Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}\ geq 6$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 18-03-2014, 19:40
Avatar của trangthao
trangthao trangthao đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: CLA
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: ngủ
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 261
Điểm: 51 / 3490
Kinh nghiệm: 46%

Thành viên thứ: 11634
 
Tham gia ngày: May 2013
Bài gửi: 154
Đã cảm ơn : 64
Được cảm ơn 13 lần trong 13 bài viết

Lượt xem bài này: 566
Mặc định Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a} \geq 6$$



5ting!


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  trangthao 
Math (22-03-2014)
  #2  
Cũ 18-03-2014, 20:47
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 458
Điểm: 144 / 6061
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 434
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Mặc định Re: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a} \geq 6$$

Nguyên văn bởi trangthao Xem bài viết
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a} \geq 6$$
Lời giải
Gợi ý : Đặt $x=c+a, y=a+b$ và $z=b+c$ ta có ngay điều phải chứng minh .


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  ma29 
Math (22-03-2014)
  #3  
Cũ 22-03-2014, 09:12
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8346
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a} \geq 6$$

Nguyên văn bởi trangthao Xem bài viết
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a} \geq 6$$
Hướng dẫn giải

Ý tưởng : sử dụng bất đẳng thức : Cho $a,b$ dương. Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}}{a} + \frac{y^{2}}{b} \geq \frac{\left(x + y \right)^{2}}{a + b}$


Muốn dùng được bất đẳng thức cộng mẫu số trên , ta cần đặt được nhân tử chung. Do vậy viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng :

$\frac{a + 3c}{a + b} + m + \frac{c + 3a}{b + c} + n + \frac{4b}{c + a} + p \geq 6 + m + n + p$

Ta tìm các số $m$ ; $n$ ; $p$ sao cho :

$\bullet $ Với $a + 3c + m\left(a + b \right) = c + 3a + n\left(b + c \right) = T $ thì $m = n = 2$ và $T = 3a + 2b + 3c$.

$\bullet $ Với $4b + p\left(c + a \right) = q.T $ thì được $p = 6$

Do vậy , bất đẳng thức đã cho tương đương với

$\frac{a + 3c}{a + b} + 2 + \frac{c + 3a}{b + c} + 2 + \frac{4b}{c + a} + 6 \geq 16$

Hay
$\left(3a + 2b + 3c \right)\left(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{2}{c + a}\right) \geq 16$

Áp dụng bất đẳng thức đã nói ở trên ta được :

$\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{2}{c + a} \geq \frac{4}{2a + b + c} + \frac{4}{a + b + 2c} \geq \frac{16}{3a + 2b + 3c}$

Suy ra được :
$\left(3a + 2b + 3c \right)\left(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{2}{c + a}\right) \geq 16$

Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c > 0$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Math (22-03-2014), giacatluc01 (22-03-2014)
  #4  
Cũ 22-03-2014, 12:34
Avatar của HongAn39
HongAn39 HongAn39 đang ẩn
$\Huge{\mathcal{HongAn}}$
Đến từ: TP HCM
Nghề nghiệp: Sinh Viên
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 259
Điểm: 50 / 2893
Kinh nghiệm: 38%

Thành viên thứ: 20204
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 152
Đã cảm ơn : 68
Được cảm ơn 301 lần trong 117 bài viết

Mặc định Re: Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng: $$\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+a} \geq 6$$

Nguyên văn bởi trangthao Xem bài viết
Cho a,b,c>0. Chứng minh rằng:
$$P=\frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{4b}{c+ a}\geq 6$$
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:
Ta có $$P+2 = \frac{a+3c}{a+b}+\frac{c+3a}{b+c}+\frac{2a+4b+2c}{ c+a} \ge \frac{16(a+c)^2}{(a+c)^2+4b(a+c)+4ac} + \frac{2a+4b+2c}{c+a} \\ \ge \frac{16(a+c)}{2a+4b+2c} + \frac{2a+4b+2c}{c+a} \ge 8 \\ => dpcm$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Math (22-03-2014), hoangmac (22-03-2014), trangthao (23-03-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh rằng $x^2+y^2+\frac{3}{5}xy>1$ jupiterhn9x Bất đẳng thức - Cực trị 1 22-05-2016 13:41
Chứng minh rằng $\forall a\geq 1$ ta luôn có $\frac{1}{a^{x}}+\frac{1}{a^{y}}+\frac{1}{a^{z}}\g eq \frac{x}{a^{x}}+\frac{y}{a^{y}}+\frac{z}{a^{z}}$ youngahkim Bất đẳng thức - Cực trị 1 20-05-2016 13:44
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
p=$\frac{a 3c}{a 2b c} \frac{4b}{a b 2c}-\frac{8c}{a b 3c}$
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014