Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$ - Trang 2 - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #5  
Cũ 16-03-2014, 01:06
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4740
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Bài này còn có một cách khác cũng khá thú vị đấy!
Cách anh nói đến có phải là cách này
Do BĐT là thuần nhất nên ta chuẩn hoá $ab+bc+ca=1$.
Khi đó, ta có đánh giá sau: \[\frac{a}{{b + c}} \ge {a^2}\]
Tương tự, ta suy ra: \[P \ge \sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} + \sqrt[3]{{{c^2}}}\]
Ta cần CM cho: \[\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} + \sqrt[3]{{{c^2}}} \ge 2 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} + \sqrt[3]{{{c^2}}}} \right)^3} \ge 8 \Leftrightarrow {\left( {\sqrt[3]{{{a^2}}} + \sqrt[3]{{{b^2}}} + \sqrt[3]{{{c^2}}}} \right)^3} \ge 8\left( {ab + bc + ca} \right)\]
Đặt: $\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt[3]{a} = x\\
\sqrt[3]{b} = y\\
\sqrt[3]{c} = z
\end{array} \right. \Rightarrow x,y,z \ge 0$
BĐT cần CM tương đương: \[{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^3} \ge 8\left( {{x^3}{y^3} + {y^3}{z^3} + {z^3}{x^3}} \right)\]\[ \Leftrightarrow {x^6} + {y^6} + {z^6} + 6{x^2}{y^2}{z^2} + 3\sum {{x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \ge 8\sum {{x^3}{y^3}} \]
Mặt khác, theo Schur và AM-GM, ta có: \[{x^6} + {y^6} + {z^6} + 6{x^2}{y^2}{z^2} + 3\sum {{x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \ge 4\sum {{x^2}{y^2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} \ge 8\sum {{x^3}{y^3}} \]
Đẳng thức xảy ra khi $x=y;z=0$ và hoán vị . Hay $a=b;c=0$ và hoán vị.


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hồng Sơn-cht (16-03-2014), Lê Đình Mẫn (16-03-2014)
  #6  
Cũ 16-03-2014, 01:56
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13503
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho các số thực không âm $x,y,z$ tùy ý sao cho không có hai số nào cùng bằng $0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\]


Thêm một cách khá "hại điện" nè:
Giả sử $x\ge y\ge z$ và chuẩn hóa $x+y+z=1$.
+ Nếu $0<y\le \dfrac{1}{18}$ thì $y+z\le \dfrac{1}{9}\Rightarrow \dfrac{x}{y+z}\ge 8$. Do đó $M\ge 2$.
+ Nếu $\dfrac{1}{18}\le y< \dfrac{1}{11}$ thì $x=1-(y+z)\ge \dfrac{9}{11}$. Khi đó $M\ge \sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{y}\ge \sqrt[3]{\dfrac{9}{2}}+ \sqrt[3]{\dfrac{1}{18}}>2$.
+ Nếu $y\ge \dfrac{1}{11}> \dfrac{\sqrt{13}-3}{8}$ thì ta có
\[\dfrac{(2y-1)^2(16y^2+12y-1)}{27(1-y)}\ge 0\Rightarrow \sqrt[3]{\dfrac{y}{1-y}}\ge \dfrac{4y+1}{3},\ \sqrt[3]{\dfrac{x}{1-x}}\ge \dfrac{4x+1}{3}\]
Do đó \[M\ge \dfrac{4(x+y)+2}{3}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}=\dfrac{4(1-z)+2}{3}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{1-z}}\ge 2\]
(Vì $\dfrac{z(64z^3-64z^2+27)}{27(1-z)}\ge 0,\ \forall 0\le z< 1$).
Tóm lại, $\min M= 2$ khi $x=y= \dfrac{1}{2},z=0$ với $z=\min \{x,y,z\}$.

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho các số thực không âm $x,y,z$ tùy ý sao cho không có hai số nào cùng bằng $0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\]
Nếu như giả thiết không thay đổi và bài toán yêu cầu chứng minh:
\[\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\ge 2+\dfrac{1}{2^{2014}}. \min\{\dfrac{x}{x+y+z},\dfrac{y}{x+y+z},\dfrac{z}{ x+y+z}\}\]
Hoặc \[\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\ge \dfrac{1}{2^{2013}}. \min\{\dfrac{x}{x+y+z}+2^{2014},\dfrac{y}{x+y+z}+2 ^{2014},\dfrac{z}{x+y+z}+2^{2014}\}\]
Khủng quá???


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lê Đình Mẫn 
Ngọc Anh (16-03-2014)
  #7  
Cũ 16-03-2014, 08:11
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4740
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết


Nếu như giả thiết không thay đổi và bài toán yêu cầu chứng minh:
\[\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\ge 2+\dfrac{1}{2^{2014}}. \min\{x,y,z\}\]
Hoặc \[\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\ge \dfrac{1}{2^{2013}}. \min\{x+2^{2014},y+2^{2014},z+2^{2014}\}\]
Khủng quá???
2 BĐT trên sai mà anh. Cả 2 đều không thuần nhất. Cho $a=b=c \longrightarrow + \infty$ là thấy sai rồi


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Ngọc Anh 
Lê Đình Mẫn (16-03-2014)
  #8  
Cũ 16-03-2014, 11:53
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13503
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$

Nguyên văn bởi Ngọc Anh Xem bài viết
2 BĐT trên sai mà anh. Cả 2 đều không thuần nhất. Cho $a=b=c \longrightarrow + \infty$ là thấy sai rồi
Anh chế lỗi. Dạng đó thì dùng phương pháp chia để trị mới giải quyết được. Chắc chắn cần một chút đến $CasiO$.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lê Đình Mẫn 
Ngọc Anh (16-03-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014