Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$18(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 54$$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 11-07-2014, 22:24
Avatar của Shirunai Okami
Shirunai Okami Shirunai Okami đang ẩn
$\Huge\mathfrak{POPEYE}$
Đến từ: HNUE
Nghề nghiệp: Tháo Giầy
Sở thích: Shingeki no Kyojin
 
Cấp bậc: 21 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 510
Điểm: 180 / 6499
Kinh nghiệm: 41%

Thành viên thứ: 15713
 
Tham gia ngày: Aug 2013
Bài gửi: 541
Đã cảm ơn : 336
Được cảm ơn 905 lần trong 296 bài viết

Lượt xem bài này: 344
Mặc định Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$18(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 54$$

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$18(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 54$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 11-07-2014, 22:45
Avatar của Quốc Thắng
Quốc Thắng Quốc Thắng đang ẩn
materazzi
Đến từ: TP. HCM
Nghề nghiệp: Xe ôm
 
Cấp bậc: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 232
Điểm: 42 / 2538
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 22030
 
Tham gia ngày: Mar 2014
Bài gửi: 127
Đã cảm ơn : 74
Được cảm ơn 244 lần trong 91 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 18$$

Nguyên văn bởi Popeye Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 18$$
Cái này không đúng .

Ví dụ như với $ \displaystyle a=\frac{1}{3} \ ; \ b=\frac{1}{4} \ ; \ c=3-a-b=\frac{29}{12} $ thì
$$ 18 - \left( 6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2 \right) =-\frac{1511}{576} < 0 $$


Con về chẳng thấy mẹ đâu
Nắng vàng mẹ chẳng gội đầu bên sân
Ngoài kia hoa nở thật gần
Ngó vào khe cửa thì thầm: Mẹ ơi!…


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Quốc Thắng 
Shirunai Okami (11-07-2014)
  #3  
Cũ 11-07-2014, 22:52
Avatar của Shirunai Okami
Shirunai Okami Shirunai Okami đang ẩn
$\Huge\mathfrak{POPEYE}$
Đến từ: HNUE
Nghề nghiệp: Tháo Giầy
Sở thích: Shingeki no Kyojin
 
Cấp bậc: 21 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 510
Điểm: 180 / 6499
Kinh nghiệm: 41%

Thành viên thứ: 15713
 
Tham gia ngày: Aug 2013
Bài gửi: 541
Đã cảm ơn : 336
Được cảm ơn 905 lần trong 296 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$6(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 18$$

Có một chút sơ suất, em sửa lại rồi ạ



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 11-07-2014, 23:25
Avatar của Quốc Thắng
Quốc Thắng Quốc Thắng đang ẩn
materazzi
Đến từ: TP. HCM
Nghề nghiệp: Xe ôm
 
Cấp bậc: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 232
Điểm: 42 / 2538
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 22030
 
Tham gia ngày: Mar 2014
Bài gửi: 127
Đã cảm ơn : 74
Được cảm ơn 244 lần trong 91 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$18(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 54$$

Nguyên văn bởi Popeye Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$18(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 54$$
Trước hết chứng minh kết quả sau đúng với mọi số thực dương $ \displaystyle a,b,c $
$$ 20 \left(a+b+c \right)^3 \ge 60 \left( a+b+c \right) \left( ab+bc+ca \right) + 17 \left( a \left( a-b \right)^2 + b \left( b-c \right)^2 + c \left( c-a \right)^2 \right) \quad{(1)} $$
Xét
$$ f= 20 \left(a+b+c \right)^3 - 60 \left( a+b+c \right) \left( ab+bc+ca \right) - 17 \left( a \left( a-b \right)^2 + b \left( b-c \right)^2 + c \left( c-a \right)^2 \right)$$
Không mất tính tổng quát giả sử $ \displaystyle c= \min \{ a,b,c \} $.

Giả sử $ \displaystyle x=a-c \ge 0 \ ; \ y= b-c \ge 0 $.

Lúc đó
$$ f= 26 \left( x^2-xy+y^2 \right) c + 3x^3+34x^2y-17xy^2+3y^3 $$
Ta thấy
$$ 3x^3+34x^2y-17xy^2+3y^3 =3x^3+y \left( 34x^2+3y^2-17xy \right) \ge 3x^3+ y \left( 2\sqrt{102}xy-17xy \right) \ge 0 $$
Vậy
$$ f \ge 0 $$
Hay là bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ được chứng minh.

Lấy các số thực dương $ \displaystyle a,b,c $ sao cho $ \displaystyle a+b+c=3 $, từ $ \displaystyle (1) $ có ngay
$$ 540 \ge 180 \left( ab+bc+ca \right) +17\left( a \left( a-b \right)^2 + b \left( b-c \right)^2 + c \left( c-a \right)^2 \right) $$
Hay
$$ 54 \ge 18 \left( ab+bc+ca \right) +\frac{17}{10} \cdot \left( a \left( a-b \right)^2 + b \left( b-c \right)^2 + c \left( c-a \right)^2 \right) \ge 18 \left( ab+bc+ca \right) +\left( a \left( a-b \right)^2 + b \left( b-c \right)^2 + c \left( c-a \right)^2 \right) $$


Con về chẳng thấy mẹ đâu
Nắng vàng mẹ chẳng gội đầu bên sân
Ngoài kia hoa nở thật gần
Ngó vào khe cửa thì thầm: Mẹ ơi!…


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Quốc Thắng 
Quân Sư (11-07-2014)
  #5  
Cũ 11-07-2014, 23:31
Avatar của congson215
congson215 congson215 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Thừa Thiên Huế
Nghề nghiệp: HS-THPT chuyên QHH
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 4 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 96
Điểm: 12 / 970
Kinh nghiệm: 85%

Thành viên thứ: 27513
 
Tham gia ngày: Jul 2014
Bài gửi: 37
Đã cảm ơn : 5
Được cảm ơn 68 lần trong 21 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $$18(ab+bc+ca)+a(a-b)^2+b(b-c)^2+c(c-a)^2\leq 54$$

$\Leftrightarrow 54-18(ab+ac+bc)-a(b-a)^{2}-b(b-c)^{2}-c(a-c)^{2}\geq 0$
$\Leftrightarrow 6(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)-a(a-b)^{2}-b(b-c)^{2}-c(c-a)^{2}$$\geq $0
$\Leftrightarrow (3-a)(a-b)^{2}+(3-b)(b-c)^{2}+(3-c)(c-a)^{2}\geq 0$
= xảy ra khi a=b=c=1


Trường THPT chuyên Quốc Học Huế


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  congson215 
Vì Sao Lặng Lẽ (12-07-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c \geq 0$ Trường An Bất đẳng thức - Cực trị 3 21-06-2016 03:05
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh rằng $\forall a\geq 1$ ta luôn có $\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}}\g eq \frac{x}{a^{x}}+\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}$ youngahkim Bất đẳng thức - Cực trị 1 20-05-2016 13:44
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b+\frac{(c-a)^{2}}{4}}+\sqrt{c+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\leq 2$ Dsfaster134 Bất đẳng thức - Cực trị 4 23-02-2015 18:40



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014