Tìm GTNN của $\frac{\left(b+c-a \right)^{2}}{a^{2}+\left(b+c \right)^{2}}+\frac{\left(c+a-b \right)^{2}}{b^{2}+\left(a+c \right)^{2}}+\frac{\left(a+b-c \right)^{2}}{c^{2}+\left(a+b \right)^{2}}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 19-02-2014, 14:05
Avatar của trananhtuan_hn
trananhtuan_hn trananhtuan_hn đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 2
Điểm: 1 / 32
Kinh nghiệm: 10%

Thành viên thứ: 17272
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 3
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 0 lần trong 0 bài viết

Lượt xem bài này: 428
Mặc định Tìm GTNN của $\frac{\left(b+c-a \right)^{2}}{a^{2}+\left(b+c \right)^{2}}+\frac{\left(c+a-b \right)^{2}}{b^{2}+\left(a+c \right)^{2}}+\frac{\left(a+b-c \right)^{2}}{c^{2}+\left(a+b \right)^{2}}$

Cho a, b, c dương.
Tìm GTNN của $\frac{\left(b+c-a \right)^{2}}{a^{2}+\left(b+c \right)^{2}}+\frac{\left(c+a-b \right)^{2}}{b^{2}+\left(a+c \right)^{2}}+\frac{\left(a+b-c \right)^{2}}{c^{2}+\left(a+b \right)^{2}}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 19-02-2014, 14:39
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8326
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $\frac{\left(b+c-a \right)^{2}}{a^{2}+\left(b+c \right)^{2}}+\frac{\left(c+a-b \right)^{2}}{b^{2}+\left(a+c \right)^{2}}+\frac{\left(a+b-c \right)^{2}}{c^{2}+\left(a+b \right)^{2}}$

Nguyên văn bởi trananhtuan_hn Xem bài viết
Cho a, b, c dương.
Tìm GTNN của $\frac{\left(b+c-a \right)^{2}}{a^{2}+\left(b+c \right)^{2}}+\frac{\left(c+a-b \right)^{2}}{b^{2}+\left(a+c \right)^{2}}+\frac{\left(a+b-c \right)^{2}}{c^{2}+\left(a+b \right)^{2}}$

Lời giải 1

Vì bất đẳng thức là thuần nhất nên ta chuẩn hóa : $a +b + c = 3$. Khi đó bđt trở thành :
$$P = \sum \frac{\left(3 - 2a \right)^{2}}{\left(3 - a \right)^{2} + a^2} $$
$$\Leftrightarrow P = \sum \frac{4a^{2} - 12a + 9}{2a^{2} - 6a + 9}$$

Ta có nhận xét sau : $\frac{4t^{2} - 12t + 9}{2t^{2} - 6t + 9 } + \frac{18t - 23}{25} = \frac{18}{25}.\frac{\left(x - 1 \right)^{2}\left(2x + 1 \right)}{2x^{2} - 6x + 9} \geq 0 $ với mọi $t>0$

Khi đó ta có : $\frac{4t^{2} - 12t + 9 }{2t^{2} - 6t + 9} \geq \frac{23 - 18t}{25} $ với mọi $t >0$.

Sử dụng nhận xét trên ta có ngay : $P = \sum \frac{4a^{2} - 12a + 9}{2a^{2} - 6a + 9} \geq \frac{69 - 18.\left(a + b + c \right)}{25} = \frac{3}{5}$

Vậy GTNN của $P$ là $\frac{3}{5} $ khi và chỉ khi $a = b =c$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 19-02-2014, 15:22
Avatar của DIEUTHUYEN
DIEUTHUYEN DIEUTHUYEN đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 182
Điểm: 29 / 2049
Kinh nghiệm: 29%

Thành viên thứ: 19421
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 87
Đã cảm ơn : 13
Được cảm ơn 31 lần trong 28 bài viết

Mặc định Re: Tìm GTNN của $\frac{\left(b+c-a \right)^{2}}{a^{2}+\left(b+c \right)^{2}}+\frac{\left(c+a-b \right)^{2}}{b^{2}+\left(a+c \right)^{2}}+\frac{\left(a+b-c \right)^{2}}{c^{2}+\left(a+b \right)^{2}}$

Nguyên văn bởi trananhtuan_hn Xem bài viết
Cho a, b, c dương.
Tìm GTNN của $\frac{\left(b+c-a \right)^{2}}{a^{2}+\left(b+c \right)^{2}}+\frac{\left(c+a-b \right)^{2}}{b^{2}+\left(a+c \right)^{2}}+\frac{\left(a+b-c \right)^{2}}{c^{2}+\left(a+b \right)^{2}}$
Ta có $\sum \frac{(b+c-a)^{2}}{a^{2}+\left(b+c \right)^{2}}\geq \frac{(\sum \frac{b+c}{a}-3)^{2}}{3+\sum (\frac{b+c}{a})^{2}}$

Đặt $x=\frac{b+c}{a}, y=\frac{c+a}{b}, z=\frac{a+b}{c}$

ta chứng minh $\left(x+y+z-3 \right)^{2}\geq \frac{3}{5}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+3 \right)$
tương đương với $\left(\sum x \right)^{2}-15\sum x+3\sum xy+18\geq 0$
Mặt khác $xy+yz+zx\geq k\left(x+y+z \right)$ với k tốt nhất bằng 2.
Bất đẳng thức viết dưới dạng $\left(\sum a^{3} \right)+3abc\geq \sum ab\left(a+b \right)$ (bất đẳng thức SChur).
Vậy GTNN bằng $\frac{3}{5}$ khi a=b=c.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014