Cho $a,b,c$ là 3 số thực không âm có tổng bằng $1$.Tìm $GTLN$ biểu thức: $$P=\sqrt{a+\left(\frac{b-c}{5} \right)^{2}}+\sqrt{b+\left(\frac{c-a}{5} \right)^{2}}+\sqrt{c+\left(\frac{a-b}{5} \right)^{2}}$$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 23-06-2014, 19:13
Avatar của duyanh175
duyanh175 duyanh175 đang ẩn
Chiếc lá cuối cùng
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 552
Điểm: 213 / 8555
Kinh nghiệm: 9%

Thành viên thứ: 14906
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gửi: 640
Đã cảm ơn : 488
Được cảm ơn 1.028 lần trong 463 bài viết

Lượt xem bài này: 724
Mặc định Cho $a,b,c$ là 3 số thực không âm có tổng bằng $1$.Tìm $GTLN$ biểu thức: $$P=\sqrt{a+\left(\frac{b-c}{5} \right)^{2}}+\sqrt{b+\left(\frac{c-a}{5} \right)^{2}}+\sqrt{c+\left(\frac{a-b}{5} \right)^{2}}$$

Cho $a,b,c$ là 3 số thực không âm có tổng bằng $1$.Tìm $GTLN$ biểu thức:

$$P=\sqrt{a+\left(\frac{b-c}{5} \right)^{2}}+\sqrt{b+\left(\frac{c-a}{5} \right)^{2}}+\sqrt{c+\left(\frac{a-b}{5} \right)^{2}}$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  duyanh175 
neymar11 (23-06-2014)
  #2  
Cũ 28-06-2014, 09:48
Avatar của Quốc Thắng
Quốc Thắng Quốc Thắng đang ẩn
materazzi
Đến từ: TP. HCM
Nghề nghiệp: Xe ôm
 
Cấp bậc: 10 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 232
Điểm: 42 / 3122
Kinh nghiệm: 31%

Thành viên thứ: 22030
 
Tham gia ngày: Mar 2014
Bài gửi: 127
Đã cảm ơn : 74
Được cảm ơn 244 lần trong 91 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c$ là 3 số thực không âm có tổng bằng $1$.Tìm $GTLN$ biểu thức: $$P=\sqrt{a+\left(\frac{b-c}{5} \right)^{2}}+\sqrt{b+\left(\frac{c-a}{5} \right)^{2}}+\sqrt{c+\left(\frac{a-b}{5} \right)^{2}}$$

Nguyên văn bởi duyanh175 Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là 3 số thực không âm có tổng bằng $1$.Tìm $GTLN$ biểu thức:

$$P=\sqrt{a+\left(\frac{b-c}{5} \right)^{2}}+\sqrt{b+\left(\frac{c-a}{5} \right)^{2}}+\sqrt{c+\left(\frac{a-b}{5} \right)^{2}}$$
Ta sẽ chứng minh
$$ P \le \sqrt{3} $$
Dùng AM-GM có
$$ \sqrt{a+\frac{\left(b-c \right)^2}{25}} =\frac{4}{5\sqrt{3}} \cdot \left( \frac{\frac{5\sqrt{3} \left( a+1 \right)}{4} \cdot \sqrt{25a+\left( b-c \right)^2}}{5 \left( a+1 \right)} \right) \le \frac{2}{25 \sqrt{3} \left( a+1 \right)} \cdot \left( \frac{75 \left( a+1 \right)^2}{16} + 25a+\left( b-c \right)^2 \right)$$
Suy ra
$$ P \le \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{2}{25 \sqrt{3}} \cdot \sum \frac{25a+ \left( b-c \right)^2}{a+1} $$
Cần chứng minh
$$ \sum \frac{25a+ \left( b-c \right)^2}{a+1} \le \frac{75}{4} \quad{(1)} $$
Bất đẳng thức $ \displaystyle (1) $ tương đương
$$ 8 \sum a^3 -4 \sum ab \left( a+b \right) + 4 \sum \left( b-c \right)^2 + 8 \sum a^2 +117 \sum ab +225 abc \le 50 $$
Ta thấy
$$ \sum ab \left( a+b \right) \ge 6abc $$
Do đó cần chứng minh
$$ 8 \sum a^3 + 4 \sum \left( b-c \right)^2 + 8 \sum a^2 +117 \sum ab +201 abc \le 50 =50 \left( a+b+c \right)^2$$
Tương đương với
$$ 8 \sum a^3 + 4 \sum \left( b-c \right)^2 +201 abc \le 42 \sum a^2 -17 \sum ab = \left( a+b+c \right) \left( 42 \sum a^2 -17 \sum ab\right)$$
Tương đương với
$$ 4 \sum bc \left( b-c \right)^2 \le 34 \sum a^3 +25 \sum ab \left( a+b \right) -252 abc = \left( a+b+c \right) \left( 34 \sum a^3 +25 \sum ab \left( a+b \right) -252 abc \right) $$
Tương đương với
$$ 34 \sum a^4 + 55 \sum ab \left( a^2+b^2 \right) + 58 \sum a^2b^2 \ge 202 abc \left( a+b+c \right) $$
Dùng AM-GM có
$$ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \ge abc \left( a+b+c \right) $$

$$ a^4+b^4+c^4 \ge abc \left( a+b+c \right) $$
Do đó chỉ cần chứng minh
$$ \sum ab \left( a^2+b^2 \right) \ge 2abc \left( a+b+c \right) $$
Chuyện đó hiển nhiên đúng bởi
$$ \sum ab \left( a^2+b^2 \right) - 2abc \left( a+b+c \right) = \sum c \left( a+b \right) \left( a-b \right)^2 \ge 0 $$
Như vậy
$$ P \le \sqrt{3} $$
Tại $ \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3} $ thì đẳng thức xảy ra.

Vậy
$$ \max P = \sqrt{3} $$


Con về chẳng thấy mẹ đâu
Nắng vàng mẹ chẳng gội đầu bên sân
Ngoài kia hoa nở thật gần
Ngó vào khe cửa thì thầm: Mẹ ơi!…


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Con gà buồn (28-06-2014), duyanh175 (29-06-2014), Ngọc Anh (28-06-2014), Quân Sư (28-06-2014)
  #3  
Cũ 28-06-2014, 13:41
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 15705
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.191 lần trong 1.384 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c$ là 3 số thực không âm có tổng bằng $1$.Tìm $GTLN$ biểu thức: $$P=\sqrt{a+\left(\frac{b-c}{5} \right)^{2}}+\sqrt{b+\left(\frac{c-a}{5} \right)^{2}}+\sqrt{c+\left(\frac{a-b}{5} \right)^{2}}$$

Nguyên văn bởi duyanh175 Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là 3 số thực không âm có tổng bằng $1$.Tìm $GTLN$ biểu thức:

$$P=\sqrt{a+\left(\frac{b-c}{5} \right)^{2}}+\sqrt{b+\left(\frac{c-a}{5} \right)^{2}}+\sqrt{c+\left(\frac{a-b}{5} \right)^{2}}$$
Đây là một trường hợp đặc biệt của bài toán mà Phan Thành Việt đã mở rộng:
Tìm hằng số k tốt nhất để bất đẳng thức sau đúng với mọi $x,y,z$ không âm có tổng bằng $1$ $$\sqrt{x+k(y-z)^{2}}+\sqrt{y+k(z-x)^{2}}+\sqrt{z+k(x-y)^{2}}\le \sqrt{3}$$ và $k_{max}=1- \frac{\sqrt{3}}{2}$.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên