Cho $x,y,z\geq 0$ , $xy+yz+zx+2xyz=1$.CMR: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\sqrt{1+xyz}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 11-03-2014, 18:18
Avatar của Neverland
Neverland Neverland đang ẩn
RunAway-Dsfaster =D
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: Living in my life
Sở thích: My Life
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 443
Điểm: 135 / 5033
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 19217
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gửi: 405
Đã cảm ơn : 180
Được cảm ơn 207 lần trong 132 bài viết

Lượt xem bài này: 732
Mặc định Cho $x,y,z\geq 0$ , $xy+yz+zx+2xyz=1$.CMR: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 2\sqrt{1+xyz}$



Đã đến lúc phải từ bỏ lối chờ đợi những quà tặng bất ngờ của cuộc sống mà phải tự mình làm ra cuộc sống
-Lev Tolstoi-

Các bạn đang xem video trên www.K2pi.Net.Vn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Neverland 
Trần Quốc Luật (12-03-2014)
  #2  
Cũ 11-03-2014, 18:48
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4741
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Cho $x,y,z\geq 0$ , $xy+yz+zx+2xyz=1$.CMR: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 2\sqrt{1+xyz}$

Nguyên văn bởi dsfaster134 Xem bài viết
Cho $x,y,z\geq 0$ , $xy+yz+zx+2xyz=1$.CMR:
$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq 2\sqrt{1+xyz}$
Hướng dẫn giải:
Do $ab+bc+ca+2abc=1$ nên tồn tại các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn: $\left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{a}{{b + c}}\\
y = \dfrac{b}{{c + a}}\\
z = \dfrac{c}{{a + b}}
\end{array} \right.$
Khi đó, BĐT cần CM viết lại dưới dạng tương đương là: \[\sqrt {\frac{a}{{b + c}}} + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}} + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}} \ge 2\sqrt {1 + \frac{{abc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}} \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {a\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} + \sqrt {b\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} + \sqrt {c\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)} \ge 2\sqrt {\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \]
Chú ý rằng: \[\sqrt {a\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} = \sqrt {{a^2}\left( {a + b + c} \right) + abc} \]
Từ đó, ta suy ra: \[\sqrt {a\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} + \sqrt {b\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)} + \sqrt {c\left( {c + a} \right)\left( {b + c} \right)} \ge \sqrt {{{\left( {a + b + c} \right)}^3} + 9abc} \]
Do đó, ta chỉ cần CM cho : \[{\left( {a + b + c} \right)^3} + 9abc \ge 4\left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) \Leftrightarrow \left( {a + b - c} \right){\left( {a - b} \right)^2} + c\left( {a - c} \right)\left( {b - c} \right) \ge 0\]
Nhưng BĐT trên luôn đúng nếu ta giả sử: c=Min(a;b;c)
Vậy, ta có dpcm. Đẳng thức xảy ra khi: $x=y=z=\dfrac{1}{2}$ hoặc $x=y=1;z=0$ và các hoán vị tương ứng . $\blacksquare$


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Miền cát trắng (12-03-2014), Neverland (20-03-2014), s2_la (12-03-2014)
  #3  
Cũ 11-03-2014, 18:51
Avatar của Neverland
Neverland Neverland đang ẩn
RunAway-Dsfaster =D
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: Living in my life
Sở thích: My Life
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 443
Điểm: 135 / 5033
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 19217
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gửi: 405
Đã cảm ơn : 180
Được cảm ơn 207 lần trong 132 bài viết

Mặc định Re: Cho $x,y,z\geq 0$ , $xy+yz+zx+2xyz=1$.CMR: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\sqrt{1+xyz}$

HẢ!!!!!!!!!!!!!!
Giống hệt bất đẳng thức gốc giúp em tạo ra bài này
Chị có cách nào ko phải đặt kiểu này ko?????


Đã đến lúc phải từ bỏ lối chờ đợi những quà tặng bất ngờ của cuộc sống mà phải tự mình làm ra cuộc sống
-Lev Tolstoi-

Các bạn đang xem video trên www.K2pi.Net.Vn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 11-03-2014, 23:42
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13504
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Cho $x,y,z\geq 0$ , $xy+yz+zx+2xyz=1$.CMR: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=2\sqrt{1+xyz}$

Nguyên văn bởi dsfaster134 Xem bài viết
HẢ!!!!!!!!!!!!!!
Giống hệt bất đẳng thức gốc giúp em tạo ra bài này
Chị có cách nào ko phải đặt kiểu này ko?????
P/S: Đó là phép đặt ẩn đặc trưng để thuần nhất hoá bất đẳng thức. Nếu không nhớ nỗi thì hãy dùng phương pháp "tà đạo", chẳng hạn:
Hướng dẫn:

+ Nếu một trong ba biến bằng 0 thì BĐT trở thành kết quả của BĐT $AM-GM$.
+ Ta sẽ giải quyết bài toán trong trường hợp cả ba biến $x,y,z$ đều dương. Đặt $x= \dfrac{bc}{a},\ y= \dfrac{ac}{b},\ z= \dfrac{ab}{c}$ với $a,b,c>0$. Giả thiết trở thành $a^2+b^2+c^2+2abc=1\ (1)$. Bài toán cần chứng minh sẽ là
\[ab+bc+ca\ge 2\sqrt{abc+a^2b^2c^2}\iff (ab+bc+ca)^2\ge 4(abc+a^2b^2c^2)\ ( * )\]
Chú ý: Từ $(1)$ ta dễ dàng chứng minh được $a,b,c\in (0;1)$.
Viết lại giả thiết $(1)$ thành $(a+b)^2+c^2+2ab(c-1)=1$. Từ đây ta có thể đặt $s=a+b>0,p=ab>0$ để khi đó ta có $s^2+c^2+2p(c-1)=1\ (2)$ và mục đích để chứng minh được
\[f(p)=(p+sc)^2-4pc-4p^2c^2=(1-4c^2)p^2+2(s-2)pc+s^2c^2\ge 0\]
Khi giả sử $c=\max\{a,b,c\}$, từ giả thiết suy ra $\dfrac{1}{2}\le c<1$.
Tính chất đối xứng của 3 biến $a,b,c$, kết hợp $(2)$ ta có đánh giá $0<4p\le s^2\le 2(1-c)\le 1$.
Mặt khác $f''(p)=2(1-4c^2)< 0,\ \dfrac{1}{2}< c<1$ nên $f(p)$ là một hàm số lõm dưới trên khoảng $\left (0; \frac{s^2}{4}\right )$ (có thể giải thích theo kiến thức lớp 10: $f(p)$ là một parabol có hệ số a âm). Do đó
\[f(p)\ge \min\left \{f(0),f\left( \frac{s^2}{4}\right) \right \}\]
Mà $f(0)=s^2c^2>0$ và $f\left( \frac{s^2}{4}\right) = \dfrac{s^2}{16}[(1-4c^2).s^2+8c.(s-2)+16c^2]$.
Cuối cùng, ta chỉ cần chứng minh được $g(s)=(1-4c^2).s^2+8c.(s-2)+16c^2\ge 0$ là xong. Thật vậy, với $p= \frac{s^2}{4}$, từ $(2)$ suy ra $s^2=2(1-c)$. Lúc này
\[\begin{aligned}g(s)=h(c)&=2(1-4c^2)(1-c)+8c.(\sqrt{2-2c}-2)+16c^2\\
&= \dfrac{2\sqrt{1-c}(2c-1)^2(4c^3+16c^2+13c-1)}{4\sqrt{2}.c+(4c^2+8c-1)\sqrt{1-c}}\ge 0\ \forall c\in [1/2;1)\end{aligned}\]
Như vậy, bài toán đã được chứng minh xong! Đẳng thức xảy ra của bài toán này khi $a=b=c= \dfrac{1}{2}$. Còn bài toán gốc thì $x=y=z= \dfrac{1}{2}$ hoặc các hoán vị của bộ $(x,y,z)=(1,1,0)$.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Miền cát trắng (12-03-2014), Ngọc Anh (12-03-2014), Neverland (20-03-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
xy yz zx 2xyz=1
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014