Cho $ a;b;c \ge 0 $ thoả mãn: $ a^2 + b^2+c^2 =1 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc} $ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 16-06-2014, 03:43
Avatar của phatthientai
phatthientai phatthientai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 658
Điểm: 315 / 9033
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 8227
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 946
Đã cảm ơn : 108
Được cảm ơn 265 lần trong 190 bài viết

Lượt xem bài này: 1004
Mặc định Cho $ a;b;c \ge 0 $ thoả mãn: $ a^2 + b^2+c^2 =1 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc} $

Cho $ a;b;c \ge 0 $ thoả mãn: $ a^2 + b^2+c^2 =1 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc} $$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 24-06-2014, 22:50
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: THPTL.Q.Chí (HT)
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 810
Điểm: 515 / 9010
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.546
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.241 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: Cho $ a;b;c \ge 0 $ thoả mãn: $ a^2 + b^2+c^2 =1 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc} $

Nguyên văn bởi phatthientai Xem bài viết
Cho $ a;b;c \ge 0 $ thoả mãn: $ a^2 + b^2+c^2 =1 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $$ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc} $$
Ta có:
$\frac{2a+c}{1+bc}=\frac{4a+2c}{1+a^2+b^2+c^2+2bc} =\frac{4a+2c}{1+a^2+(b+c)^2}\leq \frac{4a+2c}{1+\frac{(a+b+c)^2}{2}}=\frac{8a+4c}{2 +(a+b+c)^2}\leq \frac{8a+4c}{2\sqrt{2}(a+b+c)}$
$\Rightarrow \frac{2a+c}{1+bc}\leq \frac{8a+4c}{2\sqrt{2}(a+b+c)}~~~~(1)$
Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=1
\\ a=b+c\\2=(a+b+c)^2

\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}},c=0~\vee~a=c=\frac{1}{\sqrt {2}},b=0$
Tương tự:
$\frac{2b+c}{1+ca}\leq \frac{8b+4c}{2\sqrt{2}(a+b+c)}~~~~(2)$
Dấu $=$ xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a^2+b^2+c^2=1
\\ b=a+c\\2=(a+b+c)^2
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{\sqrt{2}},c=0~\vee~b=c=\frac{1}{\sqrt {2}},a=0$
Cộng vế theo vế $(1)$ và $(2)$ ta được:
$\dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca}\leq \frac{8(a+b+c)}{2\sqrt{2}(a+b+c)}=2\sqrt{2}~~~(*)$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}},c=0$.

Ta sẽ đi chứng minh:
$\dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq \sqrt{2}\\\Leftrightarrow a+b+c-2abc\leq \sqrt{2}\\\Leftrightarrow (a+b+c-2abc)^2\leq 2~~~~(A)$
Áp dụng BĐT BCS ta có:
$(a+b+c-2abc)^2\\=\left[c(1-2ab)+(a+b).1 \right]^2\\\leq [c^2+(a+b)^2][(1-2ab)^2+1]=(1+2ab)(4a^2b^2-4ab+2)$
Tiếp tục đi chứng minh:
$(1+2ab)(4a^2b^2-4ab+2)\leq 2\\\Leftrightarrow 2a^2b^2(2ab-1)\leq 0\\\Leftrightarrow 2ab-1\leq 0~~~(B)$
Dễ thấy $(B)$ luôn đúng do:$1=a^2+b^2+c^2\geq a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow 2ab-1\leq 0$
Từ đó suy ra $A$ được chứng minh.Suy ra $\dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq \sqrt{2}~~~(**)$.
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}},c=0$.
Cộng vế theo vế $(*)$ và $(**)$ ta được:
$ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq 3\sqrt{2}$
Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}},c=0$.
Vậy $GTLN$ của biểu thức đã cho là $3\sqrt{2}$.


Nguyễn Minh Đức-THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Huy Vinh (27-06-2014), neymar11 (24-06-2014), Đình Nam (25-06-2014)
  #3  
Cũ 25-06-2014, 00:31
Avatar của Đình Nam
Đình Nam Đình Nam đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Hải Dương
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 190
Điểm: 31 / 2023
Kinh nghiệm: 62%

Thành viên thứ: 24919
 
Tham gia ngày: Apr 2014
Bài gửi: 93
Đã cảm ơn : 200
Được cảm ơn 46 lần trong 27 bài viết

Mặc định Re: Cho $ a;b;c \ge 0 $ thoả mãn: $ a^2 + b^2+c^2 =1 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc} $

$\dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq \sqrt{2}\\\Leftrightarrow a+b+c-2abc\leq \sqrt{2}\\\Leftrightarrow (a+b+c-2abc)^2\leq 2~~~~(A)$
Chỗ này có vẻ chưa ổn lắm! chưa khẳng định được biểu thức dương để bình phương!
Gấu Miu xem lại chỗ này: dấu bằng ý!
Áp dụng BĐT BCS ta có:
$(a+b+c-2abc)^2\\=\left[c(1-2ab)+(a+b).1 \right]^2\\\leq [c^2+(a+b)^2][(1-2ab)^2+1]=(1+2ab)(4a^2b^2-4ab+2)$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Đình Nam 
---=--Sơn--=--- (25-06-2014)
  #4  
Cũ 25-06-2014, 00:36
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: THPTL.Q.Chí (HT)
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 810
Điểm: 515 / 9010
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.546
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.241 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: Cho $ a;b;c \ge 0 $ thoả mãn: $ a^2 + b^2+c^2 =1 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $ \dfrac{2a+c}{1+bc} + \dfrac{2b+c}{1+ca} + \dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc} $

Nguyên văn bởi Đình Nam Xem bài viết
$\dfrac{a+b+c}{1+\sqrt{2}abc}\leq \sqrt{2}\\\Leftrightarrow a+b+c-2abc\leq \sqrt{2}\\\Leftrightarrow (a+b+c-2abc)^2\leq 2~~~~(A)$
Chỗ này có vẻ chưa ổn lắm! chưa khẳng định được biểu thức dương để bình phương!
Gấu Miu xem lại chỗ này: dấu bằng ý!
Áp dụng BĐT BCS ta có:
$(a+b+c-2abc)^2\\=\left[c(1-2ab)+(a+b).1 \right]^2\\\leq [c^2+(a+b)^2][(1-2ab)^2+1]=(1+2ab)(4a^2b^2-4ab+2)$
Để mình xem lại để xử lý chặt chẽ hơn!


Nguyễn Minh Đức-THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho x,y là 2 số thực dương thoả mãn xy = 2. Tìm Min của biểu thức $M=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}$ caoyng_neu Chương trình Toán lớp 9 1 13-02-2017 21:55
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức mu8991 Bất đẳng thức - Cực trị 3 29-05-2016 01:03
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3(ab+bc+ca)$. $N_B^N$ Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 08:48
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a\left[\left(a^2+3\right)\dfrac{a+b}{c}+24\right]+b\left[\left(b^2+3\right)\dfrac{b+c}{a}+24\right]+c\left[\left(c^2+3\right)\dfrac{c+a}{b}+24\right]$$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 1 04-05-2016 23:05
Cho x, y, z $\in \left[0;2 \right]$ thoả mãn x +y +z =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$ kdn1999 Bất đẳng thức - Cực trị 0 27-04-2016 20:02



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014