Nguyên văn bởi phatthientai

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)=1$. Chứng minh $$\left(\frac{a+b+c}{5} \right )^5\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$

Nguyên văn bởi phatthientai

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $(a+b-c)(a+c-b)(c+b-a)=1$. Chứng minh $$\left(\frac{a+b+c}{5} \right )^5\ge \frac{a^2+b^2+c^2}{3}$$

Nguyên văn bởi Runaway

Đoạn màu đỏ chắc là số 3:
Nếu thế thì lời giải như sau:
$(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\leq abc\Rightarrow abc\geq 1$
$\Rightarrow \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{3}\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})a^{2}b^{2}c^{2}}{3}\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})(ab+bc+ca)^{3}}{81}\leq \frac{\frac{((a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca))^{3}} {27}(ab+bc+ca)}{81}$


$\leq \frac{\frac{((a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca))^{3}} {27}\frac{1}{3}(a+b+c)^{2}}{81}=(\frac{a+b+c}{3})^ {5}$