Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 15-03-2014, 23:14
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 14635
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.189 lần trong 1.383 bài viết

Lượt xem bài này: 1070
Mặc định Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$

Cho các số thực không âm $x,y,z$ tùy ý sao cho không có hai số nào cùng bằng $0$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\]

Bài nhẹ hơn:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[M=\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt{\dfrac{z}{x+y}}\]


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hồng Sơn-cht (16-03-2014), Nguyễn Duy Hồng (15-03-2014)
  #2  
Cũ 15-03-2014, 23:34
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 5252
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho các số thực không âm $x,y,z$ tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\]
Đặt: \[M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\]
Và: \[N = {a^3}\left( {b + c} \right) + {b^3}\left( {c + a} \right) + {c^3}\left( {a + b} \right)\]
Theo Hoder, ta có: \[{M^3}N \ge {\left( {a + b + c} \right)^4} \Rightarrow {M^3} \ge \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^4}}}{{{a^3}\left( {b + c} \right) + {b^3}\left( {c + a} \right) + {c^3}\left( {a + b} \right)}}\]
Dự đoán Min của M bằng 2, đạt được khi 2 số bằng nhau và 1 số bằng 0.
Ta sẽ CM cho: \[N = {a^3}\left( {b + c} \right) + {b^3}\left( {c + a} \right) + {c^3}\left( {a + b} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^4}}}{8} =\dfrac{1}{8}\]
Ở trên, ta đã chuản hoá $a+b+c=1$.
Viết lại N dưới dạng: \[N = {a^3}\left( {b + c} \right) + bc\left( {{b^2} + {c^2}} \right) + a\left( {{b^3} + {c^3}} \right)\]
Khong mất tính tổng quát, giả sử $a \ge b \ge c$. Thế thì tồn tại 2 số thực không âm $t,s$ sao cho: $b=t+s;c=t-s; s \in [0;t]$.
Khi đó: \[N = 2{a^3}t + \left( {{t^2} - {s^2}} \right)\left( {2{t^2} + 2{s^2}} \right) + a\left( {2{t^3} + 6t{s^2}} \right) = 2a{t^3} + 2{a^3}t + 2{t^4} + 6at{s^2} - 2{s^4}\]
Xét hàm số: \[f\left( s \right) = 2a{t^3} + 2{a^3}t + 2{t^4} + 6at{s^2} - 2{s^4};\,\,\,\,\,\,\,\,\,s \in \left[ {0;t} \right]\]
Ta có:
\[f'\left( s \right) = 12ats - 8{s^3} = 4s\left( {3at - 2{s^2}} \right) > 0\]
Vậy $f(s)$ đồng biến. Suy ra: $f(s) \le f(t)$.
Vậy ta chỉ cần CM BĐT trong TH c=0.
Khi đó, $a+b=1$
Và: \[N = ab\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \le \frac{{{{\left( {a + b} \right)}^4}}}{8} = \frac{1}{8}\]
Vậy ta suy ra Min M bằng 2. Đẳng thức xảy ra khi $a=b;c=0$ và hoán vị.


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (16-03-2014), Hồng Sơn-cht (16-03-2014), Lê Đình Mẫn (15-03-2014)
  #3  
Cũ 15-03-2014, 23:55
Avatar của Inspectorgadget
Inspectorgadget Inspectorgadget đang ẩn
♥♥♥♥♥♥♥♥
Đến từ: Sài Gòn
Nghề nghiệp: :3
Sở thích: Làm "ai đó" vui :
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 328
Điểm: 76 / 5392
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 834
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 229
Đã cảm ơn : 66
Được cảm ơn 467 lần trong 180 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho các số thực không âm $x,y,z$ tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\]
Sử đụng BĐT Bernoulli dạng $x^{a}\ge \frac{a}{b}x^b+1-\frac{a}{b}$

Áp dụng ta có
$$\sqrt[3]{\frac{x}{y+z}}=\frac{1}{\left(\frac{y+z}{x} \right )^{\frac{1}{3}}}\ge \frac{1}{\frac{1}{2}\left(\frac{y+z}{x} \right )^{\frac{2}{3}}+\frac{1}{2}}$$

Dùng BĐT Bernoulli ta có $$(y+z)^{\frac{2}{3}}\le z^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}$$

Do đó $$\sqrt[3]{\frac{x}{y+z}}\ge \frac{2x^{2/3}}{x^{2/3}+y^{2/3}+z^{2/3}}$$
Thiết lập tương tự rồi cộng lại ta có $VT\ge 2$
Dấu "=" xảy ra khi một số bằng 0 và 2 số bằng nhau.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (16-03-2014), Lê Đình Mẫn (16-03-2014), Ngọc Anh (16-03-2014)
  #4  
Cũ 16-03-2014, 00:41
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 14635
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.189 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}$

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho các số thực không âm $x,y,z$ tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[M=\sqrt[3]{\dfrac{x}{y+z}}+ \sqrt[3]{\dfrac{y}{z+x}}+ \sqrt[3]{\dfrac{z}{x+y}}\]
Bài này còn có một cách khác cũng khá thú vị đấy!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Có thể bạn quan tâm

LIÊN HỆ
Email:
p.kimchung@gmail.com

Tel: 0984.333.030



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014