$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}{(a^ {2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 08-02-2014, 02:11
Avatar của Neverland
Neverland Neverland đang ẩn
RunAway-Dsfaster =D
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: Living in my life
Sở thích: My Life
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 443
Điểm: 135 / 5023
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 19217
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gửi: 405
Đã cảm ơn : 180
Được cảm ơn 207 lần trong 132 bài viết

Lượt xem bài này: 868
Mặc định $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}{(a^ {2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)}$

$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}{(a^ {2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Đã đến lúc phải từ bỏ lối chờ đợi những quà tặng bất ngờ của cuộc sống mà phải tự mình làm ra cuộc sống
-Lev Tolstoi-

Các bạn đang xem video trên www.K2pi.Net.Vn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 10-02-2014, 23:59
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13485
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}{(a^ {2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)}$

Nguyên văn bởi dsfaster134 Xem bài viết
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}{(a^ {2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)}$
Xếp bài này vào box này tôi nghĩ không hợp lý cho lắm. Tôi mới chỉ tìm được một cách rất trâu bò. Bậc nó cao chắc chắn sẽ có một thủ thuật nào khác.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 12-02-2014, 20:35
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4732
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}{(a^ {2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)}$

Nguyên văn bởi dsfaster134 Xem bài viết
$\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}{(a^ {2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)}$
Trước hết, ta có một kết quả quan trọng sau:
Bổ đề:
Xét hàm số $f(x)=Ax^2+Bx+C$ với $A>0$, trên miền: $x \in [a;b]$
Khi đó, ta luôn có: \[f\left( x \right) \le Max\left\{ {f\left( a \right);f\left( b \right)} \right\}\]

Trở lại với bài toán, đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}
a + b + c = p\\
ab + bc + ca = q\\
abc = r
\end{array} \right.\]
Do BĐT đã cho là thuần nhất nên ta chuẩn hoá $r=1$.
Khi đó, $p \ge 3$ và $q \ge 3$.
Chú ý các đẳng thức sau:
1. $\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right) = \left( {a + b + c} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) - abc = pq - r = pq - 1$
2. $\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{c^2} + {a^2}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) - {a^2}{b^2}{c^2} \\\\ = \left[ {{{\left( {a + b + c} \right)}^2} - 2\left( {ab + bc + ca} \right)} \right]\left[ {{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^2} - 2abc\left( {a + b + c} \right)} \right] - {a^2}{b^2}{c^2}\\\\ = \left( {{p^2} - 2q} \right)\left( {{q^2} - 2p} \right) - 1$
3. $\left( {{a^2} + bc} \right)\left( {{b^2} + ca} \right)\left( {{c^2} + ab} \right) = 2{a^2}{b^2}{c^2} + {a^3}{b^3} + {b^3}{c^3} + {c^3}{a^3} + abc\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right)\\\\ = 2{r^2} + \left( {q\left( {{q^2} - 3pr} \right) + 3} \right) + r\left( {p\left( {{p^2} - 3q} \right) + 3} \right) = {p^3} + {q^3} - 6pq + 8$
BĐT cần chứng minh tương đương với: \[\frac{{pq - 1}}{8} \ge \frac{{\left( {{p^2} - 2q} \right)\left( {{q^2} - 2p} \right) - 1}}{{{p^3} + {q^3} - 6pq + 8}} \Leftrightarrow \frac{{pq - 1}}{8} \ge \frac{{{p^2}{q^2} - 2pq\left( {p + q} \right) + 4pq - 1}}{{{{\left( {p + q} \right)}^3} - 3pq\left( {p + q} \right) - 6pq + 8}}\]
Đặt: \[\left\{ \begin{array}{l}
p + q = t\\
pq = s
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t \ge 6\\
s \ge 9\\
{t^2} \ge 4s
\end{array} \right.\]
BĐT trở thành: \[\frac{{s - 1}}{8} \ge \frac{{{s^2} - 2st + 4s - 1}}{{{t^3} - 3st - 6s + 8}} \Leftrightarrow \left( {3t + 14} \right){s^2} - \left( {{t^3} + 19t - 18} \right)s + {t^3} \le 0\]
Dễ thấy, đây là hàm bậc 2 theo $s$ với hệ số $A>0$.
Theo bổ đề đã nêu, ta suy ra: \[f\left( s \right) \le Max\left\{ {f\left( 9 \right);f\left( {\frac{{{t^2}}}{4}} \right)} \right\}\]
Ta có:
\[f\left( 9 \right) = 81\left( {3t + 14} \right) - 9\left( {{t^3} + 19t - 18} \right) + {t^3} = - 8{t^3} + 72t + 1296\]
Dễ dàng kiểm tra $g(t)=-8t^3+72t+1296 \le 0$ với $t \ge 6$
Do vậy, $$f(9)=g(t) \le 0$$
Tiếp tục có:
\[f\left( {\frac{{{t^2}}}{4}} \right) = \frac{{{t^4}}}{{16}}.\left( {3t + 14} \right) - \frac{{{t^2}}}{4}\left( {{t^3} + 19t - 18} \right) + {t^3} = \frac{{ - {t^5} + 14{t^4} - 60{t^3} + 72{t^2}}}{{16}}\]
Mà: $h(t)={ - {t^5} + 14{t^4} - 60{t^3} + 72{t^2}} \le 0$ với $t \ge 6$
Suy ra: \[f\left( {\frac{{{t^2}}}{4}} \right) = \frac{{h\left( t \right)}}{{16}} < 0\]
Vậy BĐT được CM hoàn toàn. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 11 người đã cảm ơn cho bài viết này
Nhữ Phong (13-02-2014), OoMưaOo (13-02-2014), giacatluc01 (13-02-2014), Hà Nguyễn (12-02-2014), hoangmac (13-02-2014), Lê Đình Mẫn (13-02-2014), Mai Tuấn Long (13-02-2014), Miền cát trắng (12-02-2014), Nguyễn Duy Hồng (12-02-2014), Shirunai Okami (13-02-2014), Neverland (13-02-2014)
  #4  
Cũ 13-02-2014, 01:15
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13485
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: $\frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})(b^{2}+c^{2})(c^{2}+a^{2})}{(a^ {2}+bc)(b^{2}+ca)(c^{2}+ab)}$

P/S: Cách trâu bò của tôi đây.
Giả sử $\min \{a,b,c\} =c>0$. Khi đó tồn tại các số thực không âm $x,y$ sao cho $a=c+cx,b=c+cy$. Thay vào BĐT, quy đồng khử mẫu ta được
\[\begin{aligned}&(20+3xy)(x^5+y^5)+(68+34xy+x^2y^2) (x^4+y^4)+(128+144xy+20x^2y^2)(x^3+y^3)\\
+&(128+344xy+115x^2y^2+6x^3y^3)(x^2+y^2)+(64+448xy +340x^2y^2+53x^3y^3+x^4y^4)(x+y)\\
+&12x^4y^4+188x^3y^3+524x^2y^2+320xy\ge 0\end{aligned}\]
BĐT này luôn đúng vì $x,y$ là các số không âm.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
giacatluc01 (13-02-2014), Hà Nguyễn (13-02-2014), Ngọc Anh (13-02-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
$\sum \frac{(b c)^{2}}{a^{2} bc}\geq 6$, a^2 b^2 c^2/ab ba ca 8abc/a b, chứng minh a^2 b^2)(ab bc ca)^2 > 8abc(a^2 b^2 c^2)^2, cm ab(a b) bc(b c) ca(c a)>_8abc
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014