Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1.$ Tìm GTLN của $P=|a^3+b^3+c^3-abc.|$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 13-03-2014, 15:36
Avatar của Trần Quốc Luật
Trần Quốc Luật Trần Quốc Luật đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: THPT Chuyên Hà Tĩnh
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 179
Điểm: 28 / 2731
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 788
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 85
Đã cảm ơn : 78
Được cảm ơn 107 lần trong 44 bài viết

Lượt xem bài này: 1044
Mặc định Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1.$ Tìm GTLN của $P=|a^3+b^3+c^3-abc|.$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 13-03-2014, 19:06
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13491
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1.$ Tìm GTLN của $P=|a^3+b^3+c^3-abc|.$

Nguyên văn bởi luatdhv Xem bài viết
Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1.$ Tìm GTLN của $P=|a^3+b^3+c^3-abc|.$
Hướng dẫn:

Dự đoán điểm rơi $a^2=1,b^2=c^2=0$ hoặc các hoán vị của $a^2,b^2,c^2$. Ta cần chứng minh bất đẳng thức
$P=|a^3+b^3+c^3-abc|\le (a^2+b^2+c^2)\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ hay $P^2=(a^3+b^3+c^3-abc)^2\le (a^2+b^2+c^2)^3\ (1)$
Tìm cách đánh giá vế trái $(1)$ làm sao xuất hiện $(a^2+b^2+c^2)$ để quy về bài toán có bậc thấp hơn. Thật vậy, chú ý rằng với mọi số thực $a,b,c$ ta luôn có $$(a^3+b^3)^2\le_{Cauchy-Schwarz} (a^2+b^2)(a^4+b^4)$$
Áp dụng bổ đề này vào phép chứng minh, theo $Cauchy-Schwarz$ ta có $$P^2\le (\sqrt{(a^2+b^2)(a^4+b^4)}+c(c^2-ab))^2\le (a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+(c^2-ab)^2)$$
Điều cuối cùng ta cần làm đó là chứng minh được $a^4+b^4+(c^2-ab)^2\le (a^2+b^2+c^2)^2$. Mà bất đẳng thức này lại tương đương với một bất đẳng thức hiển nhiên đúng với mọi số thực $a,b,c$ sau đây: $$a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+c^2(a+b)^2\ge 0$$
Bài toán đã được giải quyết xong!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
HạHànMinh (14-03-2014), Ngọc Anh (13-03-2014)
  #3  
Cũ 13-03-2014, 19:12
Avatar của Inspectorgadget
Inspectorgadget Inspectorgadget đang ẩn
♥♥♥♥♥♥♥♥
Đến từ: Sài Gòn
Nghề nghiệp: :3
Sở thích: Làm "ai đó" vui :
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 328
Điểm: 76 / 4971
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 834
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 229
Đã cảm ơn : 66
Được cảm ơn 467 lần trong 180 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1.$ Tìm GTLN của $P=|a^3+b^3+c^3-abc|.$

Nguyên văn bởi luatdhv Xem bài viết
Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1.$ Tìm GTLN của $P=|a^3+b^3+c^3-abc|.$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có
$$P^2= [a^3+b^3+c(c^2-ab)]^{2}\leq (a^2+b^2+c^2)(a^4+b^4+(c^2-ab)^2)$$
$$= a^4+b^4+c^4+a^2b^2-2abc^2\leq a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\leq a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2= (a^2+b^2+c^2)^{2}=1$$

Dấu "=" xảy ra khi 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1.
Chế lại tí :v
Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thỏa mãn $\left | a^3+b^3+c^3-abc \right |=1$.

Tìm GTNN của $a^2+b^2+c^2$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Duy Sơn - CHT (15-03-2014), Ngọc Anh (13-03-2014)
  #4  
Cũ 13-03-2014, 19:16
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4734
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1.$ Tìm GTLN của $P=|a^3+b^3+c^3-abc|.$

Nguyên văn bởi luatdhv Xem bài viết
Cho $a,b,c \in R$ thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1.$ Tìm GTLN của $P=|a^3+b^3+c^3-abc|.$
Không mất tính tổng quát, ta giả sử: $a^2b^2=Min(a^2b^2;b^2c^2;c^2a^2)$.
Khi đó, theo CBS, ta có: \[{P^2} = {\left[ {\left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + c\left( {{c^2} - ab} \right)} \right]^2} \le \left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {c^2}} \right]\left[ {{{\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}^2} + {{\left( {{c^2} - ab} \right)}^2}} \right]\]
\[ = \left( {1 + 2ab} \right)\left[ {{a^4} + {b^4} + {c^4} + 4{a^2}{b^2} - 2ab\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)} \right] \]\[ \le \left( {1 + 2ab} \right)\left( {1 - 2ab} \right) \le {\left( {\frac{{1 + 2ab + 1 - 2ab}}{2}} \right)^2} = 1\]
Vậy ta có MaxP=1.


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Duy Sơn - CHT (15-03-2014), Missyou12aBG (13-03-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014