Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\ {{x^2} + {y^2} - xy = 1} \end{array}} \right.$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải hệ phương trình

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 21-01-2014, 13:20
Avatar của dobinh1111
dobinh1111 dobinh1111 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 197
Điểm: 32 / 2910
Kinh nghiệm: 89%

Thành viên thứ: 1451
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 98
Đã cảm ơn : 22
Được cảm ơn 12 lần trong 10 bài viết

Lượt xem bài này: 760
Mặc định Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\ {{x^2} + {y^2} - xy = 1} \end{array}} \right.$

Giải hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\
{{x^2} + {y^2} - xy = 1}
\end{array}} \right.$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 21-01-2014, 13:54
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8335
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\ {{x^2} + {y^2} - xy = 1} \end{array}} \right.$

Nguyên văn bởi dobinh1111 Xem bài viết
Giải hệ phương trình:
$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\
{{x^2} + {y^2} - xy = 1}
\end{array}} \right.$

Hướng giải

+ ĐK $|y| \le 1$
$$(1) \Leftrightarrow x-y=\sqrt{y^2-1}-\sqrt{x^2+1}$$
$$\Rightarrow x^2+y^2-2xy=x^2+y^2-2\sqrt{(x^2+1)(y^2-1)}$$
$$\Leftrightarrow x^2y^2=x^2y^2-x^2+y^2-1$$
$$\Leftrightarrow y^{2} - x^{2} = 1$$

Hướng 2 : Hàm số
$$Pt \left(1 \right) \Leftrightarrow x + \sqrt{x^{2} + 1} = \left(\sqrt{y^{2} - 1} \right) + \sqrt{\left(\sqrt{y^{2} - 1} \right)^{2} + 1}$$
Xét hàm đặc trưng $f\left(t \right) = t + \sqrt{t^{2} + 1} $

Hướng 3
$$Pt \left(1 \right) \Leftrightarrow x-\sqrt{y^2-1}=y-\sqrt{x^2+1}$$
Bình phương $2$ vế ta thu được:$$-1-2x\sqrt{y^2-1}=1-2y\sqrt{x^2+1}$$$$\Leftrightarrow y\sqrt{x^2+1}=1+x\sqrt{y^2-1}$$
$$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2=1+x^2y^2-x^2+2x\sqrt{y^2-1}$$$$\Leftrightarrow (x-\sqrt{y^2-1})^2=0$$$$\Leftrightarrow x^2-y^2 = - 1$$
Kết hợp với phương trình $(2)$ của hệ ta có hệ mới :$$\begin{cases} x^2-y^2= - 1\\ x^2+y^2-xy=1 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-y)(x+y)= - 1\\ \dfrac{3(x-y)^2}{4}+\dfrac{(x+y)^2}{4}=1\end{cases}$$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 5 người đã cảm ơn cho bài viết này
dobinh1111 (21-01-2014), giacatluc (21-01-2014), Missyou12aBG (21-01-2014), npt26101994 (21-01-2014), Đặng Thành Nam (22-01-2014)
  #3  
Cũ 22-01-2014, 05:42
Avatar của Đặng Thành Nam
Đặng Thành Nam Đặng Thành Nam đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Phú Thọ
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 627
Điểm: 282 / 9324
Kinh nghiệm: 11%

Thành viên thứ: 1209
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 848
Đã cảm ơn : 515
Được cảm ơn 1.462 lần trong 525 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\ {{x^2} + {y^2} - xy = 1} \end{array}} \right.$

Nguyên văn bởi Hiền Duy Xem bài viết
Hướng giải

+ ĐK $|y| \le 1$
$$(1) \Leftrightarrow x-y=\sqrt{y^2-1}-\sqrt{x^2+1}$$
$$\Rightarrow x^2+y^2-2xy=x^2+y^2-2\sqrt{(x^2+1)(y^2-1)}$$
$$\Leftrightarrow x^2y^2=x^2y^2-x^2+y^2-1$$
$$\Leftrightarrow y^{2} - x^{2} = 1$$

Hướng 2 : Hàm số
$$Pt \left(1 \right) \Leftrightarrow x + \sqrt{x^{2} + 1} = \left(\sqrt{y^{2} - 1} \right) + \sqrt{\left(\sqrt{y^{2} - 1} \right)^{2} + 1}$$
Xét hàm đặc trưng $f\left(t \right) = t + \sqrt{t^{2} + 1} $

Hướng 3
$$Pt \left(1 \right) \Leftrightarrow x-\sqrt{y^2-1}=y-\sqrt{x^2+1}$$
Bình phương $2$ vế ta thu được:$$-1-2x\sqrt{y^2-1}=1-2y\sqrt{x^2+1}$$$$\Leftrightarrow y\sqrt{x^2+1}=1+x\sqrt{y^2-1}$$
$$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2=1+x^2y^2-x^2+2x\sqrt{y^2-1}$$$$\Leftrightarrow (x-\sqrt{y^2-1})^2=0$$$$\Leftrightarrow x^2-y^2 = - 1$$
Kết hợp với phương trình $(2)$ của hệ ta có hệ mới :$$\begin{cases} x^2-y^2= - 1\\ x^2+y^2-xy=1 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-y)(x+y)= - 1\\ \dfrac{3(x-y)^2}{4}+\dfrac{(x+y)^2}{4}=1\end{cases}$$
Anh bổ sung thêm cách nữa cho lời giải thêm phong phú
Cách 4 : Đặt $\left\{ \begin{array}{l}
u = x + \sqrt {{x^2} + 1} \\
v = y + \sqrt {{y^2} - 1}
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {u - x} \right)^2} = {x^2} + 1\\
{\left( {v - y} \right)^2} = {y^2} - 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{{u^2} - 1}}{{2u}}\\
y = \frac{{{v^2} + 1}}{{2v}}
\end{array} \right.$ .
Khi đó hệ phương trình trở thành :
\[\left\{ \begin{array}{l}
u = v\\
{\left( {\frac{{{u^2} - 1}}{{2u}}} \right)^2} + {\left( {\frac{{{v^2} + 1}}{{2v}}} \right)^2} - \frac{{{u^2} - 1}}{{2u}}.\frac{{{v^2} + 1}}{{2v}} = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
u = v\\
{u^4} - 4{u^2} + 3 = 0
\end{array} \right.\] .
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
u = v = - 1\\
u = v = 1\\
u = v = - \sqrt 3 \\
u = v = \sqrt 3
\end{array} \right.$ .
Đáp số: Hệ phương trình có hai nghiệm là $$\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right);\left( {\dfrac{1}{{\sqrt 3 }};\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)$$.
P/s : Bài này còn hai cách nữa nhưng không gọn nên không trình bày ở đây.
Xem tại đây: http://dangthanhnam.com/


Giáo viên Toán tại website vted.vn - Học toán online chất lượng cao!
Chi tiết các khoá học các bạn xem tại link: http://vted.vn/khoa-hoc.html


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (22-01-2014), Missyou12aBG (22-01-2014)
  #4  
Cũ 22-01-2014, 11:06
Avatar của maths287
maths287 maths287 đang ẩn
Thành viên Danh dự
 
Cấp bậc: 4 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 89
Điểm: 11 / 1021
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 19062
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gửi: 34
Đã cảm ơn : 33
Được cảm ơn 91 lần trong 18 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\ {{x^2} + {y^2} - xy = 1} \end{array}} \right.$

Nguyên văn bởi Hiền Duy Xem bài viết
Hướng giải

+ ĐK $|y| \le 1$
$$(1) \Leftrightarrow x-y=\sqrt{y^2-1}-\sqrt{x^2+1}$$
$$\Rightarrow x^2+y^2-2xy=x^2+y^2-2\sqrt{(x^2+1)(y^2-1)}$$
$$\Leftrightarrow x^2y^2=x^2y^2-x^2+y^2-1$$
$$\Leftrightarrow y^{2} - x^{2} = 1$$

Hướng 2 : Hàm số
$$Pt \left(1 \right) \Leftrightarrow x + \sqrt{x^{2} + 1} = \left(\sqrt{y^{2} - 1} \right) + \sqrt{\left(\sqrt{y^{2} - 1} \right)^{2} + 1}$$
Xét hàm đặc trưng $f\left(t \right) = t + \sqrt{t^{2} + 1} $

Hướng 3
$$Pt \left(1 \right) \Leftrightarrow x-\sqrt{y^2-1}=y-\sqrt{x^2+1}$$
Bình phương $2$ vế ta thu được:$$-1-2x\sqrt{y^2-1}=1-2y\sqrt{x^2+1}$$$$\Leftrightarrow y\sqrt{x^2+1}=1+x\sqrt{y^2-1}$$
$$\Leftrightarrow x^2y^2+y^2=1+x^2y^2-x^2+2x\sqrt{y^2-1}$$$$\Leftrightarrow (x-\sqrt{y^2-1})^2=0$$$$\Leftrightarrow x^2-y^2 = - 1$$
Kết hợp với phương trình $(2)$ của hệ ta có hệ mới :$$\begin{cases} x^2-y^2= - 1\\ x^2+y^2-xy=1 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} (x-y)(x+y)= - 1\\ \dfrac{3(x-y)^2}{4}+\dfrac{(x+y)^2}{4}=1\end{cases}$$
Hướng 2 xét hàm số. không có điều kiện của y


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #5  
Cũ 22-01-2014, 11:41
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8335
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\ {{x^2} + {y^2} - xy = 1} \end{array}} \right.$

Nguyên văn bởi maths287 Xem bài viết
Hướng 2 xét hàm số. không có điều kiện của y
Mình chỉ gợi ý như thế thôi còn điều kiện của $y$ các bạn tự tìm chứ nhỉ.
Không thì đây :
Ta có $$x + \sqrt{x^{2} + 1} > 0 \Rightarrow y + \sqrt{y^{2} - 1} > 0 \Leftrightarrow \sqrt{y^{2} - 1} > - y$$
Từ $\sqrt{y^{2} - 1} > - y\Rightarrow y > 0 $
Kết hợp với điều kiện : $y^{2} - 1 \geq 0 \Rightarrow y \geq 1$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 31-07-2014, 17:26
Avatar của s2_la
s2_la s2_la đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Hưng Yên
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 161
Điểm: 24 / 2139
Kinh nghiệm: 46%

Thành viên thứ: 12754
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 73
Đã cảm ơn : 51
Được cảm ơn 169 lần trong 51 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\ {{x^2} + {y^2} - xy = 1} \end{array}} \right.$

Nguyên văn bởi Hiền Duy Xem bài viết
Mình chỉ gợi ý như thế thôi còn điều kiện của $y$ các bạn tự tìm chứ nhỉ.
Không thì đây :
Ta có $$x + \sqrt{x^{2} + 1} > 0 \Rightarrow y + \sqrt{y^{2} - 1} > 0 \Leftrightarrow \sqrt{y^{2} - 1} > - y$$
Từ $\sqrt{y^{2} - 1} > - y\Rightarrow y > 0 $
Kết hợp với điều kiện : $y^{2} - 1 \geq 0 \Rightarrow y \geq 1$
Vẫn không hiểu tại sao $y>0$



Chia sẻ tài liệu ôn thi đại học tại : http://blogtoanli.net


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #7  
Cũ 31-07-2014, 17:55
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 656
Điểm: 312 / 9845
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.234 lần trong 558 bài viết

Mặc định Re: Giải hệ phương trình: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x + \sqrt {{x^2} + 1} = y + \sqrt {{y^2} - 1} }\\ {{x^2} + {y^2} - xy = 1} \end{array}} \right.$

Nguyên văn bởi s2_la Xem bài viết
Vẫn không hiểu tại sao $y>0$
Anh cũng không hiểu nốt



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Giải hệ phương trình chứa $\sqrt {2{x^2} - x + y + 4} - \sqrt {21x + y - 16} + {x^2} - x + y + 1 = 0$ phuongthaosp1 Giải hệ phương trình 0 02-06-2016 15:53
Giải hệ phương trình chứa ${\sqrt {{x^2} + 4x + 3} + y\left( {1 - \sqrt {x + 3} } \right) = {y^3} + \left( {1 - {y^2}} \right)\sqrt {x + 1} }$ dobinh1111 Giải hệ phương trình 0 18-05-2016 11:35
Giải phương trình $\sqrt{x^2+6} +\sqrt{x + 2} = \sqrt{x^2 - 2x + 4}+x^2$ Khanhduy Giải phương trình Vô tỷ 0 15-05-2016 20:10
Giải hệ phương trình (trích SPHN lần 3) $\left\{ \begin{align} & {{x}^{4}}-13{{x}^{2}}-2{{y}^{3}}+10x+4y+24=0 \\ & \ln \frac{{{x}^{2}}+1}{{{y}^{2}}+1}+x-y=0 \\ \end{align} \right.$ catbuilata Giải hệ phương trình 0 21-04-2016 13:10
Tuyển tập Hệ phương trình giải được bằng phương pháp đánh giá Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hệ phương trình 92 05-01-2016 11:15



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014