y^2} =2\left|xy\right| \ge 2xy $

Ta có

$$a^2+b^2 \ge 2ab$$
$$b^2+c^2 \ge 2bc$$
$$c^2+a^2 \ge 2ca$$

Cộng các bất đẳng thức cùng chiều ta được bất đẳng thức cùng chiều

$$a^2+b^2+c^2 \ge ab+bc+ca$$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

P/S : đủ chi tiết chưa bạn!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  $N_B^N$ 
Quân Sư (16-07-2014)
  #4  
Cũ 25-07-2014, 12:42
Avatar của Nguyễn Duy Hồng
Nguyễn Duy Hồng Nguyễn Duy Hồng đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Sóc Sơn - Hà Nội
Nghề nghiệp: Kỹ Sư Xây Dựng
 
Cấp bậc: 35 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 86 / 869
Điểm: 611 / 11960
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7332
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 1.835
Đã cảm ơn : 1.971
Được cảm ơn 1.849 lần trong 898 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Nguyên văn bởi lequangnhat20 Xem bài viết
Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
Em mới tiếp cận BDT nhờ mọi người chỉ giáo
giải tỉ mĩ giúp em
Hướng dẫn:
Xét các vectơ $\left\{\begin{matrix}
\vec{n}=\left(a;b;c \right) & \\
\vec{u}=\left(b;c;a \right) &
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
\left|\vec{n} \right|=\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} & & \\
\left|\vec{u} \right|=\sqrt{b^{2}+c^{2}+a^{2}} & & \\
\vec{n}\vec{u}=ab+bc+ca & &
\end{matrix}\right.$
Mặt khác ta có: $cos\left(\vec{n},\vec{u} \right)=\frac{\vec{n}\vec{u}}{\left|\vec{n} \right|\left|\vec{u} \right|}\leq 1\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}\sqrt{b^{2 }+c^{2}+a^{2}}}\leq 1\Leftrightarrow ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Dấu bằng đạt được khi $cos\left(\vec{n},\vec{u} \right)=1$ hay $\vec{n}=k\vec{u}$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Duy Hồng 
Quân Sư (25-07-2014)
  #5  
Cũ 25-07-2014, 13:13
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13456
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Nguyên văn bởi lequangnhat20 Xem bài viết
Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
Em mới tiếp cận BDT nhờ mọi người chỉ giáo
giải tỉ mĩ giúp em
Cách 1: Chính là phương pháp S.O.S dạng đơn giản tức là đưa BĐT về dạng: $X.(b-c)^2+Y.(c-a)^2+Z.(a-b)^2\ge 0$ đúng nếu $X,Y,Z$ là các biểu thức không âm.
Cách 2: Chính là sử dụng BĐT cổ điển có tên là $Cauchy (AM-GM)$ cho 2 số không âm $|x|$ và $|y|$. Chú ý thêm $|a|\ge \pm a$ đúng với mọi số thực $a$.
Cách 3: Phương pháp giảm biến (dồn biến) bằng cách đổi biến.
Vì BĐT đối xứng giữa các biến $a,b,c$ nên ta luôn có thể sắp thứ tự các biến, tức là giả sử $a\ge b\ge c$. Khi đó, đặt $x=a-b,y=b-c$ ta sẽ có $x,y\ge 0$.
Thay $a=c+y+x,b=y+c$ vào BĐT ta thu được:
$$x^2+xy+y^2\ge 0\iff \left(x+ \frac{y}{2}\right)^2+ \frac{3y^2}{4}\ge 0\text{ luôn đúng!}$$
Cách 4: Chia trường hợp.
+ Nếu $c=0$ thì BĐT trở thành $a^2+b^2\ge ab\iff \left(a- \frac{b}{2}\right)^2+ \frac{3b^2}{4}\ge 0\text{ luôn đúng!}$
+ Nếu $c\ne 0$ ta đặt $x= \dfrac{a}{c}-1,y= \dfrac{b}{c}-1$, suy ra $a=c(x+1),b=c(y+1)$ và thay vào BĐT ta thu được:
$$x^2+xy+y^2\ge 0\iff \left(x- \frac{y}{2}\right)^2+ \frac{3y^2}{4}\ge 0\text{ luôn đúng!}$$
Cách 5: Dồn biến cổ điển.
Đặt $f(a,b,c)=a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca$. Ta sẽ chứng minh $f(a,b,c)\ge f(a,(b+c)/2,(b+c)/2)\ge 0$. Thật vậy, ta có
$$f(a,b,c)-f\left(a, \frac{b+c}{2}, \frac{b+c}{2}\right)= \dfrac{3}{4}(a^2-ab+b^2)= \dfrac{3}{4}\left(a- \frac{b}{2}\right)^2+ \frac{9b^2}{16}\ge 0\ (1)$$
Và $$f\left(a, \frac{b+c}{2}, \frac{b+c}{2}\right) = \left( a- \frac{b+c}{2}\right)^2\ge 0\ (2)$$
Từ (1) và (2) suy ra $f(a,b,c)\ge 0$.
Cách 6: Theo bất đẳng thức hoán vị ta có, nếu $a\ge b\ge c,x\ge y\ge z$ thì
$$ax+by+cz\ge ay+bz+cx\iff (a-b)(x-y)+(b-c)(x-z)\ge 0\text{ luôn đúng!}$$
Đặt $x=,y=b,z=c$ ta có ngay điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi chỉ khi $a=b=c$.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lê Đình Mẫn 
Quân Sư (25-07-2014)
  #6  
Cũ 25-07-2014, 21:51
Avatar của theoanm
theoanm theoanm đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
 
Cấp bậc: 12 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 287
Điểm: 60 / 4210
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 1679
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 181
Đã cảm ơn : 325
Được cảm ơn 245 lần trong 97 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

Nguyên văn bởi lequangnhat20 Xem bài viết
Chứng minh bất đẵng thức $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
Em mới tiếp cận BDT nhờ mọi người chỉ giáo
giải tỉ mĩ giúp em
Thêm cho cách nữa
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$
$\Leftrightarrow f(a)=a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc\geq 0$
Ta có $\Delta_a=(b+c)^2-4(b^2+c^2-bc)=-3(b-c)^2\leq 0$
Vậy từ đó suy ra điều phải chứng minh


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  theoanm 
cuong1841998 (25-07-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Bài toán hay: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H(5;5). EF cắt BC tại P(8;0). M(9/2;7/2). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. (Liệu có thể chứng minh PH dobinh1111 Hình giải tích phẳng Oxy 0 03-05-2016 12:44
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Chứng minh Các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên máy tính Inspectorgadget [Tài liệu] Bất đẳng thức 0 27-04-2016 12:45
SPHN lần 3;Với các số thục dương $x,y$. Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}<\frac{1}{11}$ catbuilata Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 13:13



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014