Chứng minh $ \frac{2-a}{b^2}+ \frac{2-b}{c^2}+ \frac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3}$ với $a+b+c=abc$. - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 18-01-2014, 00:16
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13479
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Lượt xem bài này: 523
Mặc định Chứng minh $ \frac{2-a}{b^2}+ \frac{2-b}{c^2}+ \frac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3}$ với $a+b+c=abc$.

Cho các số thực $a,b,c$ đều lớn hơn $1$ và thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng \[ \dfrac{2-a}{b^2}+ \dfrac{2-b}{c^2}+ \dfrac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3} \]


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lê Đình Mẫn 
Hà Nguyễn (18-01-2014)
  #2  
Cũ 18-01-2014, 11:03
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8338
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh $ \frac{2-a}{b^2}+ \frac{2-b}{c^2}+ \frac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3}$ với $a+b+c=abc$.

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho các số thực $a,b,c$ đều lớn hơn $1$ và thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng \[ \dfrac{2-a}{b^2}+ \dfrac{2-b}{c^2}+ \dfrac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3} \]

Xét biểu thức $P = \frac{a - 2}{b^{2}} + \frac{b - 2}{c^{2}} + \frac{c - 2}{a^{2}}$
$$P = \sum \left(\frac{a - 2}{b^{2}} + \frac{1}{b} \right) - \sum \frac{1}{b} = \sum \left(\frac{\left(a - 1 \right) + \left(b - 1 \right)}{b^{2}} + \frac{1}{b}\right) - \sum \frac{1}{b}$$
$$= \sum \left[\left(b - 1 \right)\left(\frac{1}{b^{2}} + \frac{1}{c^{2}}\right) \right] - \sum \frac{1}{b}$$
$$\geq \left[\left(b - 1 \right)\left(\frac{2}{bc} \right) \right] - \sum \frac{1}{b} = \sum \frac{1}{b} - 2$$
Mà $\sum \frac{1}{b} \geq \sqrt{3\sum \frac{1}{ab}} = \sqrt{3}$ $\Rightarrow P \geq \sqrt{3} - 2$
Hay \[ \dfrac{2-a}{b^2}+ \dfrac{2-b}{c^2}+ \dfrac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3} \]
Dấu $ '' = '' $ xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = \sqrt{3}.$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (18-01-2014), Lê Đình Mẫn (18-01-2014)
  #3  
Cũ 18-01-2014, 19:22
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13479
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh $ \frac{2-a}{b^2}+ \frac{2-b}{c^2}+ \frac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3}$ với $a+b+c=abc$.

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho các số thực $a,b,c$ đều lớn hơn $1$ và thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng \[ \dfrac{2-a}{b^2}+ \dfrac{2-b}{c^2}+ \dfrac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3} \]
Cách 2:
Đặt $a= \frac{1}{x}, b= \frac{1}{y}, c= \frac{1}{z}\Rightarrow \begin{cases}xy+yz+zx=1\\ 0<x,y,z<1 \end{cases}$.Chúng ta cần chứng minh
\[\frac{y^2(1-2x)}{x}+ \frac{z^2(1-2y)}{y}+ \frac{x^2(1-2z)}{z}\ge \sqrt{3}-2\]
+ Giả sử $x+y+z\ge 2\Rightarrow x+y\ge 2-z\Rightarrow 1=xy+z(x+y)\ge xy+z(2-z)$ or $(1-z)^2\ge xy$.
Tương tự chúng ta cũng có $(1-y)^2\ge xz,(1-x)^2\ge yz$. Suy ra
$(1-x)^2+(1-y)^2+(1-z)^2\ge 1\Leftrightarrow (x+y+z)+(x+y+z-x^2-y^2-z^2)\le 2$ (Mâu thuẫn).
+ Do đó $x+y+z< 2$:
Sử dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ chúng ta có
\[\frac{y^2(1-x)}{x}+ \frac{z^2(1-y)}{y}+ \frac{x^2(1-z)}{z}\ge \frac{(x+y+z-1)^2}{x+y+z-(x^2+y^2+z^2)}\]
Hay ta cần chứng minh
\[\frac{(x+y+z-1)^2}{x+y+z-(x^2+y^2+z^2)}-(x^2+y^2+z^2)\ge \sqrt{3}-2\]
hay
\[\frac{(t-1)^2}{-t^2+t+2}+4-\sqrt{3} -t^2\ge 0\ ( * )\qquad and\ t=x+y+z\in [\sqrt{3};2 )\]
$( * )$ luôn đúng vì
$\frac{1}{(1+t)(2-t)}.(t-\sqrt{3})\left [ (t-\sqrt{3})\left(t^2+(2\sqrt{3}-1)t+4\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}-1\right ] \ge 0\ \forall t\in [\sqrt{3};2)$.
Kết thúc chứng minh.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 20-01-2014, 16:35
Avatar của hiếuctb
hiếuctb hiếuctb đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: THPT_Chuyên TB
Nghề nghiệp: hs
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 442
Điểm: 134 / 6216
Kinh nghiệm: 70%

Thành viên thứ: 4734
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 404
Đã cảm ơn : 168
Được cảm ơn 540 lần trong 253 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh $ \frac{2-a}{b^2}+ \frac{2-b}{c^2}+ \frac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3}$ với $a+b+c=abc$.

Nguyên văn bởi Lê Đình Mẫn Xem bài viết
Cho các số thực $a,b,c$ đều lớn hơn $1$ và thỏa mãn $a+b+c=abc$. Chứng minh rằng \[ \dfrac{2-a}{b^2}+ \dfrac{2-b}{c^2}+ \dfrac{2-c}{a^2}\le 2-\sqrt{3} \]
Thêm cách nữa http://k2pi.net.vn/showthread.php?p=34607#post34607


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  hiếuctb 
Lê Đình Mẫn (21-01-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014