Tìm GTLN của biểu thức $P=ab^2+bc^2+ca^2$ biết $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=2,\ a^2+b^2+c^2=4$. - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 12-03-2014, 16:01
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13487
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Lượt xem bài này: 890
Mặc định Tìm GTLN của biểu thức $P=ab^2+bc^2+ca^2$ biết $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=2,\ a^2+b^2+c^2=4$.



HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lê Đình Mẫn 
duyanh175 (12-03-2014)
  #2  
Cũ 12-03-2014, 20:04
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8344
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTLN của biểu thức $P=ab^2+bc^2+ca^2$ biết $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=2,\ a^2+b^2+c^2=4$.

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=2,\ a^2+b^2+c^2=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\boxed{P=ab^2+bc^2+ca^2}$$
Hướng dẫn giải


Từ giả thiết ta có : $\left\{\begin{matrix}
\left(3a - 2 \right) + \left(3b - 2 \right) + \left(3c - 2 \right) = 0 & \\
\left(3a - 2 \right)^{2} + \left(3b - 2 \right)^{2} + \left(3c - 2 \right)^{2} + 12\left(a + b + c \right) - 12 = 36&
\end{matrix}\right.$


$\Leftrightarrow $ $\left\{\begin{matrix}
\left(3a - 2 \right) + \left(3b - 2 \right) + \left(3c - 2 \right) = 0 & \\
\left(3a - 2 \right)^{2} + \left(3b - 2 \right)^{2} + \left(3c - 2 \right)^{2} = 6&
\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow $ $\left\{\begin{matrix}
x^2 + y^2 + z^2 = 6 & \\
x + y + z = 0&
\end{matrix}\right.$ với $\left\{\begin{matrix}
x = 3a - 2 & \\
y = 3b - 2 & \\
z = 3c - 2 &
\end{matrix}\right.$


Khi đó ta có $P = a^{2}b + b^2c + c^2a$ suy ra $27.P = 8\left(x^{2}y + y^{2}z + z^2x + 3 \right) = 8.T + 24$ với $T = x^2y + y^2z + z^2x$.


$\bullet $ Đến đây đưa về bài toán tìm GTLN của $T = x^2y + y^2z + z^2x$ với $\left\{\begin{matrix}
x^2 + y^2 + z^2 = 6 & \\
x + y + z = 0&
\end{matrix}\right.$


Thay $z = - x - y$ , ta có : $x^{2} + y^2 + \left(- x - y \right)^{2} = 3 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + xy = 3 \Leftrightarrow \left(x + \frac{y}{2} \right)^{2} + \frac{3y^{2}}{4} = 3$


Từ đây tồn tại số thực $\alpha $ sao cho : $\left\{\begin{matrix}
x + \frac{y}{2} = \sqrt{3}sin\alpha & \\
y = 2cos\alpha &
\end{matrix}\right.$ hay $x = \sqrt{3}.sin\alpha - cos\alpha $ và $y = 2cos\alpha $


Ta có $T = x^{2}y + y^{2}\left( - x - y \right) + \left( - x - y \right)^{2}x = x^3 + 3x^2y - y^3$


Thay các giá trị của $x$ ; $y$ và rút gọn ta được :


$T = 3\sqrt{3}\left(4sin^{3}\alpha - sin\alpha \right) + 3\left(3cos\alpha - 4cos^{3}\alpha \right) = - 3\sqrt{3}sin3\alpha - 3cos3\alpha $


Mà $- 3\sqrt{3}sin3\alpha - 3cos3\alpha \leq 3\sqrt{\left(- \sqrt{3} \right)^{2} + 1} = 6$


Nên $T \leq 6 \Rightarrow 27.P \leq 8.\left(6 + 3 \right) = 72.$


$\bullet $ Vậy GTLN của $P$ là $\frac{72}{27}$.


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
buicongtu (13-03-2014), Hồng Sơn-cht (12-03-2014), jupiter_1996 (13-03-2014), Lê Đình Mẫn (12-03-2014)
  #3  
Cũ 12-03-2014, 20:38
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4733
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTLN của biểu thức $P=ab^2+bc^2+ca^2$ biết $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=2,\ a^2+b^2+c^2=4$.

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=2,\ a^2+b^2+c^2=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\boxed{P=ab^2+bc^2+ca^2}$$
Thực hiện đổi biến: \[\left\{ \begin{array}{l}
a = x + \frac{2}{3}\\
b = y + \frac{2}{3}\\
c = z + \frac{2}{3}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y + z = 0\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = \frac{8}{3}\\
xy + yz + zx = - \frac{4}{3}
\end{array} \right.\]
Từ đó, ta có: \[P = \left( {x + \frac{2}{3}} \right){\left( {y + \frac{2}{3}} \right)^2} + \left( {y + \frac{2}{3}} \right){\left( {z + \frac{2}{3}} \right)^2} + \left( {z + \frac{2}{3}} \right){\left( {x + \frac{2}{3}} \right)^2}\]
\[ = x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} + + \frac{2}{3}\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + \frac{4}{3}\left( {xy + yz + zx} \right) + \frac{4}{3}\left( {x + y + z} \right) + \frac{8}{9}\]
\[ = x{y^2} + y{z^2} + z{x^2} + \frac{8}{9} = Q + \frac{8}{9}\]
Phần còn lại là tìm Max của: $$Q=x{y^2} + y{z^2} + z{x^2}$$
Ta có: \[3Q = y\left( {2xy + {z^2}} \right) + z\left( {2yz + {x^2}} \right) + x\left( {2zx + {y^2}} \right)\]
Suy ra: \[9{Q^2} = {\left[ {y\left( {2xy + {z^2}} \right) + z\left( {2yz + {x^2}} \right) + x\left( {2zx + {y^2}} \right)} \right]^2}\]
\[ \le \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left[ {{{\left( {2xy + {z^2}} \right)}^2} + {{\left( {2yz + {x^2}} \right)}^2} + {{\left( {2zx + {y^2}} \right)}^2}} \right]\]
Mà: \[{\left( {2xy + {z^2}} \right)^2} + {\left( {2yz + {x^2}} \right)^2} + {\left( {2zx + {y^2}} \right)^2} = {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} + 2{\left( {xy + yz + zx} \right)^2}\]
Vậy: \[9{Q^2} \le \left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\left[ {{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2} + 2{{\left( {xy + yz + zx} \right)}^2}} \right] = \frac{{256}}{9} \Rightarrow Q \le \frac{{16}}{9} \Rightarrow P \le \frac{8}{3}\]
Tổng quát:
Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=p,\ a^2+b^2+c^2=q$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\boxed{P=ab^2+bc^2+ca^2}$$


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 6 người đã cảm ơn cho bài viết này
buicongtu (13-03-2014), Hà Nguyễn (12-03-2014), Hồng Sơn-cht (12-03-2014), Lê Đình Mẫn (12-03-2014), Miền cát trắng (12-03-2014), proboyhinhvip (15-03-2014)
  #4  
Cũ 12-03-2014, 22:23
Avatar của duyanh175
duyanh175 duyanh175 đang ẩn
Chiếc lá cuối cùng
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 551
Điểm: 212 / 7173
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 14906
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gửi: 638
Đã cảm ơn : 483
Được cảm ơn 1.023 lần trong 461 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTLN của biểu thức $P=ab^2+bc^2+ca^2$ biết $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=2,\ a^2+b^2+c^2=4$.

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn: $a+b+c=2,\ a^2+b^2+c^2=4$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$\boxed{P=ab^2+bc^2+ca^2}$$

+Ta có : $\left(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2} \right)-\left(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a \right)=(a-b)(b-c)(c-a)$


+Ta cần tìm GTLN trên miền: $b\leq a\leq c$. Suy ra : $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$


+Từ Gt $\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
a+b=2-c & & \\
ab=c^{2}-2c & &
\end{matrix}\right. Đk : \left\{\begin{matrix}
\left(2-c \right)^{2}\geq 4\left(c^{2}-2c \right) & & \\
c\geq \frac{2}{3} & &
\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \frac{2}{3}\leq c\leq 2$


+Khi đó : $2P\leq \left(ab^{2}+bc^{2} +ca^{2}\right)+\left(a^{2}b+b^{2} c+c^{2}a\right)=-3abc$


Suy ra : $2P\leq f(c)=-3c\left(c^{2}-2c \right),c \in \left[\frac{2}{3};2 \right]$


+Khảo sát hàm số ta được : $f_{max}=\frac{16}{9} . Khi : c=\frac{4}{3}\Rightarrow b=-\frac{2}{3};a=\frac{4}{3}$


+Vậy : $P_{max}=\frac{8}{9}. Khi : b=-\frac{2}{3};a=c=\frac{4}{3}.$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 6 người đã cảm ơn cho bài viết này
buicongtu (13-03-2014), Hà Nguyễn (12-03-2014), Lê Đình Mẫn (13-03-2014), Miền cát trắng (12-03-2014), Ngọc Anh (12-03-2014), proboyhinhvip (15-03-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c \geq 0$ Trường An Bất đẳng thức - Cực trị 3 21-06-2016 03:05
Tìm GTLN biểu thức : $$P=ab+bc+ca$$ duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 2 18-05-2016 13:20
Cho các số thực dương $a, b, c$. Tìm GTNN của biểu thức. khanhtoanlihoa Bất đẳng thức - Cực trị 1 16-05-2016 13:10
Tìm GTNN của biểu thức P biết xy+yz+zx = 3 longnh Đại số luyện thi Đại học 1 05-05-2016 22:50
Tìm GTLN của biểu thức $P=8xy+24xz+84yz-21(x^2+4)\sqrt{(x+y+z)^2-1}$ letrungtin Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 12:43



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
cho a b c=6. tim max cua ab^2 bc^2 ca^2, http://www.k2pi.net/showthread.php?t=15165, k2pi.net, tìm gtln của a^2.b b^2.c c^2.a, tim max cua biêu thuc a^2b b^2c c^2a -abc
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014