Chứng minh rằng ${\left( {\frac{{a - b}}{{b - c}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{b - c}}{{c - a}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{c - a}}{{a - b}}} \right)^2} \ge 5$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 08-02-2014, 14:04
Avatar của Shirunai Okami
Shirunai Okami Shirunai Okami đang ẩn
$\Huge\mathfrak{POPEYE}$
Đến từ: HNUE
Nghề nghiệp: Tháo Giầy
Sở thích: Shingeki no Kyojin
 
Cấp bậc: 21 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 510
Điểm: 180 / 6519
Kinh nghiệm: 41%

Thành viên thứ: 15713
 
Tham gia ngày: Aug 2013
Bài gửi: 541
Đã cảm ơn : 336
Được cảm ơn 905 lần trong 296 bài viết

Lượt xem bài này: 650
Mặc định Chứng minh rằng ${\left( {\frac{{a - b}}{{b - c}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{b - c}}{{c - a}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{c - a}}{{a - b}}} \right)^2} \ge 5$




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Shirunai Okami 
neymar11 (08-02-2014)
  #2  
Cũ 08-02-2014, 14:29
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8354
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh rằng

Nguyên văn bởi Popeye Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
\[\left(\dfrac{a-b}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c-a}{a-b}\right)^2\geq 5\]

Hướng dẫn giải

+ Đặt : $x = \frac{a - b}{b - c} $ ; $y = \frac{b - c}{c - a} $ ; $z = \frac{c - a}{a - b}$ khi đó bất đẳng thức đã cho trở thành : $x^{2} + y^{2} + z^{2} \geq 5$

+ Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}
x + \frac{1}{y} + 1 = \frac{a - b}{b - c} + \frac{c - a}{b - c} + 1 = 0 \\
y + \frac{1}{z} + 1 = 0 \\
z + \frac{1}{x} + 1 = 0
\end{array} \right.$ $\Rightarrow $ $\left\{ \begin{array}{l}
2xy + 2y + 2 = 0\\
2yz + 2z + 2 = 0\\
2xz + 2x + 2 = 0
\end{array} \right.$ $\Rightarrow 2\left(xy + yz + xz \right) + 2\left(x + y + z \right) + 6 = 0$

+ Nên ta có : $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2\left(xy + yz + xz \right) + 2\left(x + y + z \right) + 1 \geq 0 \Leftrightarrow \left(x + y + z + 1 \right)^{2} \geq 0 $ điều này luôn đúng $\Rightarrow $ đpcm.


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (08-02-2014), Miền cát trắng (08-02-2014), Ngọc Anh (10-02-2014)
  #3  
Cũ 08-02-2014, 14:29
Avatar của LaMort
LaMort LaMort đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 189
Điểm: 30 / 2201
Kinh nghiệm: 57%

Thành viên thứ: 18146
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 92
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 214 lần trong 64 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh rằng

Nguyên văn bởi Popeye Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
\[\left(\dfrac{a-b}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c-a}{a-b}\right)^2\geq 5\]
Chúng ta có\[\left(\dfrac{a-b}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c-a}{a-b}\right)^2= 5+\left(\dfrac{a-b}{b-c}+\dfrac{b-c}{c-a}+\dfrac{c-a}{a-b}+1\right)^2\]


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
HạHànMinh (17-04-2014), Miền cát trắng (08-02-2014), Ngọc Anh (10-02-2014)
  #4  
Cũ 10-02-2014, 00:34
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4739
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh rằng

Nguyên văn bởi Popeye Xem bài viết
Cho $a,b,c$ là các số thực đôi một khác nhau. Chứng minh rằng
\[\left(\dfrac{a-b}{b-c}\right)^2+\left(\dfrac{b-c}{c-a}\right)^2+\left(\dfrac{c-a}{a-b}\right)^2\geq 5\]
BĐT hoàn toàn đối xứing với 3 biến $a,b,c$ nên giả sử $a \ge b \ge c$.
Khi đó, tồn tại các số thực không âm $x;y$ sao cho $a=c+x+y;b=c+x$
BĐT cần CM tương đương: \[\frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{x^2}}}{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{{y^2}}} \ge 5\]
Đặt: $\dfrac{y}{x}=t$, BĐT trở thành: \[{t^2} + \frac{1}{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}} + \frac{{{{\left( {t + 1} \right)}^2}}}{{{t^2}}} \ge 5 \Leftrightarrow {t^6} + 2{t^5} - 3{t^4} - 6{t^3} + 2{t^2} + 4t + 1 \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {{t^3} + {t^2} - 2t - 1} \right)^2} \ge 0\]
Từ đây ta có dpcm.


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
UntilyouLove96 (10-02-2014), Shirunai Okami (12-02-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Chứng minh BĐT : $$\left(a+b+c \right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\geq 1+\frac{24\left(a^2+b^2+c^2 \right)}{\left(a+b+c \right)^2}$$ duyanh175 Bất đẳng thức - Cực trị 4 24-04-2016 14:22



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
http://www.k2pi.net/showthread.php?t=14223, k2pi, k2pi.net
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014