Cho các số thực không âm $ x,y $ thoả mãn ${x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3(x + y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 14-06-2014, 13:25
Avatar của phatthientai
phatthientai phatthientai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 658
Điểm: 315 / 9023
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 8227
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 946
Đã cảm ơn : 108
Được cảm ơn 265 lần trong 190 bài viết

Lượt xem bài này: 629
Mặc định Cho các số thực không âm $ x,y $ thoả mãn ${x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3(x + y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.$

Cho các số thực không âm $ x,y $ thoả mãn ${x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3(x + y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 14-06-2014, 20:12
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4725
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $ x,y $ thoả mãn ${x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3(x + y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.$

Nguyên văn bởi phatthientai Xem bài viết
Cho các số thực không âm $ x,y $ thoả mãn ${x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3(x + y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.$$

Trước hết, chú ý điều kiện, nhận thấy giả thiết là hoàn toàn đối xứng với 2 biến $x,y$ . Tiếp theo, để ý đến cái biểu thức P. Rõ ràng, P là hàm bậc nhất chia bậc nhất ..
Từ đó, mình nghĩ đến ý tưởng dùng hình học để giải quyết bài toán. Để thực hiện điều đó, điều quan trọng đầu tiên cần làm, là chuyển giả thiết về dạng quen thuộc, phương trình đường tròn. Còn cái biểu thức P kia thì đơn giản rồi, chỉ cần quy đồng chuyển vế chuyển về phương trình đường thẳng, rồi áp dụng công thức khoảng cách nữa là ok .
Tuy nhiên, muốn chuyển P về dạng phương trình đường tròn, trước tiên cần phải loại bỏ ngay cái tích $xy$ có trong giả thiết đã. Mà giả thiết là đối xứng cho nên việc này sẽ rất đơn giản thôi .
Lời giải:
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 2a\\
x - y = 2b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
x = a + b\\
y = a - b
\end{array} \right.\]
.
Khi đó, giả thiết trở thành: ${\left( {a + b} \right)^2} + \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) + {\left( {a - b} \right)^2} + 2 = 6a \Leftrightarrow 3{a^2} + {b^2} + 2 = 6a$. Và: $P = \frac{{5a + b + 1}}{{2a + 6}}$

Do: \[3{a^2} + {b^2} + 2 = 6a \Rightarrow {b^2} = - 3{a^2} + 6a - 2 = 1 - 3{\left( {a - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left| b \right| = \sqrt {1 - 3{{\left( {a - 1} \right)}^2}} \]
Từ đây suy ra: \[P = \frac{{5a + b + 1}}{{2a + 6}} \le \frac{{5a + \left| b \right| + 1}}{{2a + 6}} = \frac{{5a + 1 + \sqrt {1 - 3{{\left( {a - 1} \right)}^2}} }}{{2a + 6}}\]
Đặt: $a-1=t$ thì $t \in \left[ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]$. Biểu thức P viêt lại dưới dạng: \[P = \frac{{5\left( {t + 1} \right) + 1 + \sqrt {1 - 3{t^2}} }}{{2\left( {t + 1} \right) + 6}} = \frac{{5t + 6 + \sqrt {1 - 3{t^2}} }}{{2t + 8}}\]
Đến đây thì đơn giản rồi, xét hàm đảm bảo ra ngay. Nhưng mà nhìn cái biểu thức thấy nản quá, đạo hàm ra chắc cũng mệt. Và casio lên tiếng, sau một hồi ngồi bấm máy dò kết quả mình tìm được Max khi $t=\dfrac{1}{2}$. Và việc còn lại là kiểm chứng điều đó bằng thực nghiệm
Ta sẽ CM cho GTLN của P bằng 1 với $t \in \left[ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]$. . Thật vậy, ta có: \[\frac{{5t + 6 + \sqrt {1 - 3{t^2}} }}{{2t + 8}} \le 1 \Leftrightarrow 2 - 3t \ge \sqrt {1 - 3{t^2}} \Leftrightarrow {\left( {2 - 3t} \right)^2} \ge 1 - 3{t^2} \Leftrightarrow 3{\left( {2t - 1} \right)^2} \ge 0\]
BĐT trên luôn đúng. Vậy ta tìm được GTLN của P bằng 1. Đẳng thức xảy ra khi $x=2;y=1$.


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 12 người đã cảm ơn cho bài viết này
Nhữ Phong (14-06-2014), Bá Thoại (14-06-2014), beodat (14-06-2014), Hà Nguyễn (14-06-2014), hoangphilongpro (14-06-2014), Huy99 (17-08-2015), HạHànMinh (14-06-2014), Kị sĩ ánh sáng (14-06-2014), Quân Sư (14-06-2014), Neverland (15-06-2014), thienvodoi (14-06-2014), Đình Nam (14-06-2014)
  #3  
Cũ 14-06-2014, 21:50
Avatar của Kị sĩ ánh sáng
Kị sĩ ánh sáng Kị sĩ ánh sáng đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Việt Yên- Bắc Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán học-Vật li
 
Cấp bậc: 21 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 514
Điểm: 183 / 5676
Kinh nghiệm: 56%

Thành viên thứ: 20837
 
Tham gia ngày: Mar 2014
Bài gửi: 549
Đã cảm ơn : 494
Được cảm ơn 423 lần trong 219 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $ x,y $ thoả mãn ${x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3(x + y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.$

Nguyên văn bởi Ngọc Anh Xem bài viết

Trước hết, chú ý điều kiện, nhận thấy giả thiết là hoàn toàn đối xứng với 2 biến $x,y$ . Tiếp theo, để ý đến cái biểu thức P. Rõ ràng, P là hàm bậc nhất chia bậc nhất ..
Từ đó, mình nghĩ đến ý tưởng dùng hình học để giải quyết bài toán. Để thực hiện điều đó, điều quan trọng đầu tiên cần làm, là chuyển giả thiết về dạng quen thuộc, phương trình đường tròn. Còn cái biểu thức P kia thì đơn giản rồi, chỉ cần quy đồng chuyển vế chuyển về phương trình đường thẳng, rồi áp dụng công thức khoảng cách nữa là ok .
Tuy nhiên, muốn chuyển P về dạng phương trình đường tròn, trước tiên cần phải loại bỏ ngay cái tích $xy$ có trong giả thiết đã. Mà giả thiết là đối xứng cho nên việc này sẽ rất đơn giản thôi .
Lời giải:
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}
x + y = 2a\\
x - y = 2b
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
x = a + b\\
y = a - b
\end{array} \right.\]
.
Khi đó, giả thiết trở thành: ${\left( {a + b} \right)^2} + \left( {a + b} \right)\left( {a - b} \right) + {\left( {a - b} \right)^2} + 2 = 6a \Leftrightarrow 3{a^2} + {b^2} + 2 = 6a$. Và: $P = \frac{{5a + b + 1}}{{2a + 6}}$

Do: \[3{a^2} + {b^2} + 2 = 6a \Rightarrow {b^2} = - 3{a^2} + 6a - 2 = 1 - 3{\left( {a - 1} \right)^2} \Leftrightarrow \left| b \right| = \sqrt {1 - 3{{\left( {a - 1} \right)}^2}} \]
Từ đây suy ra: \[P = \frac{{5a + b + 1}}{{2a + 6}} \le \frac{{5a + \left| b \right| + 1}}{{2a + 6}} = \frac{{5a + 1 + \sqrt {1 - 3{{\left( {a - 1} \right)}^2}} }}{{2a + 6}}\]
Đặt: $a-1=t$ thì $t \in \left[ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]$. Biểu thức P viêt lại dưới dạng: \[P = \frac{{5\left( {t + 1} \right) + 1 + \sqrt {1 - 3{t^2}} }}{{2\left( {t + 1} \right) + 6}} = \frac{{5t + 6 + \sqrt {1 - 3{t^2}} }}{{2t + 8}}\]
Đến đây thì đơn giản rồi, xét hàm đảm bảo ra ngay. Nhưng mà nhìn cái biểu thức thấy nản quá, đạo hàm ra chắc cũng mệt. Và casio lên tiếng, sau một hồi ngồi bấm máy dò kết quả mình tìm được Max khi $t=\dfrac{1}{2}$. Và việc còn lại là kiểm chứng điều đó bằng thực nghiệm
Ta sẽ CM cho GTLN của P bằng 1 với $t \in \left[ {\frac{{ - 1}}{{\sqrt 3 }};\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right]$. . Thật vậy, ta có: \[\frac{{5t + 6 + \sqrt {1 - 3{t^2}} }}{{2t + 8}} \le 1 \Leftrightarrow 2 - 3t \ge \sqrt {1 - 3{t^2}} \Leftrightarrow {\left( {2 - 3t} \right)^2} \ge 1 - 3{t^2} \Leftrightarrow 3{\left( {2t - 1} \right)^2} \ge 0\]
BĐT trên luôn đúng. Vậy ta tìm được GTLN của P bằng 1. Đẳng thức xảy ra khi $x=2;y=1$.
Giá bài nào của anh cũng vậy :)


$$\boxed{\boxed{\text{Nguyễn Đình Huynh}~\bigstar~\text{A1 - K68 - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh}}}$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Kị sĩ ánh sáng 
Ngọc Anh (14-06-2014)
  #4  
Cũ 14-06-2014, 22:09
Avatar của s2_la
s2_la s2_la đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Hưng Yên
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 161
Điểm: 24 / 2137
Kinh nghiệm: 46%

Thành viên thứ: 12754
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 73
Đã cảm ơn : 51
Được cảm ơn 169 lần trong 51 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $ x,y $ thoả mãn ${x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3(x + y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.$

Ta thấy giả thiết đã cho tương đương với
$$x^2+y^2+xy+2-3(x+y)=0 \Leftrightarrow \left (x+\dfrac{y}{2}-\dfrac{3}{2} \right )^2 +\left (\dfrac{\sqrt{3}}{2} y-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )^2=1$$
Đến đây dễ dàng nhận ra bóng dáng của lượng giác.
Ta đặt $ x+\dfrac{y}{2}-\dfrac{3}{2} =\sin t, \,\, \dfrac{\sqrt{3}}{2} y-\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\cos t$
$$\Rightarrow x=\sin t+1-\dfrac{\cos t}{\sqrt{3}}, \,\, y=1+\dfrac{2\cos t}{\sqrt{3}}$$
Thay vào P ta sẽ có
$$P=\dfrac{3\sin t+\dfrac{\cos t}{\sqrt{3}} + 6}{\sin t+\dfrac{\cos t}{\sqrt{3}}+8}$$
$$\Leftrightarrow (P-3)\sin t + \left (\dfrac{P}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right ) cos t = 6-8P$$
Để phương trình này có nghiệm thì
$$(P-3)^2 + \left (\dfrac{P}{\sqrt{3}} - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right )^2 \ge (6-8P)^2$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{20}{47} \le P \le 1$$
Ta có
$P=1 \Leftrightarrow 3\sin t+\dfrac{\cos t}{\sqrt{3}} + 6 =\sin t+\dfrac{\cos t}{\sqrt{3}}+8 \Leftrightarrow \sin t=1 \Rightarrow \cos t=0 \Rightarrow x=2, y=1$

$P=\dfrac{20}{47} \Leftrightarrow 47\left (3\sin t+\dfrac{\cos t}{\sqrt{3}} + 6 \right ) =20 \left (\sin t+\dfrac{\cos t}{\sqrt{3}}+8 \right )$
$$\Leftrightarrow 121\sin t +\dfrac{27}{\sqrt{3}} \cos t +122=0 $$
Phương trình này chắc chắn có nghiệm do $$121^2+\left (\dfrac{27}{\sqrt{3}}\right )^2 =122^2$$
Vậy GTLN của P là 1. GTNN của P là $\dfrac{20}{47}$.



Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 6 người đã cảm ơn cho bài viết này
beodat (14-06-2014), Hà Nguyễn (14-06-2014), Nguyễn Thế Duy (15-06-2014), ---=--Sơn--=--- (14-06-2014), thienvodoi (14-06-2014), Đình Nam (14-06-2014)
  #5  
Cũ 14-06-2014, 22:27
Avatar của 0915549009
0915549009 0915549009 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 118
Điểm: 16 / 1686
Kinh nghiệm: 75%

Thành viên thứ: 3934
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 48
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 46 lần trong 28 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực không âm $ x,y $ thoả mãn ${x^2} + {y^2} + xy + 2 = 3(x + y)$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \frac{{3x + 2y + 1}}{{x + y + 6}}.$

Từ điều kiện, ta có $(x+\frac{y}{2})^2-3(x+\frac{y}{2})+\frac{5}{4}+\frac{3}{4}(y-1)^2=0$ suy ra $x+\frac{y}{2} \leq \frac{5}{2}$
Cần CM $P \leq 1$ hay $2x+y \leq 5$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  0915549009 
manhba45 (24-06-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho x,y là 2 số thực dương thoả mãn xy = 2. Tìm Min của biểu thức $M=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}$ caoyng_neu Chương trình Toán lớp 9 1 13-02-2017 21:55
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức mu8991 Bất đẳng thức - Cực trị 3 29-05-2016 01:03
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3(ab+bc+ca)$. $N_B^N$ Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 08:48
Cho x, y, z $\in \left[0;2 \right]$ thoả mãn x +y +z =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$ kdn1999 Bất đẳng thức - Cực trị 0 27-04-2016 20:02



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014