Cho ba số thực x,y,z sao cho $x\neq y\neq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left[\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}} \right]$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN TRUNG HỌC giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chương trình Toán lớp 12 giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Ôn tập - Kiểm tra

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 17-05-2014, 17:09
Avatar của Thanh Toàn
Thanh Toàn Thanh Toàn đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Cao Bằng
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 126
Điểm: 17 / 1350
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 24403
 
Tham gia ngày: Apr 2014
Bài gửi: 52
Đã cảm ơn : 18
Được cảm ơn 0 lần trong 0 bài viết

Lượt xem bài này: 1064
Mặc định Cho ba số thực x,y,z sao cho $x\neq y\neq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left[\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}} \right]$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 17-05-2014, 17:43
Avatar của khanhsy
khanhsy khanhsy đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 323
Điểm: 74 / 4025
Kinh nghiệm: 94%

Thành viên thứ: 16240
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Bài gửi: 223
Đã cảm ơn : 63
Được cảm ơn 310 lần trong 144 bài viết

Mặc định Re: Cho ba số thực x,y,z sao cho $x\neq y\neq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left[\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}} \right]$

$k2pi$
Attached Thumbnails
Ấn vào hình để xem hình to hơn Tên:	đại số-11.jpg‎ Xem:	63 KT :	148,6 KB ID :	2185  


ÁC TÀI LÀ ĐỘC KHÍ CỦA QUỐC GIA


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
dienhosp3 (17-05-2014), Thanh Toàn (19-05-2014)
  #3  
Cũ 18-05-2014, 14:37
Avatar của Nhữ Phong
Nhữ Phong Nhữ Phong đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: ninh binh
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: toan
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 419
Điểm: 121 / 5079
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 16741
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gửi: 363
Đã cảm ơn : 157
Được cảm ơn 346 lần trong 199 bài viết

Mặc định Re: Cho ba số thực x,y,z sao cho $x\neq y\neq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left[\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}} \right]$

Thầy khanhsy nhầm rồi ạ vì giả thiết là x,y,z là số thực chứ không phải x,y,z là ba số không âm
Lời giải
*Ta sẽ chứng minh với mọi số thực x,y,z ta luôn có
$\frac{x^{2}}{(y-z)^{2}}+\frac{y^{2}}{(z-x)^{2}}+\frac{z^{2}}{(x-y)^{2}}\geq 2$ (1)
Đặt a=$\frac{x}{y-z},b=\frac{y}{z-x},c=\frac{z}{x-y}$. Khi đó ta có
(1+a)(1+b)(1+c)=-(1-a)(1-b)(1-c)$\Rightarrow ab+bc+ca=-1$
Do đó hiển nhiên
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq -2(ab+bc+ca)=2$ vậy (1) được chứng minh
*Ta sẽ chứng minh với mọi số thực x,y,z ta luôn có
$\frac{(x+y)^{2}}{(x-y)^{2}}+\frac{(y+z)^{2}}{(y-z)^{2}}+\frac{(z+x)^{2}}{(z-x)^{2}}\geq 2$ (2)
Bất đẳng thức này chứng minh giống hệt như trên . Do
$\frac{x+y}{x-y}.\frac{y+z}{y-z}+\frac{y+z}{y-z}.\frac{z+x}{z-x}+\frac{z+x}{z-x}.\frac{x+y}{x-y}=-1$
Vậy $\frac{x^{2}+y^{2}}{(x-y)^{2}}+\frac{y^{2}+z^{2}}{(y-z)^{2}}+\frac{z^{2}+x^{2}}{(z-x)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ (3)
Cộng (1) và (3) ta được
$\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}}\geq \frac{9}{2(x^{2}+y^{2}+z^{2})}$
Nên P$\geq \frac{9}{2}$ dấu '=' xẩy ra khi a=-b,c=0 hoặc các hoán vị tương ứng



Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow and the important thing is not to stop questioning


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
khanhsy (19-05-2014), Thanh Toàn (18-05-2014)
  #4  
Cũ 19-05-2014, 09:45
Avatar của khanhsy
khanhsy khanhsy đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 323
Điểm: 74 / 4025
Kinh nghiệm: 94%

Thành viên thứ: 16240
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Bài gửi: 223
Đã cảm ơn : 63
Được cảm ơn 310 lần trong 144 bài viết

Mặc định Re: Cho ba số thực a,b,c sao cho $a\neq b\neq c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P(a,b,c)=(a^{2}+b^{2}+c^{2})\left[\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}} \right]$

Vâng, do mình không để ý, 3 số bất kì thì dễ hơn nhiều

Không mất tổng quát giả sử rằng $c$ là số ở giữa nhé

$(a^2+b^2+c^2) \left[\dfrac{1}{(a-b)^2} +\dfrac{1}{(b-c)^2} +\dfrac{1}{(c-a)^2} \right] \ge (a^2+b^2) \left[\dfrac{1}{(a-b)^2} +\dfrac{2}{|b-c||c-a|} \right]$

$ \ \ \ \ \ge (a^2+b^2) \left[\dfrac{1}{(a-b)^2} +\dfrac{8}{(|b-c|+|c-a|)^2} \right] = \dfrac{9}{2}+\dfrac{9}{2} \left( \dfrac{a+b}{a-b}\right)^2\ge \dfrac{9}{2}$

Chú ý $c$ là số giữa nên $(|b-c|+|c-a|)^2=(a-b)^2 $


ÁC TÀI LÀ ĐỘC KHÍ CỦA QUỐC GIA


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  khanhsy 
Nhữ Phong (19-05-2014)
  #5  
Cũ 19-05-2014, 09:57
Avatar của Thanh Toàn
Thanh Toàn Thanh Toàn đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Cao Bằng
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 126
Điểm: 17 / 1350
Kinh nghiệm: 5%

Thành viên thứ: 24403
 
Tham gia ngày: Apr 2014
Bài gửi: 52
Đã cảm ơn : 18
Được cảm ơn 0 lần trong 0 bài viết

Mặc định Re: Cho ba số thực x,y,z sao cho $x\neq y\neq z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left[\frac{1}{(x-y)^{2}}+\frac{1}{(y-z)^{2}}+\frac{1}{(z-x)^{2}} \right]$

Thầy khanhsy có thể nói rõ cho em được không. Không hiểu cho lắm.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho x, y, z $\in \left[0;2 \right]$ thoả mãn x +y +z =3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : P=$\frac{1}{x^{2}+y^{2}+2}+\frac{1}{y^{2}+z^{2}+2} +\frac{1}{z^{2}+x^{2}+2}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt {zx}$ kdn1999 Bất đẳng thức - Cực trị 0 27-04-2016 20:02



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014