How prove $abc(a^2b+b^2c+c^2a)\ge -\dfrac{9}{8}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 09-07-2014, 01:28
Avatar của xinwen
xinwen xinwen đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 131
Điểm: 18 / 1444
Kinh nghiệm: 27%

Thành viên thứ: 21552
 
Tham gia ngày: Mar 2014
Bài gửi: 55
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 33 lần trong 19 bài viết

Lượt xem bài này: 337
Mặc định How prove $abc(a^2b+b^2c+c^2a)\ge -\dfrac{9}{8}$

Let $a,b,c\in R,$,and such
$$a+b+c=0, a^2+b^2+c^2=3$$

show that
$$abc(a^2b+b^2c+c^2a)\ge -\dfrac{9}{8}$$

can you someone can ues Cauchy-schwarz inequality?

this problem is from $$a^5b+b^5c+c^5a\ge-\dfrac{9}{2}$$


and this simaler problem is Can-hang 2007:

Let $a,\,b,\,c$ be real numbers satisfying $a+b+c=0$ and $a^2+b^2+c^2=3.$ Prove that \[a^5b+b^5c+c^5a \le -3.\]

Proof. Since $a+b+c=0$ and $a^2+b^2+c^2=3,$ it is easy to obtain the below results:
\begin{align*}
ab+bc+ca&=-\frac{3}{2}.\\
a^3b+b^3c+c^3a&=-(ab+bc+ca)^2=-\dfrac{9}{4}.\\
ab^2+bc^2+ca^2+3abc&=-(a^2b+b^2c+c^2a).\\
a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3&=(ab+bc+ca)^3+3a^2b^2c^2=-\dfrac{27}{8}+3a^2b^2c^2.\\
\sum (4ab+2c^2+6bc+3)^2&=54.\\
\end{align*}

With these results, we have
\begin{align*} {a^5}b + {b^5}c + {c^5}a& = \sum {{a^5}b}\\
&= \sum {{a^3}b(3 - {b^2} - {c^2})} \\
&= 3\sum {{a^3}b} - \sum {{a^3}{b^3}} - abc\sum {a{b^2}} \\
& = - \frac{{27}}{4} + \frac{{27}}{8} - 3{a^2}{b^2}{c^2} - abc\sum {a{b^2}}\\
&= - \frac{{27}}{8} + abc\sum {{a^2}b} .
\end{align*}
Therefore, it suffices to prove that
\[abc(a^2b+b^2c+c^2a) \le \frac{3}{8}. \qquad (1) \]
On the other hand, using the Cauchy-Schwarz inequality, we have
\[{\left[ {\sum {a(4ab + 2{c^2} + 6bc + 3)} } \right]^2} \le \left( {\sum {{a^2}} } \right)\left[ {\sum {{{(4ab + 2{c^2} + 6bc + 3)}^2}} } \right] = 162.\]
From this, it follows that
\[-9\sqrt{2} \le \sum a(4ab+2c^2+6bc+3) \le 9\sqrt{2},\]
or
\[-\frac{3}{\sqrt{2}} \le a^2b+b^2c+c^2a+3abc \le \frac{3}{\sqrt{2}}.\]
The last inequality yields: \[(a^2b+b^2c+c^2a+3abc)^2 \le \frac{9}{2}. \qquad (2)\]
Using (2) and the AM-GM inequality, we have
\begin{align} abc(a^2b+b^2c+c^2a) &=\frac{1}{3}\cdot 3abc\cdot (a^2b+b^2c+c^2a)\\ & \le \frac{1}{3} \left(\frac{3abc+a^2b+b^2c+c^2a}{2}\right)^2\le \frac{3}{8}, \end{align}
which is (1). So, we are done.\\


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Kị sĩ ánh sáng (09-07-2014), khanhsy (17-08-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014