Cho các số không âm a,b,c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+ca+a^{2}} +\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 02-03-2014, 13:08
Avatar của neymar11
neymar11 neymar11 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Văn Lâm- Hưng Yên
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán
 
Cấp bậc: 12 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 277
Điểm: 56 / 3986
Kinh nghiệm: 9%

Thành viên thứ: 3152
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 170
Đã cảm ơn : 316
Được cảm ơn 203 lần trong 63 bài viết

Lượt xem bài này: 682
Mặc định Cho các số không âm a,b,c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+ca+a^{2}} +\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

Cho các số không âm a,b,c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+ca+a^{2}} +\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Phùng Việt Chiến


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 02-03-2014, 14:16
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4738
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Cho các số không âm a,b,c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+ca+a^{2}} +\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

Nguyên văn bởi neymar11 Xem bài viết
Cho các số không âm a,b,c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+ca+a^{2}} +\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$
BĐT cần CM tương đương với: \[\sum {\left( {\frac{1}{{{a^2} + ab + {b^2}}} - \frac{1}{{ab + bc + ca}}} \right)} \ge \frac{9}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} - \frac{3}{{ab + bc + ca}}\]
\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{{b\left( {c - b} \right) + a\left( {c - a} \right)}}{{\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)}}} \ge \frac{{3\left[ {3{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2} - {{\left( {a + b + c} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}\left( {ab + bc + ca} \right)}}\]
\[ \Leftrightarrow \sum {\left( {a - b} \right)\left[ {\frac{b}{{{b^2} + bc + {c^2}}} - \frac{a}{{{a^2} + ca + {c^2}}}} \right]} \ge - \frac{{3\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]}}{{2{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}\left( {ab - {c^2}} \right)}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + ca + {c^2}} \right)}}} \ge - \frac{{3\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right]}}{{2{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\]
\[ \Leftrightarrow \sum {{{\left( {a - b} \right)}^2}\left[ {\frac{3}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} + \frac{{2\left( {ab - {c^2}} \right)}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + ca + {c^2}} \right)}}} \right]} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {a - b} \right)^2}.C + {\left( {b - c} \right)^2}.A + {\left( {c - a} \right)^2}.B \ge 0\]
Trong đó: \[\left\{ \begin{array}{l}
A = \frac{3}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} + \frac{{2\left( {bc - {a^2}} \right)}}{{\left( {{b^2} + ab + {a^2}} \right)\left( {{a^2} + ca + {c^2}} \right)}}\\
B = \frac{3}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} + \frac{{2\left( {ac - {b^2}} \right)}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}}\\
C = \frac{3}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} + \frac{{2\left( {ab - {c^2}} \right)}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + ca + {c^2}} \right)}}
\end{array} \right.\]
Xét 1 đại diện, ta sẽ CM cho $C \ge 0$.
Thật vậy: \[C = \frac{3}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} + \frac{{2\left( {ab - {c^2}} \right)}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + ca + {c^2}} \right)}} = \frac{{3\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + ca + {c^2}} \right) + 2\left( {ab - {c^2}} \right){{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + ca + {c^2}} \right){{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}\]
Do vậy, để CM $C \ge 0$. Ta sẽ CM cho: \[3\left( {{b^2} + bc + {c^2}} \right)\left( {{a^2} + ca + {c^2}} \right) + 2\left( {ab - {c^2}} \right){\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\]
Khai triển BĐT trên, ta được BĐT tương đương là: \[3{a^2}{b^2} + {c^2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 3abc\left( {a + b} \right) - {c^2}\left( {ab + bc + ca} \right) + 2ab{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\]
\[ \Leftrightarrow 3{a^2}{b^2} + \frac{1}{2}{c^2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {c - a} \right)}^2}} \right] + 3abc\left( {a + b} \right) + 2ab{\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\]
BĐT trên luôn đúng. Vậy ta luôn có $C \ge 0$.
Tương tự, ta cũng CM được $A,B \ge 0$
Vậy BĐT được CM. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$.


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Huy Vinh (05-03-2014), Missyou12aBG (02-03-2014), neymar11 (02-03-2014)
  #3  
Cũ 04-03-2014, 22:58
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8353
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Cho các số không âm a,b,c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+ca+a^{2}} +\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

Cách khác đơn giản hơn

$\bullet $ Nhân cả hai vế của bđt với $a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca$. Ta có :

Bất đẳng thức tương đương với :

$3+\sum \dfrac{a(a+b+c)}{b^2+bc+c^2} \ge \dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$

$\Leftrightarrow 3+(a+b+c)\sum \dfrac{a}{b^2+bc+c^2} \ge \dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$


$\bullet $ Tiếp theo sử dụng bất đẳng thức $Cauchy- Swcharz$ ta có:
$\sum \dfrac{a}{b^2+bc+c^2} \ge \dfrac{(a+b+c)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\dfrac{a+b+c} {ab+bc+ca}$


$\bullet $ Do đó ta cần chứng minh:
$3+\dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} \ge \dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} -6 \ge (\dfrac{9(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}-9)$

$\Leftrightarrow \dfrac{(a+b+c)^2}{ab+bc+ca} +\dfrac{9(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} \ge 6$

Mà điều này lại luôn đúng theo $AM - GM $ suy ra điều phải chứng minh.


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Huy Vinh (05-03-2014), neymar11 (04-03-2014), trandaiduongbg (05-03-2014)
  #4  
Cũ 05-03-2014, 11:23
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8353
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Cho các số không âm a,b,c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng: $\frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+ca+a^{2}} +\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

Nguyên văn bởi neymar11 Xem bài viết
Cho các số không âm a,b,c không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{b^{2}+bc+c^{2}}+\frac{1}{c^{2}+ca+a^{2}} +\frac{1}{a^{2}+ab+b^{2}}\geq \frac{9}{(a+b+c)^{2}}$

Thêm một hướng giải nữa.

$\bullet $ Áp dụng bđt AM-GM ta có : $T = \frac{1}{a^2+ab+b^2} = \frac{ab+bc+ca}{(a^2+ab+b^2)(ab+bc+ca)} $


Suy ra $T \ge \frac{4(ab+bc+ca)}{(a^2+ab+b^2+ab+bc+ca)^2} = \frac{4(ab+bc+ca)}{((a+b)^2+c(a+b))^2} = \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2(a+b+c)^2}$


Nên ta có : $\frac{1}{b^2+bc+c^2}+\frac{1}{c^2+ca+a^2}+\frac{1 }{a^2+ab+b^2} \ge \sum \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2(a+b+c)^2}$.


$\bullet $ Việc còn lại là chứng minh :


$\sum \frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b)^2(a+b+c)^2} \ge \frac{9}{(a+b+c)^2}$ l. Hay $\sum \frac{1}{(a+b)^2} \ge \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$


Iran 1996 : Cho $a,b,c > 0$. Chứng minh rằng : $\sum \frac{1}{(a+b)^2} \ge \frac{9}{4(ab+bc+ca)}$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Thế Duy 
Huy Vinh (05-03-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014