Cho x,y,z >= 0 và x+y+z >0 . Tìm Min : $\frac{x^3 + y ^3 + 16z^3 }{(x+y+z)^3}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 29-06-2014, 09:04
Avatar của hieppeo
hieppeo hieppeo đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 3 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 57
Điểm: 7 / 608
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 25094
 
Tham gia ngày: May 2014
Bài gửi: 21
Đã cảm ơn : 3
Đã được cảm ơn 1 lần trong 1 bài viết

Lượt xem bài này: 409
Mặc định Cho x,y,z >= 0 và x+y+z >0 . Tìm Min : $\frac{x^3 + y ^3 + 16z^3 }{(x+y+z)^3}$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 29-06-2014, 10:52
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8315
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Cho x,y,z >= 0 và x+y+z >0 . Tìm Min : $\frac{x^3 + y ^3 + 16z^3 }{(x+y+z)^3}$

Nguyên văn bởi hieppeo Xem bài viết
Cho x,y,z >= 0 và x+y+z >0 . Tìm Min : $\frac{x^3 + y^3 + 16z^3 }{(x+y+z)^3}$
Đang buồn không biết làm gì ngoài Toán.

Hướng dẫn giải

Nhận xét : Nhìn vào biểu thức cần tìm cực trị ta dễ dàng thấy sự độc lập của biến $z$ cũng như sự đối xứng giữa hai biến $x$ và $y$ thế nên điều đầu tiên mà ta đi khẳng định đó là dấu $'' = ''$ xảy ra tại $x = y = kz$ với $k$ là hằng số dương.

Tiếp tục quan sát đến sự đồng bậc của cả tử và mẫu đều là bậc ba. Và vì khi $x = y$ thì trong bất đẳng thức hai biến ta luôn có ý định đưa về tổng $x + y$ và tích $xy$ nên trong trường hợp này cũng thế. Ta sẽ cố gắng phân tích sao cho trên tử có xuất hiện tổng $x + y$ để đồng nhất thức với biểu thức dưới mẫu.

Lời giải chi tiết : Ta có bổ đề quen thuộc sau : $x^{3} + y^{3} \geq \frac{\left(x + y \right)^{3}}{4}$ do đó $P \geq \frac{1}{4}.\frac{\left(x + y \right)^3 + 64z^3}{\left(x + y + z \right)^{3}}$

Đến đây chia cả tử và mẫu cho $z^3$ ta được : $4.P \geq \frac{\left(\frac{x + y}{z} \right)^3 + 64}{\left(\frac{x + y}{z} + 1\right)^3}$ và đặt $t = \frac{x + y}{z} > 0 $

Thì suy ra $4.P \geq f\left(t \right) = \frac{t^3 + 64}{\left(t + 1 \right)^3}$ với $t = \frac{x + y}{z} > 0 $. Đến đây nhẹ nhàng xét hàm suy ra cực trị.


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Thế Duy 
hieppeo (29-06-2014)
  #3  
Cũ 29-06-2014, 11:00
Avatar của vodanh1
vodanh1 vodanh1 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 2
Điểm: 1 / 27
Kinh nghiệm: 10%

Thành viên thứ: 26539
 
Tham gia ngày: Jun 2014
Bài gửi: 3
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 0 lần trong 0 bài viết

Mặc định Re: Cho x,y,z >= 0 và x+y+z >0 . Tìm Min : $\frac{x^3 + y ^3 + 16z^3 }{(x+y+z)^3}$

áp dụng BĐT :
$(a^{3}+b^3+16c^3)(1+1+\frac{1}{4})(1+1+\frac{1}{4 })\geq (a+b+c)^3$
nên $\frac{a^3+b^3+16c^3}{(a+b+c)^3}\geq \frac{16}{81}$
dấu '=' xảy ra tại a=b=4c


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014