Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+z^2+2xyz$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 30-01-2014, 17:34
Avatar của PHAN CHÍ DŨNG
PHAN CHÍ DŨNG PHAN CHÍ DŨNG đang ẩn
Thành viên Danh dự
Đến từ: TỪ SƠN - BẮC NINH
Nghề nghiệp: HỌC SINH - STUDENT
Sở thích: HỌC CÁC MÔN TỰ NHIÊN
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 112
Điểm: 15 / 1494
Kinh nghiệm: 51%

Thành viên thứ: 12786
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 45
Đã cảm ơn : 84
Được cảm ơn 20 lần trong 10 bài viết

Lượt xem bài này: 1006
Mặc định Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+z^2+2xyz$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+z^2+2xyz$
(Em chưa hoc cách dùng hàm số thầy cô và mọi người dùng bất đẳng thức cơ bản nhé. Em cảm ơn ạ)


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 30-01-2014, 18:20
Avatar của letrungtin
letrungtin letrungtin đang ẩn
$\color{red}{VIP\ 0187}$
Đến từ: Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7035
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 1014
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 169
Được cảm ơn 926 lần trong 298 bài viết

Mặc định Re: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+z^2+2xyz$

Nguyên văn bởi PHAN CHÍ DŨNG Xem bài viết
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+z^2+2xyz$
(Em chưa hoc cách dùng hàm số thầy cô và mọi người dùng bất đẳng thức cơ bản nhé. Em cảm ơn ạ)
Không mất tính tổng quá giả sử $x\le y\le z$, từ đk ta có $0<x\le \frac{2}{3}$
Ta có: $y=x+a, z=2-2x-a$, với $a\ge 0$
Khi đó: \[\begin{array}{ll}P&=x^2+(x+a)^2+(2-2x-a)^2+2x(x+a)(2-2x-a)\\
&=2(1-x)a^2+2(1-x)(3x-2)a-4x^3+10x^2-8x+4\\
& \ge -4x^3+10x^2-8x+4
\end{array}\]
Bây giờ, ta chứng minh: $-4x^3+10x^2-8x+4\ge \frac{52}{27}\quad (\star)$
Thật vậy, $(\star)\Leftrightarrow \left(3x-2\right)^2\left(7-6x\right)\ge 0$ luôn đúng Với $x\in\left(0;\frac{2}{3}\right]$
Hoàn toàn dùng kiến thức cơ sở
---------------Cách khác-----------------
$\begin{array}{ll}&2(1-x)a^2+2(1-x)(3x-2)a-4x^3+10x^2-8x+4\\
=& 2(1-x)\left(a+\frac{3x-2}{2}\right)^2+\frac{1}{54}(3x-2)^2(3x+1)+\frac{52}{27}\\
\ge & \frac{52}{27}, \forall x\in\left(0;\frac{2}{3}\right]\end{array} $


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Nhữ Phong (30-01-2014), PHAN CHÍ DŨNG (30-01-2014)
  #3  
Cũ 30-01-2014, 19:17
Avatar của Inspectorgadget
Inspectorgadget Inspectorgadget đang ẩn
♥♥♥♥♥♥♥♥
Đến từ: Sài Gòn
Nghề nghiệp: :3
Sở thích: Làm "ai đó" vui :
 
Cấp bậc: 14 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 328
Điểm: 76 / 4966
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 834
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 229
Đã cảm ơn : 66
Được cảm ơn 467 lần trong 180 bài viết

Mặc định Re: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+z^2+2xyz$

Nguyên văn bởi PHAN CHÍ DŨNG Xem bài viết
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+z^2+2xyz$
(Em chưa hoc cách dùng hàm số thầy cô và mọi người dùng bất đẳng thức cơ bản nhé. Em cảm ơn ạ)
Áp dụng BĐT Schur (Cái này là BĐT cơ bản đã học từ cấp 2 :v)
$$abc\ge (x+y-z)(y+z-x)(x+z-y)=(2-2x)(2-2y)(2-2z)$$
$$\Leftrightarrow xyz\ge \frac{8}{9}(xy+xz+yz)-\frac{8}{9}$$
$$\Rightarrow 2xyz\ge \frac{16}{9}(xy+xz+yz)-\frac{16}{9}$$

$$P\ge (x+y+z)^2-\frac{2}{9} (xy+xz+yz)-\frac{16}{9}$$

Áp dụng BĐT $(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)$

Ta có: $P\ge 4-\frac{2}{9} . \frac{(x+y+z)^2}{3}-\frac{16}{9} =\frac{52}{27}$

Vậy $Min P =\frac{52}{27}$ khi đó $x=y=z=\frac{2}{3}$.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Inspectorgadget 
PHAN CHÍ DŨNG (30-01-2014)
  #4  
Cũ 30-01-2014, 20:55
Avatar của letrungtin
letrungtin letrungtin đang ẩn
$\color{red}{VIP\ 0187}$
Đến từ: Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7035
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 1014
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 169
Được cảm ơn 926 lần trong 298 bài viết

Mặc định Re: Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+z^2+2xyz$

Nguyên văn bởi PHAN CHÍ DŨNG Xem bài viết
Cho $x,y,z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x+y+z=2$. Tìm GTNN của $P=x^2+y^2+z^2+2xyz$
(Em chưa hoc cách dùng hàm số thầy cô và mọi người dùng bất đẳng thức cơ bản nhé. Em cảm ơn ạ)
Theo Dirichlet thì $(3x-2), (3y-2), (3z-2)$ sẽ có ít nhất 2 thằng cùng dấu. Ta giả sử là $(3x-2), (3y-2)$. Khi đó:
\[(3x-2)(3y-2)\ge 0\Leftrightarrow 9xy\ge 6(x+y)-4\Rightarrow 9xyz\ge 6(2-z)z-4z \Rightarrow 2xyz \ge \frac{16z-12z^2}{9}\]
Mặt khác: $x^2+y^2\ge \frac{(x+y)^2}{2}=\frac{(2-z)^2}{2}$
Do đó:
\[P\ge \frac{(2-z)^2}{2}+z^2+\frac{16z-12z^2}{9}=\frac{(3z-2)^2}{54}+\frac{52}{27}\ge \frac{52}{27} \]


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
PHAN CHÍ DŨNG (01-02-2014), Đặng Thành Nam (30-01-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực không âm $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+xz \neq 0$ Trường An Bất đẳng thức - Cực trị 4 14-06-2016 14:34
Cho x, y, z dương thỏa mãn $x^2+z^2\le 2$. Tìm GTNN. khanhtoanlihoa Bất đẳng thức - Cực trị 2 17-05-2016 21:10
Cho các số thực dương $a, b, c$. Tìm GTNN của biểu thức. khanhtoanlihoa Bất đẳng thức - Cực trị 1 16-05-2016 13:10
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều $(\sqrt x + 1)\sqrt y + 1) \ge 4$ xuanvy2005 Bất đẳng thức - Cực trị 1 25-04-2016 18:18
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014