Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc+a+c=b$. Tìm GTLN của: $$P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 17-03-2014, 05:27
Avatar của Connhangheo
Connhangheo Connhangheo đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 150
Điểm: 22 / 1679
Kinh nghiệm: 2%

Thành viên thứ: 19984
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 66
Đã cảm ơn : 54
Được cảm ơn 9 lần trong 8 bài viết

Lượt xem bài này: 462
Mặc định Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc+a+c=b$. Tìm GTLN của: $$P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$$

Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc+a+c=b$. Tìm GTLN của: $$P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Connhangheo 
Math (17-03-2014)
  #2  
Cũ 17-03-2014, 08:19
Avatar của Quân Sư
Quân Sư Quân Sư đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: THPTL.Q.Chí (HT)
Sở thích: Lặng Lẽ
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 81 / 810
Điểm: 515 / 9005
Kinh nghiệm: 43%

Thành viên thứ: 20436
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 1.546
Đã cảm ơn : 503
Được cảm ơn 1.241 lần trong 754 bài viết

Mặc định Re: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc+a+c=b$. Tìm GTLN của: $$P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$$

Bài đã được thảo luận:http://k2pi.net.vn/showthread.php?t=14653


Nguyễn Minh Đức-THPT Lê Quảng Chí (Hà Tĩnh)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Math (17-03-2014), Connhangheo (19-03-2014)
  #3  
Cũ 17-03-2014, 10:39
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8335
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc+a+c=b$. Tìm GTLN của: $$P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$$

Nguyên văn bởi Connhangheo Xem bài viết
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc+a+c=b$. Tìm GTLN của: $$P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$$
Hướng dẫn giải

Từ giả thiết ta có : $a + c = b\left(1 - ac \right) \Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}{l}
a < \frac{1}{c} \\
b = \frac{a + c}{1 - ac}
\end{array} \right.$

Thay vào biểu thức $P = \frac{2}{a^2 + 1} + \frac{2\left(a + c \right)^{2}}{\left(a^{2} + 1 \right)\left(c^2 + 1 \right)} - 2 + \frac{3}{c^{2} + 1}$

Xét hàm số $f\left(x \right) = \frac{1}{x^2 + 1} + \frac{\left(x + c \right)^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)\left(c^2 + 1 \right)} - 1 $ với $c$ là tham số thuộc $\left(0 ; \frac{1}{c} \right)$

$f'\left(x \right) = 0 \Leftrightarrow x = x_{0} = - c + \sqrt{c^2 + 1}$ suy ra $f\left(x \right) \leq f\left(x_{0} \right) = \frac{c}{\sqrt{c^2 + 1}}$

Nên ta có : $P = 2.f\left(a \right) + \frac{3}{c^2 + 1} \leq 2.f\left(x_{0} \right) + \frac{3}{c^2 + 1} \leq \frac{2c}{\sqrt{c^2 + 1}} + \frac{3}{c^2 + 1} = g\left(x \right)$

Xét hàm số $g\left(c \right) = \frac{2c}{\sqrt{c^2 + 1}} + \frac{3}{c^2 + 1} $ với $c \in \left( 0 ; + oo \right)$ suy ra $g\left(c \right) \leq g\left(\frac{1}{2\sqrt{2}} \right) = \frac{10}{3}$

Kết luận : GTLN của $P$ là $\frac{10}{3}$. Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l}
a = \frac{1}{\sqrt{2}}\\
b = \sqrt{2} \\
c = \frac{1}{2\sqrt{2}}
\end{array} \right.$



Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Math (17-03-2014), Connhangheo (19-03-2014)
  #4  
Cũ 17-03-2014, 12:06
Avatar của HongAn39
HongAn39 HongAn39 đang ẩn
$\Huge{\mathcal{HongAn}}$
Đến từ: TP HCM
Nghề nghiệp: Sinh Viên
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 259
Điểm: 50 / 2889
Kinh nghiệm: 38%

Thành viên thứ: 20204
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 152
Đã cảm ơn : 68
Được cảm ơn 301 lần trong 117 bài viết

Mặc định Re: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc+a+c=b$. Tìm GTLN của: $$P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$$

Nguyên văn bởi Connhangheo Xem bài viết
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn $abc+a+c=b$. Tìm GTLN của: $$P=\frac{2}{a^{2}+1}-\frac{2}{b^{2}+1}+\frac{3}{c^{2}+1}$$
Từ giả thiết, ta có $c= \frac{b-a}{1+ab}$. Thay vào P ta được
$$ P= \frac{2}{1+a^2} - \frac{2}{1+b^2} + \frac{3(1+ab)}{(1+ab)^2+(b-a)^2} \\ = \frac{2(b^2-a^2)}{(1+a^2)(1+b^2)} - \frac{3(a-b)^2}{(1+a^2)(1+b^2)} + 3 = \frac{(b-a)(5a-b)}{(1+a^2)(1+b^2)}+3$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ và $Cauchy-Schwarz$ ta có:
$$\frac{(b-a)(5a-b)}{(1+a^2)(1+b^2)} = \frac{(3b-3a)(5a-b)}{3(1+a^2)(1+b^2)} \le \frac{(3b-3a+5a-b)^2}{12(1+a^2)(1+b^2)} = \\ \frac{(a+b)^2}{3(1+a^2)(1+b^2)} \le \frac{1}{3} $$
Do đó $P\le \frac{10}{3}$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Math (17-03-2014), Connhangheo (19-03-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều $(\sqrt x + 1)\sqrt y + 1) \ge 4$ xuanvy2005 Bất đẳng thức - Cực trị 1 25-04-2016 18:18
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b+\frac{(c-a)^{2}}{4}}+\sqrt{c+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\leq 2$ Dsfaster134 Bất đẳng thức - Cực trị 4 23-02-2015 18:40



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014