Thêm một cách chứng minh Nesbitt - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TÀI LIỆU MÔN TOÁN THPT giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Tài liệu Đại số Sơ cấp giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan [Tài liệu] Bất đẳng thức

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 31-03-2014, 17:17
Avatar của Nguyễn Duy Hồng
Nguyễn Duy Hồng Nguyễn Duy Hồng đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Sóc Sơn - Hà Nội
Nghề nghiệp: Kỹ Sư Xây Dựng
 
Cấp bậc: 35 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 86 / 869
Điểm: 611 / 11970
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7332
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 1.835
Đã cảm ơn : 1.971
Được cảm ơn 1.849 lần trong 898 bài viết

Lượt xem bài này: 1776
Mặc định Thêm một cách chứng minh Nesbitt

Nghe giang hồ đồn thổi đã có 45 cách chứng minh bất đẳng thức Nesbitt, và hôm trước mình tìm hiểu thì đã có 51 cách chứng minh bất đẳng thức này. Mình giới thiệu thêm một cách (tạm gọi là cách 52):
Bất đẳng thức Nesbitt: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$$ \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$
Chứng minh:

Xét hàm số: $f(x)= \frac{x}{b+c}+ \frac{9}{4} \frac{b+c}{x+b+c}$ với $x>0; b>0; c>0$
$$f'(x)= \frac{1}{b+c}- \frac{9}{4} \frac{b+c}{(x+b+c)^2}$$
$$f'(x)=0\leftrightarrow x= \frac{b+c}{2}$$
Lập bẳng biến thiên trên khoảng $\left(0;+\propto \right)$ ta có:
$$f(x) \geq f( \frac{b+c}{2})=2$$
Dấu bằng xảy ra khi $x= \frac{b+c}{2}$
Cho $a=x$ ta có: $$\frac{a}{b+c}+ \frac{9}{4} \frac{b+c}{a+b+c} \geq 2$$ (1)
Tương tự như vậy ta có:
$$\frac{b}{c+a}+ \frac{9}{4} \frac{c+a}{b+c+a} \geq 2$$ (2)
$$\frac{c}{a+b}+ \frac{9}{4} \frac{a+b}{c+a+b} \geq 2$$ (3)
Cộng (1), (2) và (3) lại ta được bất đẳng thức Nesbitt, dấu đẳng thức đạt được khi $a=b=c>0$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 7 người đã cảm ơn cho bài viết này
huytoan99 (03-05-2015), Kị sĩ ánh sáng (31-03-2014), ma29 (31-03-2014), neymar11 (31-03-2014), Phạm Kim Chung (31-03-2014), Shirunai Okami (31-03-2014), Quân Nguễn (26-10-2017)
  #2  
Cũ 31-03-2014, 17:53
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 458
Điểm: 144 / 6049
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 434
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Mặc định Re: Thêm một cách chứng minh Nesbitt

Nguyên văn bởi Nguyễn Duy Hồng Xem bài viết
Nghe giang hồ đồn thổi đã có 45 cách chứng minh bất đẳng thức Nesbitt, và hôm trước mình tìm hiểu thì đã có 51 cách chứng minh bất đẳng thức này. Mình giới thiệu thêm một cách (tạm gọi là cách 52):
Bất đẳng thức Nesbitt: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$$ \frac{a}{b+c}+ \frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}$$
Chứng minh:

Xét hàm số: $f(x)= \frac{x}{b+c}+ \frac{9}{4} \frac{b+c}{x+b+c}$ với $x>0; b>0; c>0$
$$f'(x)= \frac{1}{b+c}- \frac{9}{4} \frac{b+c}{(x+b+c)^2}$$
$$f'(x)=0\leftrightarrow x= \frac{b+c}{2}$$
Lập bẳng biến thiên trên khoảng $\left(0;+\propto \right)$ ta có:
$$f(x) \geq f( \frac{b+c}{2})=2$$
Dấu bằng xảy ra khi $x= \frac{b+c}{2}$
Cho $a=x$ ta có: $$\frac{a}{b+c}+ \frac{9}{4} \frac{b+c}{a+b+c} \geq 2$$ (1)
Tương tự như vậy ta có:
$$\frac{b}{c+a}+ \frac{9}{4} \frac{c+a}{b+c+a} \geq 2$$ (2)
$$\frac{c}{a+b}+ \frac{9}{4} \frac{a+b}{c+a+b} \geq 2$$ (3)
Cộng (1), (2) và (3) lại ta được bất đẳng thức Nesbitt, dấu đẳng thức đạt được khi $a=b=c>0$
Có khi nào nó nằm ở giữa của cách đặt $M,N,S$ và cách lấy đạo hàm không thầy Hồng


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 31-03-2014, 18:37
Avatar của Nguyễn Duy Hồng
Nguyễn Duy Hồng Nguyễn Duy Hồng đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Sóc Sơn - Hà Nội
Nghề nghiệp: Kỹ Sư Xây Dựng
 
Cấp bậc: 35 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 86 / 869
Điểm: 611 / 11970
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7332
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 1.835
Đã cảm ơn : 1.971
Được cảm ơn 1.849 lần trong 898 bài viết

Mặc định Re: Thêm một cách chứng minh Nesbitt

Nguyên văn bởi ma29 Xem bài viết
Có khi nào nó nằm ở giữa của cách đặt $M,N,S$ và cách lấy đạo hàm không thầy Hồng
Một lời giải cũng chỉ đơn giản như một cách đi. Nếu với một ai đó kiến thức uyên thâm sâu rộng thì rất nhiều con đường đi họ đều nhìn thấy những điểm giống nhau.... . Câu hỏi cuả em là câu hỏi mở và khó!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 31-03-2014, 18:56
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 458
Điểm: 144 / 6049
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 434
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Mặc định Re: Thêm một cách chứng minh Nesbitt

Nguyên văn bởi Nguyễn Duy Hồng Xem bài viết
Một lời giải cũng chỉ đơn giản như một cách đi. Nếu với một ai đó kiến thức uyên thâm sâu rộng thì rất nhiều con đường đi họ đều nhìn thấy những điểm giống nhau.... . Câu hỏi cuả em là câu hỏi mở và khó!
Thì trong sách đó thầy $$S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$$
$$M=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{a}{a+b}$$
$$N=\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}$$
Ta thấy rằng:
$$S+M=\frac{a}{b+c}+ \frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b}+ \frac{b}{b+c}+ \frac{c}{c+a}+ \frac{a}{a+b}\geq \frac{9}{2}$$
$$S+N=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+ \frac{c}{a+b}+ \frac{c}{b+c}+ \frac{a}{c+a}+ \frac{b}{a+b}\geq \frac{9}{2}$$
$$\Rightarrow 2S+M+N\geq 9\Rightarrow 2S\geq 9-(M+N)\Rightarrow S\geq \frac{3}{2}$$
Cách của thầy và cách này là tương đương nhau chắc luôn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #5  
Cũ 20-10-2014, 16:55
Avatar của HamHocHoi
HamHocHoi HamHocHoi đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 0
Điểm: 0 / 0
Kinh nghiệm: 0%

Thành viên thứ: 28815
 
Tham gia ngày: Oct 2014
Bài gửi: 1
Đã cảm ơn : 2
Được cảm ơn 0 lần trong 0 bài viết

Mặc định Re: Thêm một cách chứng minh Nesbitt

Cách này được không?
$\begin{array}{l}
\frac{a}{{b + c}} = \frac{{(a + b) + (c + a)}}{{2(b + c)}} - \frac{1}{2}\\
\frac{b}{{c + a}} = \frac{{(b + a) + (c + b)}}{{2(c + a)}} - \frac{1}{2}\\
\frac{c}{{a + b}} = \frac{{(c + b) + (a + c)}}{{2(a + b)}} - \frac{1}{2}
\end{array}$
Suy ra:
$\begin{array}{l}
VT = \left[ {\frac{{a + b}}{{2(b + c)}} + \frac{{(b + c)}}{{2(a + b)}}} \right] + \left[ {\frac{{c + a}}{{2(b + c)}} + \frac{{(b + c)}}{{2(c + a)}}} \right] + \left[ {\frac{{a + b}}{{2(c + a)}} + \frac{{(c + a)}}{{2(a + b)}}} \right] - \frac{3}{2}\\
\ge 3.2\sqrt {\frac{1}{4}} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} = VP
\end{array}$


Đừng ngại học hỏi, bạn sẽ giỏi


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho hình chữ nhật ABCD, AB=2BC, gọi G là trọng tâm tam giác ACD và M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB= 6AM. Chứng minh MF vuông góc với BD. mh10111988 Hình học lớp 9 2 24-06-2016 21:23
Bài toán hay: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H(5;5). EF cắt BC tại P(8;0). M(9/2;7/2). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. (Liệu có thể chứng minh PH dobinh1111 Hình giải tích phẳng Oxy 0 03-05-2016 12:44
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Chứng minh Các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên máy tính Inspectorgadget [Tài liệu] Bất đẳng thức 0 27-04-2016 12:45
Chứng minh $\Delta ADE \sim \Delta ABC$ ngoisaocodon Hình học lớp 8 0 22-04-2016 00:35



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
cách 52 chung minh nesbit
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014