Cho các số dương a, b, c thay đổi thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S=$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^2+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c +a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{8(a+b-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 09-06-2014, 12:49
Avatar của Đình Nam
Đình Nam Đình Nam đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Hải Dương
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 190
Điểm: 31 / 2029
Kinh nghiệm: 62%

Thành viên thứ: 24919
 
Tham gia ngày: Apr 2014
Bài gửi: 93
Đã cảm ơn : 200
Được cảm ơn 46 lần trong 27 bài viết

Lượt xem bài này: 577
Mặc định Cho các số dương a, b, c thay đổi thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S=$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^2+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c +a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{8(a+b-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}$

Cho các số dương a, b, c thay đổi thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
S=$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^2+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c +a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{8(a+b-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 09-06-2014, 13:02
Avatar của Nhữ Phong
Nhữ Phong Nhữ Phong đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: ninh binh
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: toan
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 419
Điểm: 121 / 5102
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 16741
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gửi: 363
Đã cảm ơn : 157
Được cảm ơn 346 lần trong 199 bài viết

Mặc định Re: Cho các số dương a, b, c thay đổi thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S=$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^2+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c +a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{8(a+b-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}$

Bài này mình đã giải ở diễn đàn rồi . Tìm lại trong nhưng bài gửi của mình ý



Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow and the important thing is not to stop questioning


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nhữ Phong 
Đình Nam (09-06-2014)
  #3  
Cũ 09-06-2014, 13:03
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8359
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Cho các số dương a, b, c thay đổi thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S=$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^2+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c +a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{8(a+b-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}$

Nguyên văn bởi Đình Nam Xem bài viết
Cho các số dương a, b, c thay đổi thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
S=$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^2+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c +a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{8(a+b-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}$
Trước hết , mình xin giải câu bất đẳng thức. Tuy dạng không mới nhưng mình thấy rất hay, phù hợp cho học sinh ôn thi đại học.


Mình sẽ tiếp tục đóng vai đi thi và hướng nháp để giải câu bất đẳng thức này. Đầu tiên , như kinh nghiệm mà mình đã nói nhiều là ta nên dừng lại quan sát giả thiết. Để từ đó phán đoán điểm rơi của bất đẳng thức. Gỉa thiết cho $a + b + c = 3$ mà lại quan sát xuống biểu thức $P$ ta lại thấy có xuất hiện của sự đối xứng giữa $a$ và $b$ , $c$ lại độc lập trong biểu thức chứa căn do vậy ý tưởng ban đầu ta sẽ dồn về cái biến $c$. Lại quan sát tiếp có nhóm $\left(b + c \right) $ và $\left(a + c \right)$ mặt khác thấy nó nằm trong hai biểu thức con $\frac{\left(2a + b + c \right)}{2a^{2} + \left(b + c \right)^{2}} ; \frac{\left(2b + a + c \right)}{2b^{2} + \left(a + c \right)^{2}}$ rút theo giả thiết $b + c = 3 - a $ ; $a + c = 3 - b$ vậy là biểu thức đã cho được viết lại thành :

$P = \frac{\left(a + 3 \right)^{2}}{2a^{2} + \left(a - 3 \right)^{2}} + \frac{\left(b + 3 \right)^{2}}{2b^{2} + \left(b - 3 \right)^{2}} + \frac{8\left(3 - c - 3\sqrt{c^{2} + 3} \right)}{9c}$


Việc đưa về biểu thức $P$ trên ta đã đơn giản hóa cho công việc dồn về biến $c$. Nhưng đến đây thôi thì cũng mới chỉ là bước đầu. Bây giờ ta đi dự đoán điểm rơi cho nó. Dự đoán thế nào đây nhỉ ??? Nhìn vào biểu thức $P$ và dự đoán ban đầu về tính đối xứng của 2 biểu thức chứa $a$ và $b$ ta đã suy ra được $a = b$. Tiếp tục ta thấy biểu thức chứa $c$ đập ngay trước mắt $\frac{24 - 8c - 24\sqrt{c^{2} + 3}}{9c}$ thấy có chứa $\sqrt{c^2 + 3}$ đến đây ta nghĩ ắt hẳn nó phải là con số đẹp do vậy $c^2 + 3$ phải là 1 số chính phương mà theo giả thiết $a + b = 3 - c > 0$ nên có $c < 3$ và $c^2 + 3$ là số chính phương nên ta có ngay $c = 1$ vì $c^2 + 3 = 4$ rất đẹp. Ô thế ra điểm rơi của bài toán chính là $a = b = c = 1$. Phù. xong cái điểm rơi nhưng mà sẽ bối rối vì không biết dồn $\frac{\left(a + 3 \right)^{2}}{2a^2 + \left(a - 3 \right)^{2}} + \frac{\left(b + 3 \right)^{2}}{2b^2 + \left(b - 3 \right)^{2}}$ về biểu thức chứa $c$ như nào đây ???

Ngồi ngẫm nghĩ 1 chút. Sự xuất hiện đối xứng giữa $a$ và $b$ quá đặc biệt nếu đánh giá được cho biểu thức chứa $a$ kia thì ta cũng sẽ đánh giá tương tự được cho $b$. Vậy thì ta cần đánh giá cái hàm sau : $f\left(x \right) = \frac{x^{2} + 6x + 9}{3x^{2} - 6x + 9}$ với điểm rơi $x$ ta đã được là $x = 1$. Ý tưởng của ta là dồn về biến $c$ mà $c = 3 - \left(a + b \right)$ tức là ta cũng sẽ dồn về cái biến $a + b$ hay đánh giá $\frac{\left(a + 3 \right)^{2}}{2a^2 + \left(a - 3 \right)^{2}} + \frac{\left(b + 3 \right)^{2}}{2b^2 + \left(b - 3 \right)^{2}}$ $\leq k\left(a + b \right) + h$. Đến đây ý tưởng đã rõ ràng đôi chút và cuối cùng ta sẽ đánh giá sao cho $f\left(x \right) = \frac{x^{2} + 6x + 9}{3x^{2} - 6x + 9}$ $\leq $ $\leq m.x + n$. Và công việc của ta là đi tìm $m$ và $n$.

Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng và 1 trong số ứng dụng của nó là tìm tiếp tuyến của 1 hàm số. Một kiến thức có bản xin được nhắc lại ở đây là : phương trình tiếp tuyến của $y = f\left(x \right)$ tại $x = \alpha$ là $y = f'\left(\alpha \right)\left(x - \alpha \right) + f'\left(\alpha \right)$
Click the image to open in full size.
. Đến đây áp dụng cho hàm số $f\left(x \right) = \frac{x^2 + 6x + 9}{3x^2 - 6x + 9}$ tại $x = 1$ từ đó ta sẽ có cái quan trọng sau là $f\left(x \right) = \frac{x^2 + 6x + 9}{3x^2 - 6x + 9 } \leq \frac{4}{3}x + \frac{4}{3}$ vậy là ta đã tìm được $m = n = \frac{4}{3}$ hay là đã đánh giá được :

$\frac{\left(2a + b + c \right)^{2}}{2a^2 + \left(b +c \right)^{2}} + \frac{\left(2b + a + c \right)^{2}}{2b^2 + \left(a +c \right)^{2}} \leq \frac{4}{3}\left(a + b \right) + \frac{8}{3}$$ = \frac{20}{3} - \frac{4}{3}c$

Đến đây nở nụ cườ nhưng đoạn sau xét hàm là phải cẩn thận. Dưới đây mình xin đưa ra lời giải chi tiết.


Hướng dẫn giải

Ta có :
$S = \frac{\left(2a + b + c \right)^{2}}{2a^2 + \left(b + c \right)^{2}} + \frac{\left(2b + a + c \right)^{2}}{2b^2 + \left(a + c \right)^{2}} + \frac{8\left(a + b - 3\sqrt{c^{2} + 3} \right)}{9c}$

Ta cần chứng minh bằng phép biến đổi tương đương :

$\frac{a^2 + 6a + 9}{3a^2 - 6a + 9} \leq \frac{4}{3}a + \frac{4}{3} $ và $\frac{b^2 + 6a + 9}{3b^2 - 6b + 9} \leq \frac{4}{3}b + \frac{4}{3}$

Do đó ta có
$S \leq \frac{52}{9} - \left(\frac{4c}{3} - \frac{24 - 24\sqrt{c^2 + 3}}{9c} \right) = f\left(c \right) $

Tới đây xét hàm $f\left(c \right) $ với $c$ dương ta sẽ được GTLN là $\frac{16}{9} \Leftrightarrow a = b = c = 1.$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Huy99 (17-08-2015), le hoa (19-06-2014), thienvodoi (09-06-2014), Đình Nam (09-06-2014)
  #4  
Cũ 09-06-2014, 13:05
Avatar của Neverland
Neverland Neverland đang ẩn
RunAway-Dsfaster =D
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: Living in my life
Sở thích: My Life
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 443
Điểm: 135 / 5034
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 19217
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gửi: 405
Đã cảm ơn : 180
Được cảm ơn 207 lần trong 132 bài viết

Mặc định Re: Cho các số dương a, b, c thay đổi thoả mãn a+b+c=3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: S=$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^2+(b+c)^{2}}+\frac{(2b+c +a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}+\frac{8(a+b-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}$

Bằng phương pháp tiếp tuyến,sẽ có được các BĐT sau:
$\frac{(2a+b+c)^{2}}{2a^{2}+(b+c)^{2}}=\frac{(a+3) ^{2}}{2a^{2}+(3-a)^{2}}\leq \frac{8}{3}+\frac{4}{3}(a-1)$
$\frac{(2b+c+a)^{2}}{2b^{2}+(c+a)^{2}}=\frac{(b+3) ^{2}}{2b^{2}+(3-b)^{2}}\leq \frac{8}{3}+\frac{4}{3}(b-1)$
$\Rightarrow S\leq \frac{16}{3}+\frac{4}{3}(a+b-2)+\frac{8(a+b)-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}=\frac{16}{3}+\frac{4}{3}(1-c)+\frac{8(3-c)-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}$
Khảo sát hàm
$f(c)=\frac{16}{3}+\frac{4}{3}(1-c)+\frac{8(3-c)-3\sqrt{c^{2}+3}}{9c}$
$c\epsilon [0;3]$


Đã đến lúc phải từ bỏ lối chờ đợi những quà tặng bất ngờ của cuộc sống mà phải tự mình làm ra cuộc sống
-Lev Tolstoi-

Các bạn đang xem video trên www.K2pi.Net.Vn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Neverland 
Đình Nam (09-06-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho x,y là 2 số thực dương thoả mãn xy = 2. Tìm Min của biểu thức $M=\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{3}{2x+y}$ caoyng_neu Chương trình Toán lớp 9 1 13-02-2017 21:55
Cho x, y, z $\in \left[0;2 \right]$ thoả mãn x +y +z =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$ kdn1999 Bất đẳng thức - Cực trị 0 27-04-2016 20:02



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014