Diện tích tam giác có các đỉnh nằm trên đường tròn - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán Hình học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Hình giải tích phẳng Oxy

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 26-03-2014, 18:19
Avatar của LaMort
LaMort LaMort đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 189
Điểm: 30 / 2194
Kinh nghiệm: 57%

Thành viên thứ: 18146
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 92
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 214 lần trong 64 bài viết

Lượt xem bài này: 1208
Mặc định Diện tích tam giác có các đỉnh nằm trên đường tròn

Trong hệ tọa độ $(Oxy)$, cho điểm $A(1;\, 0)$ và hai đường tròn:\[\begin{array}{l}
({C_1}):\,\,{x^2} + {y^2} = 2\\
({C_2}):\,\,{x^2} + {y^2} = 5;
\end{array}\]Tìm tọa độ các điểm $B$ thuộc $(C_1)$, $C$ thuộc $(C_2)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt lớn nhất.

PS. Hôm qua có đứa nhỏ hỏi LaMort bài toán này, mình có làm bằng số phức thấy rất hay và.. khó Mời mọi người thảo luận


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  LaMort 
Hà Nguyễn (26-03-2014)
  #2  
Cũ 26-03-2014, 21:31
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8330
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Diện tích tam giác có các đỉnh nằm trên đường tròn

Nguyên văn bởi LaMort Xem bài viết
Trong hệ tọa độ $(Oxy)$, cho điểm $A(1;\, 0)$ và hai đường tròn:\[\begin{array}{l}
({C_1}):\,\,{x^2} + {y^2} = 2\\
({C_2}):\,\,{x^2} + {y^2} = 5;
\end{array}\]Tìm tọa độ các điểm $B$ thuộc $(C_1)$, $C$ thuộc $(C_2)$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ đạt lớn nhất.

PS. Hôm qua có đứa nhỏ hỏi LaMort bài toán này, mình có làm bằng số phức thấy rất hay và.. khó Mời mọi người thảo luận
Hướng dẫn giải

Gỉa sử tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất , khi đó $O$ là trực tâm tam giác $ABC$. Thật vậy , nếu $CO$ không vuông góc với $AB$ thì sẽ tồn tại điểm $C' \in \left(C_{2} \right)$ sao cho $C'O \perp AB$ và $d\left(C' ; \left(AB \right) \right) > d\left(C ; \left(AB \right)\right) $ , do đó : $S_{ABC'} > S_{ABC}$

Vậy tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}
OB \perp AC \\
OC \perp AB
\end{matrix}\right.$

Gọi $B\left(x_{B} ; y_{B}\right)$ ; $C\left(x_C ; y_C \right)$. Vì $BC \perp OA $ và $A \in Ox$ nên $x_B = x_C$

Do đó : $\vec{AB} \left(1 - x_B ; y_B \right) $ và $\vec{OC} \left(x_B ; y_C \right)$

Theo bài ra ta có hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix}
\vec{AB}.\vec{OC} = 0 \\
B \in \left(C_{1} \right) \\
C \in \left(C_{2} \right)
\end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix}
\left(x_B - 1 \right)x_B + y_B.y_C = 0 \\
x_{B}^{2} + y_{B}^{2} = 2 \\
x^{2}_{B} + y^{2}_{C} = 5
\end{matrix}\right.$

Từ đó ta có : $y^{2}_{B} = 2 - x^{2}_{B}$ ; $y^{2}_{C} = 5 - x^{2}_{C}$ nên ta có : $\left(5 - x^{2}_{C} \right)\left(2 - x^{2}_{C} \right) = y^{2}_{B}.y^{2}_{C} = x^{2}_{C}\left(1 - x^{2}_{C} \right)$

Rút gọn ta được : $x^{3}_{C} - 4x^{2}_{C} + 5 = 0 $ và $x_{C}^{2} \leq 2$ nên ta được $x_{C} = - 1$ hoặc $x_{C} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

Ta lại có diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2}\left|x_{A} - x_{C}\right|.\left|y_{C} - y_{B}\right|$ nên

$S^{2} = \frac{1}{4}\left(1 - x_{C}\right)^{2}\left(7 - 2x_{C} \right)$

Do đó với $x_{C} = - 1 $ thì $S = 3$ còn với $x_{C} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} $ thì $S < 3$ nên $max S = 3 $ khi $x_C = - 1$. Khi đó dễ dàng xác định được tọa độ các điểm cần tìm là $B\left( - 1; - 1 \right) $ ; $C \left( - 1 ; 2 \right)$ hoặc $B \left( - 1 ; 1 \right)$ ; $ C\left( - 1 ; - 2 \right)$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Kị sĩ ánh sáng (26-03-2014), ma29 (26-03-2014)
  #3  
Cũ 26-03-2014, 21:36
Avatar của Kị sĩ ánh sáng
Kị sĩ ánh sáng Kị sĩ ánh sáng đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Việt Yên- Bắc Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán học-Vật li
 
Cấp bậc: 21 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 514
Điểm: 183 / 5676
Kinh nghiệm: 56%

Thành viên thứ: 20837
 
Tham gia ngày: Mar 2014
Bài gửi: 549
Đã cảm ơn : 494
Được cảm ơn 423 lần trong 219 bài viết

Mặc định Re: Diện tích tam giác có các đỉnh nằm trên đường tròn

Nguyên văn bởi Hiền Duy Xem bài viết
Hướng dẫn giải

Gỉa sử tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất , khi đó $O$ là trực tâm tam giác $ABC$. Thật vậy , nếu $CO$ không vuông góc với $AB$ thì sẽ tồn tại điểm $C' \in \left(C_{2} \right)$ sao cho $C'O \perp AB$ và $d\left(C' ; \left(AB \right) \right) > d\left(C ; \left(AB \right)\right) $ , do đó : $S_{ABC'} > S_{ABC}$

Vậy tam giác $ABC$ có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix}
OB \perp AC \\
OC \perp AB
\end{matrix}\right.$

Gọi $B\left(x_{B} ; y_{B}\right)$ ; $C\left(x_C ; y_C \right)$. Vì $BC \perp OA $ và $A \in Ox$ nên $x_B = x_C$

Do đó : $\vec{AB} \left(1 - x_B ; y_B \right) $ và $\vec{OC} \left(x_B ; y_C \right)$

Theo bài ra ta có hệ phương trình sau : $\left\{\begin{matrix}
\vec{AB}.\vec{OC} = 0 \\
B \in \left(C_{1} \right) \\
C \in \left(C_{2} \right)
\end{matrix}\right.$ hay $\left\{\begin{matrix}
\left(x_B - 1 \right)x_B + y_B.y_C = 0 \\
x_{B}^{2} + y_{B}^{2} = 2 \\
x^{2}_{B} + y^{2}_{C} = 5
\end{matrix}\right.$

Từ đó ta có : $y^{2}_{B} = 2 - x^{2}_{B}$ ; $y^{2}_{C} = 5 - x^{2}_{C}$ nên ta có : $\left(5 - x^{2}_{C} \right)\left(2 - x^{2}_{C} \right) = y^{2}_{B}.y^{2}_{C} = x^{2}_{C}\left(1 - x^{2}_{C} \right)$

Rút gọn ta được : $x^{3}_{C} - 4x^{2}_{C} + 5 = 0 $ và $x_{C}^{2} \leq 2$ nên ta được $x_{C} = - 1$ hoặc $x_{C} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2}$

Ta lại có diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2}\left|x_{A} - x_{C}\right|.\left|y_{C} - y_{B}\right|$ nên

$S^{2} = \frac{1}{4}\left(1 - x_{C}\right)^{2}\left(7 - 2x_{C} \right)$

Do đó với $x_{C} = - 1 $ thì $S = 3$ còn với $x_{C} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} $ thì $S < 3$ nên $max S = 3 $ khi $x_C = - 1$. Khi đó dễ dàng xác định được tọa độ các điểm cần tìm là $B\left( - 1; - 1 \right) $ ; $C \left( - 1 ; 2 \right)$ hoặc $B \left( - 1 ; 1 \right)$ ; $ C\left( - 1 ; - 2 \right)$
A giải và trình bày đẹp mắt quá


$$\boxed{\boxed{\text{Nguyễn Đình Huynh}~\bigstar~\text{A1 - K68 - Trường THPT Hàn Thuyên - Bắc Ninh}}}$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 26-03-2014, 22:59
Avatar của LaMort
LaMort LaMort đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 189
Điểm: 30 / 2194
Kinh nghiệm: 57%

Thành viên thứ: 18146
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 92
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 214 lần trong 64 bài viết

Mặc định Re: Diện tích tam giác có các đỉnh nằm trên đường tròn

Nguyên văn bởi Hiền Duy Xem bài viết
nếu $CO$ không vuông góc với $AB$ thì sẽ tồn tại điểm $C' \in \left(C_{2} \right)$ sao cho $C'O \perp AB$ và $d\left(C' ; \left(AB \right) \right) > d\left(C ; \left(AB \right)\right) $
Tại sao có điều này?


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #5  
Cũ 26-03-2014, 23:01
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8330
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Diện tích tam giác có các đỉnh nằm trên đường tròn

Nguyên văn bởi LaMort Xem bài viết
Tại sao có điều này?
Đây là điều mà ta giả sử để rồi chứng minh $O$ là trực tâm tam giác $ABC$.


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 26-03-2014, 23:07
Avatar của LaMort
LaMort LaMort đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 189
Điểm: 30 / 2194
Kinh nghiệm: 57%

Thành viên thứ: 18146
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 92
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 214 lần trong 64 bài viết

Mặc định Re: Diện tích tam giác có các đỉnh nằm trên đường tròn

Nguyên văn bởi Hiền Duy Xem bài viết
Đây là điều mà ta giả sử để rồi chứng minh $O$ là trực tâm tam giác $ABC$.
Nếu OC vuông góc với AB, thì cũng tương tự mà có OB vuông với AC để dẫn tới O là trực tâm. Nhưng đang hỏi cậu cái lý luận mà cậu đưa ra là "Vì sao nếu $CO$ không vuông góc với $AB$ thì sẽ tồn tại điểm $C' \in \left(C_{2} \right)$ sao cho $C'O \perp AB$ và $d\left(C' ; \left(AB \right) \right) > d\left(C ; \left(AB \right)\right) $?".

Đó là một điều cần chứng minh rõ ràng chứ giả sử cái gì? Cậu ko hiểu logic ah?


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  LaMort 
Huy Vinh (27-03-2014)
  #7  
Cũ 27-03-2014, 00:44
Avatar của Huy Vinh
Huy Vinh Huy Vinh đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: TX - Thanh Hóa
Nghề nghiệp: Học Sinh
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 344
Điểm: 83 / 5033
Kinh nghiệm: 78%

Thành viên thứ: 1842
 
Tham gia ngày: Dec 2012
Bài gửi: 250
Đã cảm ơn : 1.073
Được cảm ơn 197 lần trong 91 bài viết

Mặc định Re: Diện tích tam giác có các đỉnh nằm trên đường tròn

Anh LaMort có thể đưa lời giải của anh cho mọi người cùng tham khảo không ?
Cảm ơn anh nhiều !


NGUYỄN HUY VINH


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho tam giác ABC vuông tại A có B(4;1), I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, đường thẳng qua C vuông góc CI cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC tại K(7;7), biết C thuộc đường thẳng d: 3x-y+2=0 Harass Hình giải tích phẳng Oxy 0 28-05-2016 18:32
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn và nội tiếp đường tròn tâm I, các tiếp tuyến với đường tròn tại A và C cắt tiếp tuyến có tiếp điểm B tại các điểm tương ứng M(-4; Khanhduy Hình giải tích phẳng Oxy 0 14-05-2016 00:00
Bài toán hay: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H(5;5). EF cắt BC tại P(8;0). M(9/2;7/2). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. (Liệu có thể chứng minh PH dobinh1111 Hình giải tích phẳng Oxy 0 03-05-2016 12:44
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. M(2;2) là trung điểm BC, N là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB=4AN, biết phương trình đường CN: 4x+y-4=0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác biết điểm C nằm trên trục hoàn xuanvy2005 Hình giải tích phẳng Oxy 1 28-04-2016 15:27
[Oxy] Cho hình thang ABCD vuông tại A và D ...Viết phương trình đường thẳng AD biết AD không song song với các trục tọa độ loanphuongtit Hình giải tích phẳng Oxy 4 13-04-2015 17:38



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014