Cho $ \begin{cases} x,y,z>0& \text{ } \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3& \text{ } \end{cases} $. Chứng minh: $ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z} $ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 31-10-2012, 23:11
Avatar của Hiệp sỹ bóng đêm
Hiệp sỹ bóng đêm Hiệp sỹ bóng đêm đang ẩn
Học
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: nghe nhạc
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 683
Điểm: 343 / 10348
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 809
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.030
Đã cảm ơn : 3.654
Được cảm ơn 1.699 lần trong 639 bài viết

Lượt xem bài này: 1255
Mặc định Cho $ \begin{cases} x,y,z>0& \text{ } \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3& \text{ } \end{cases} $. Chứng minh: $ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z} $

Cho $ \begin{cases} x,y,z>0& \text{ } \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3& \text{ } \end{cases} $
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 31-10-2012, 23:20
Avatar của Sangham_BM
Sangham_BM Sangham_BM đang ẩn
Thành viên Vip
Đến từ: Y.Thành, Nghệ An
Nghề nghiệp: K sĩ
Sở thích: Calisthenics
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 212
Điểm: 36 / 3212
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 825
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 110
Đã cảm ơn : 23
Được cảm ơn 274 lần trong 81 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi thoheo Xem bài viết
Cho [latex]\begin{cases} x,y,z>0& \text{ } \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3& \text{ } \end{cases}[/latex]
Chứng minh:
[latex]\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{y}{x+y+z}[/latex]
Em heo ơi dễ có điều hiển nhiên vì: $\frac{y}{x+y+z}<\frac{y}{z}<\frac{x}{y}+\frac{y}{ z}+\frac{z}{x}$

Chắc em ghi lộn đề?!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Sangham_BM 
  #3  
Cũ 31-10-2012, 23:25
Avatar của Hiệp sỹ bóng đêm
Hiệp sỹ bóng đêm Hiệp sỹ bóng đêm đang ẩn
Học
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: nghe nhạc
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 683
Điểm: 343 / 10348
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 809
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.030
Đã cảm ơn : 3.654
Được cảm ơn 1.699 lần trong 639 bài viết

Mặc định

Dạ. Em cảm ơn! Em sửa lại rồi ạ.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 31-10-2012, 23:37
Avatar của Sangham_BM
Sangham_BM Sangham_BM đang ẩn
Thành viên Vip
Đến từ: Y.Thành, Nghệ An
Nghề nghiệp: K sĩ
Sở thích: Calisthenics
 
Cấp bậc: 9 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 212
Điểm: 36 / 3212
Kinh nghiệm: 50%

Thành viên thứ: 825
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 110
Đã cảm ơn : 23
Được cảm ơn 274 lần trong 81 bài viết

Mặc định

Nguyên văn bởi thoheo Xem bài viết
Cho $ \begin{cases} x,y,z>0& \text{ } \\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=3& \text{ } \end{cases} $
$\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\geq \frac{9}{x+y+z}$
Nguyên văn bởi Ntspbc Xem bài viết
Theo BĐT $Cauchy Schwarz$ ta có:
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}$
Ta cần có $(a+b+c)^3\ge 9(ab+bc+ca)=9t$
Ta có $(a+b+c)^3=(3+t+t)^{1,5}\ge (3\sqrt[3]{3.t.t})^{1,5}=9t$
Đpcm!
Nguyên văn bởi viet_1846 Xem bài viết
Giả sử $c = m{\rm{ax}}\left\{ {a;b;c} \right\}$
$ \Rightarrow a \le 1$
Nếu $a \ge \frac{3}{2}$ thì ${a^2} + {c^2} \ge 3,25 \Rightarrow a < \frac{3}{2}$

\[3 = {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt {{a^2}{b^2}{c^2}} \Rightarrow abc \le 1\]

\[ineq \Leftrightarrow M{\left( {a - b} \right)^2} + N\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) \ge 0\]

Với \[M = \frac{1}{{ab}} - \frac{6}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}}\]

\[N = \frac{1}{{ac}} - \frac{6}{{\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}}\]

Ta có: \[M \ge 1 - \frac{6}{{\sqrt 3 \left( {3 + \sqrt 3 } \right)}} > 0\]

\[N = \frac{{{{\left( {a - c} \right)}^2} + c\left( {3 - 2a} \right) + b\left( {b + 2a + 2c} \right)}}{{ac\left( {a + b + c} \right)\left( {a + b + c + 3} \right)}} > 0\]

BĐT được chứng minh.
Nguyên văn bởi Ntspbc Xem bài viết
Mình có thêm 1 cách nữa:
$BDT\iff (a+b+c)(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a})\ge 9$
$\iff (\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})+(\frac {ac}{b}+\frac{ba}{c}+\frac{cb}{a})+(a+b+c)\ge 9$
Ta có các BĐT
$*\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge \frac{(a^2+b^2+c^2)(a+b+c)}{ab+bc+ca}$
[spoiler=CM:]Chứng minh bằng cách nhân vế theo vế với $ab+bc+ca$ rồi thu gọn và sử dụng $AM-GM$ từng cặp 1.[/spoiler]
$*\frac{ac}{b}+\frac{ba}{c}+\frac{cb}{a}\ge \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=3$
Do đó
$VT\ge \frac{3(a+b+c)}{ab+bc+ca}+(a+b+c)+3\ge 2\sqrt{\frac{3(a+b+c)^2}{ab+bc+ca}}+3\ge 2.3+3=9$
DPCM!
Nguyên văn bởi Phudinhgioihan Xem bài viết
Cho điều kiện mạnh hơn, bdt còn đúng với $a^2+b^2+c^2 \ge 3 $

Xét các số thực dương $x;y;z$ sao cho $x^2+y^2+z^2=3 $

Tồn tại số thực dương $t \ge 1$ sao cho $a=tx; b=ty;c =tz $

Ta cần cm

$ \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \ge \frac{9}{t(x+y+z)} $

Ta đã cm được $\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x} \ge \frac{9}{x+y+z} \ge \frac{9}{t(x+y+z)} $
Nguồn: http://boxmath.vn/4rum/f22/cmr-frac-...c-9-b-c-38768/

Ta còn có thể làm mạnh bài toán hơn nhờ bổ đề:

(Tạ Hồng Quảng, Võ Quốc Bá Cẩn)
Cho $a,\ b, \ c $ là các số dương. Chứng minh rằng[/B]


\[ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+21\frac{ab+bc+ ca}{(a+b+c)^2}\geq 10 \]
Lời giải anh Cẩn:
Ta chỉ cần chứng minh trong trường hợp $a\ge b\ge c$ (anh Cẩn thiếu cái này)
BĐT cần chứng minh được viết lại
$$M(a-b)^2+N(a-c)(b-c)\ge 0$$
Với $M=\frac{1}{ab}-\frac{7}{(a+b+c)^2}, N=\frac{1}{ac}-\frac{7}{(a+b+c)^2}.$
Ta dễ dàng kiễm tra được $N\ge 0.$ Dặt $k=\frac{\sqrt{2}-1}{2},$ ta có $k(k+1)=\frac{1}{4}.$ Chúng ta có 2TH
+ Xét $b-c\le k(a-b)$ (tức là $c\ge (k+1)b-ka$). Ta sẽ chứng minh $M\ge 0,$ tức là $a+b+c\ge \sqrt{7ab}.$ Thật vậy, ta có
$$a+b+c\ge a+b+(k+1)b-ka=(1-k)a+(k+2)b\ge 2\sqrt{(1-k)a(k+2)b}=\sqrt{7ab}.$$
+Xét $b-c\le k(a-b).$ Lúc này ta có
$$(a-c)(b-c)=(a-b)(b-c)+(b-c)^2\ge k(k+1)(a-b)^2=\frac{(a-b)^2}{4}$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $M+\frac{N}{4}\ge 0$ là đủ, tức là
$$\frac{4}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{35}{(a+b+c)^2}\ge 0$$
Sử dụng BĐT $AM-GM$ và $Cauchy Schwarz$ ta có
$$VT\ge \frac{4}{ab}+\frac{1}{ac}-\frac{35}{4a(b+c)}\ge \frac{9}{a(b+c)}-\frac{35}{4a(b+c)}=\frac{1}{4a(b+c)}>0$$
BĐT được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi $a=b=c>0.$

Này heo:


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
Cổ Lực Na Trát (22-08-2013), giotsuongsom (31-10-2012), Hiệp sỹ bóng đêm (31-10-2012), Miền cát trắng (31-10-2012), Piccolo San (26-12-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$, begincases, chứng, cho, endcases, frac9x, fracxy, fracyx, fracyz, fraczxgeq, minh, text, x2, y2, z&gt0, z>0and, z23and
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014