Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn: a+b+c=1, $đặt x=a^{2}+b^{2}+c^{2}, cmr: \sum \sqrt{1+2a^{2}-x}\geq \sqrt{11-9x}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 03-02-2014, 19:19
Avatar của Em yêu Chị
Em yêu Chị Em yêu Chị đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Việt Nam
Nghề nghiệp: Học
Sở thích: Cho đi !
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 112
Điểm: 15 / 1279
Kinh nghiệm: 51%

Thành viên thứ: 19260
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 45
Đã cảm ơn : 48
Được cảm ơn 7 lần trong 6 bài viết

Lượt xem bài này: 417
Mặc định Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn: a+b+c=1, $đặt x=a^{2}+b^{2}+c^{2}, cmr: \sum \sqrt{1+2a^{2}-x}\geq \sqrt{11-9x}$

Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn: a+b+c=1, $đặt x=a^{2}+b^{2}+c^{2}, cmr:
\sum \sqrt{1+2a^{2}-x}\geq \sqrt{11-9x}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:





Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Em yêu Chị 
Missyou12aBG (04-02-2014)
  #2  
Cũ 04-02-2014, 00:28
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4736
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: BĐT

Nguyên văn bởi Em yêu Chị Xem bài viết
Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn: a+b+c=1, $đặt x=a^{2}+b^{2}+c^{2}, cmr:
\sum \sqrt{1+2a^{2}-x}\geq \sqrt{11-9x}$
Ta có: \[\sum {\sqrt {1 + 2{a^2} - {x^2}} } \ge \sqrt {11 - 9x} \Leftrightarrow \sum {\sqrt {{{(a + b + c)}^2} + 2{a^2} - {a^2} - {b^2} - {c^2}} } \ge \sqrt {11{{(a + b + c)}^2} - 9({a^2} + {b^2} + {c^2})} \]
\[ \Leftrightarrow \sum {\sqrt {2a(a + b + c) + 2bc} } \ge \sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 22\left( {ab + bc + ca} \right)} \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {a + bc} + \sqrt {b + ca} + \sqrt {c + ab} \ge \sqrt {1 + 9\left( {ab + bc + ca} \right)} \]
Đặt $x = \sqrt {\frac{{bc}}{a}} ;y = \sqrt {\frac{{ac}}{b}} ;z = \sqrt {\frac{{ab}}{c}} $ thì $xy+yz+zx=1$.
BĐT càn CM tương đương: \[\sum {\sqrt {xy\left( {x + z} \right)\left( {y + z} \right)} } \ge \sqrt {1 + 9xyz\left( {x + y + z} \right)} \]
\[ \Leftrightarrow \sqrt {xyz\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)} \left( {\frac{1}{{\sqrt {x\left( {y + z} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {y\left( {x + z} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt z \left( {x + y} \right)}}} \right) \ge \sqrt {1 + 9xyz\left( {x + y + z} \right)} \]
Mà: \[\frac{1}{{\sqrt {x\left( {y + z} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt {y\left( {x + z} \right)} }} + \frac{1}{{\sqrt z \left( {x + y} \right)}} \ge \frac{9}{{\sum {\sqrt {x\left( {y + z} \right)} } }} \ge \frac{9}{{\sqrt {6\left( {xy + yz + zx} \right)} }}\]
Nên ta cần CM cho: \[\frac{{9\sqrt {xyz\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right)} }}{{\sqrt {6\left( {xy + yz + zx} \right)} }} \ge \sqrt {1 + 9xyz\left( {x + y + z} \right)} \]
\[ \Leftrightarrow 27xyz\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {z + x} \right) \ge 2\left( {xy + yz + zx} \right)\left( {1 + 9xyz\left( {x + y + z} \right)} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 27xyz\left( {x + y + z - xyz} \right) \ge 2 + 18xyz\left( {x + y + z} \right)\]
\[ \Leftrightarrow 9xyz(x + y + z) - 27{x^2}{y^2}{z^2} - 2 \ge 0\]
Đổi biến: $xy=m;yz=n;zx=p$ thì $m+n+p=1$.
Cần CM: \[9\left( {mn + np + mp} \right) - 27mnp - 2 \ge 0\]
Nhưng: \[mn + np + mp \ge \sqrt {3mnp(m + n + p)} = \sqrt {3mnp} \]
Nên ta chỉ càn CM rằng: \[9\sqrt {3mnp} - 27mnp - 2 \ge 0\]
Dễ thấy BĐT trên luôn đúng do $mnp \le \dfrac{1}{27}$
Vậy ta có dpcm. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 6 người đã cảm ơn cho bài viết này
Em yêu Chị (04-02-2014), Hà Nguyễn (04-02-2014), hoangmac (04-02-2014), Huy Vinh (04-02-2014), Missyou12aBG (04-02-2014), tiendatlhp (04-02-2014)
  #3  
Cũ 04-02-2014, 13:14
Avatar của hoangmac
hoangmac hoangmac đang ẩn
Lặng
Đến từ: Bắc Ninh
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 254
Điểm: 49 / 3183
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 16181
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Bài gửi: 147
Đã cảm ơn : 149
Được cảm ơn 239 lần trong 89 bài viết

Mặc định Re: BĐT

Nguyên văn bởi Em yêu Chị Xem bài viết
Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn: a+b+c=1, $đặt x=a^{2}+b^{2}+c^{2}, cmr:
\sum \sqrt{1+2a^{2}-x}\geq \sqrt{11-9x}$
$$\sum \sqrt{1+2a^{2}-x}\geq \sqrt{11-9x}$$
$$\Leftrightarrow \sum\sqrt{(a+b+c)^2+2a^2-a^2-b^2-c^2}\geq \sqrt{11(a+b+c)^2-9(a^2+b^2+c^2)}$$
$$\Leftrightarrow \sum \sqrt{2a^2+2ab+2bc+2ca} \geq \sqrt{2(a^2+b^2+c^2)+22(ab+bc+ca)}$$
$$\Leftrightarrow \sum \sqrt{(a+b)(a+c)} \geq \sqrt{1+9(ab+bc+ca)}$$
Bình phương 2 vế và thu gọn ta được bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
$$\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right) \sqrt{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 4(ab+bc+ca) (1)$$
Chuẩn hóa $(a+b)(b+c)(c+a)=8$. Ta có:
$8=(a+b)(b+c)(c+a)\geq \dfrac{8}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca) \geq \dfrac{8}{9}\sqrt{3(ab+bc+ca)}(ab+bc+ca)$
$\Rightarrow ab+bc+ca \leq 3$
$\left(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\right) \geq 3\sqrt[6]{(a+b)(b+c)(c+a)}=3\sqrt{2}$
Suy ra: $VT(1)\geq 12\geq VP(1)$
Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  hoangmac 
Hà Nguyễn (04-02-2014)
  #4  
Cũ 04-02-2014, 14:14
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13494
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: BĐT

Nguyên văn bởi Em yêu Chị Xem bài viết
Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn: a+b+c=1, $đặt x=a^{2}+b^{2}+c^{2}, cmr:
\sum \sqrt{1+2a^{2}-x}\geq \sqrt{11-9x}$
Hướng dẫn:

Chú ý $x=a^2+b^2+c^2\le a+b+c=1$. Do đó áp dụng bất đẳng thức $Minkowski$ ta có ngay điều phải chứng minh
\[\sum \sqrt{1+2a^{2}-x}\ge \sqrt{2(a+b+c)^2+(3\sqrt{1-x})^2}=\sqrt{11-9x}\]

P/S: Chú ý cách đặt tiêu đề!


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
beodat (04-02-2014), Hà Nguyễn (04-02-2014), Trọng Nhạc (04-02-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014