Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 14-01-2014, 20:54
Avatar của trandaiduongbg
trandaiduongbg trandaiduongbg đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Lạng Giang-Bắc Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: NHN
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 116
Điểm: 15 / 1406
Kinh nghiệm: 67%

Thành viên thứ: 16860
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gửi: 47
Đã cảm ơn : 33
Được cảm ơn 5 lần trong 5 bài viết

Lượt xem bài này: 618
Mặc định Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$



Quyết tâm đỗ ĐH CNTT


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 14-01-2014, 21:11
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13453
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$

Nguyên văn bởi trandaiduongbg Xem bài viết
Cho a,b,c>0 thỏa abc $\geq 1$. Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$
HD:
TH1: $abc=1$. Bài toán trở nên quen thuộc.
TH2: $abc=k^3>1$. Đặt $a= \frac{ky}{x},b= \frac{kz}{y},c= \frac{kx}{z}$.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Lê Đình Mẫn 
N H Tu prince (14-01-2014)
  #3  
Cũ 14-01-2014, 21:20
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8317
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$

Lời giải

+ Đặt $x = \sqrt{a} ; y = \sqrt{b} ; z = \sqrt{c} $ khi đó phải chứng minh
$$\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} + \frac{1}{y^{2} + z^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + z^{2} + 1} \leq 1 $$
Với $xyz \geq 1$

+ Do $\frac{1}{x^{2} + y^{2} + 1} = 1 - \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} = 1 - \frac{\left(x + y \right)^{2} + \left(x - y \right)^{2}}{2\left(x^{2} + y^{2} + 1\right)} $

Nên bđt viết lại thành :
$$\sum \frac{\left(x + y \right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} + \sum \frac{\left(x - y \right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} \geq 4$$

+ Không mất tính tổng quát giả sử : $x \geq y\geq z$. Sử dụng bđt Cauchy - Schwarz ta có :
$$\sum \frac{\left(x + y \right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} \geq \frac{\left[\left(x + y \right) + \left(y + z \right) + \left(x + z \right)\right]^{2}}{\sum \left(x^{2} + y^{2} + 1\right)}$$
$$\sum \frac{\left(x - y \right)^{2}}{x^{2} + y^{2} + 1} \geq \frac{\left[\left(x - y \right) + \left(y - z \right) + \left(x - z \right)\right]^{2}}{\sum \left(x^{2} + y^{2} + 1\right)}$$

+ Từ đây ta đưa bài toán về chứng minh
$$\left(x + y + z \right)^{2} + \left(x - z \right)^{2} \geq 2\left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) + 3$$
+ Mặt khác , theo bđt $AM - GM$ ta có : $3 \leq 3\sqrt[3]{x^{2}y^{2}z^{2}} \leq xy + yz + xz$

do vậy ta chỉ cần chứng minh :
$$\left(x + y + z \right)^{2} + \left(x - z \right)^{2} \geq 2\left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) + xy + yz + xz$$
Sau khi thu gọn , ta được bđt hiển nhiên đúng
$$\left(x - y \right)\left(y - z \right) \geq 0$$

Bài toán do đó được chứng minh xong.


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Thế Duy 
N H Tu prince (14-01-2014)
  #4  
Cũ 14-01-2014, 21:26
Avatar của N H Tu prince
N H Tu prince N H Tu prince đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Di Linh
Nghề nghiệp: Ăn bám
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 411
Điểm: 116 / 5663
Kinh nghiệm: 46%

Thành viên thứ: 7368
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 350
Đã cảm ơn : 1.066
Được cảm ơn 563 lần trong 258 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$

Nguyên văn bởi trandaiduongbg Xem bài viết
Cho a,b,c>0 thỏa abc $\geq 1$. Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$
Ta có $VT=\sum \frac{1}{a+b+1}\le \dfrac{1}{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})+\sqrt[3]{abc}}=\sum \dfrac{1}{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})}\le \dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}=1$


Dẫu biết rằng đường đời nhiều sỏi đá

Chỉ mong rằng vấp ngã vẫn còn răng


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Nhữ Phong (14-01-2014), neymar11 (14-01-2014)
  #5  
Cũ 15-01-2014, 10:23
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13453
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$

Nguyên văn bởi N H Tu prince Xem bài viết
Ta có $VT=\sum \frac{1}{a+b+1}\le \dfrac{1}{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})+\sqrt[3]{abc}}=\sum \dfrac{1}{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})}\le \dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}=1$
Giả sử $a=b=c=2$ thì sao nhỉ?
$a+b+1=5<6=\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})+\sqrt[3]{abc}$


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #6  
Cũ 15-01-2014, 20:13
Avatar của trandaiduongbg
trandaiduongbg trandaiduongbg đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Lạng Giang-Bắc Giang
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: NHN
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 116
Điểm: 15 / 1406
Kinh nghiệm: 67%

Thành viên thứ: 16860
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gửi: 47
Đã cảm ơn : 33
Được cảm ơn 5 lần trong 5 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$

Nguyên văn bởi N H Tu prince Xem bài viết
Ta có $VT=\sum \frac{1}{a+b+1}\le \dfrac{1}{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})+\sqrt[3]{abc}}=\sum \dfrac{1}{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})}\le \dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}=1$
Bạn ơi ngược dấu rồi!


Quyết tâm đỗ ĐH CNTT


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #7  
Cũ 15-01-2014, 20:55
Avatar của xanhlam
xanhlam xanhlam đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 137
Điểm: 19 / 1974
Kinh nghiệm: 48%

Thành viên thứ: 2679
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 58
Đã cảm ơn : 7
Được cảm ơn 49 lần trong 27 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$

Nguyên văn bởi trandaiduongbg Xem bài viết
Cho a,b,c>0 thỏa abc $\geq 1$. Chứng minh: $\frac{1}{a+b+1}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1} \leq 1$
Xét trường hợp $abc=1$.
Ta có $VT=\sum \frac{1}{a+b+1}\le \sum \dfrac{1}{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})+\sqrt[3]{abc}}=\sum \dfrac{1}{\sqrt[3]{ab}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})}\le \dfrac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}=1$
Với trường hợp $abc>1$ đặt $a=kx, b=ky, c=kz$, $xyz=1$, $k>1$. Suy ra:
$P< \sum \dfrac{1}{x+y+1}\leq 1$
Bài toán được chứng minh.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  xanhlam 
N H Tu prince (19-01-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho hình chữ nhật ABCD, AB=2BC, gọi G là trọng tâm tam giác ACD và M là điểm thuộc cạnh AB sao cho AB= 6AM. Chứng minh MF vuông góc với BD. mh10111988 Hình học lớp 9 2 24-06-2016 21:23
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Bài toán khó: Cho tam giác ABC co hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. EF cắt BC tại P, gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng PH vuông góc với AM. dobinh1111 Hình học phẳng 0 03-05-2016 12:41
Chứng minh: $\frac{a}{{{a^3} + {b^2} + c}} + \frac{b}{{{b^3} + {c^2} + a}} + \frac{c}{{{c^3} + {a^2} + b}} \le 1$ thanhtung1 Bất đẳng thức - Cực trị 4 02-05-2016 14:04
Chứng minh Các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên máy tính Inspectorgadget [Tài liệu] Bất đẳng thức 0 27-04-2016 12:45



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014