Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt) - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải phương trình Vô tỷ

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 13-01-2014, 09:58
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 11841
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604
Đã cảm ơn : 885
Được cảm ơn 843 lần trong 530 bài viết

Lượt xem bài này: 800
Mặc định Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt)



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  catbuilata 
Lê Đình Mẫn (13-01-2014)
  #2  
Cũ 13-01-2014, 10:52
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8316
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt)

Cách 1

+ Điều kiện : $x \in \left[0 ; 2 \right]$

+ Phương trình $\Rightarrow 2x^{4} - 2 = \sqrt{2x - x^{2}} - 1 $

$\Leftrightarrow 2\left(x - 1 \right)\left(x + 1 \right)\left(x^{2} + 1\right) = \frac{ - \left(x - 1 \right)^{2}}{\sqrt{2x + x^{2}} + 1}$

$\Rightarrow x = 1$

Hoặc : $2\left(x + 1 \right)\left(x^{2} + 1\right).\left(\sqrt{2x - x^{2}} + 1\right) = 1 - x $ $\left(* \right)$

+ Giải $\left(* \right)$ : với $x \in \left[0 ; 2 \right] \Rightarrow 1 - x \leq 1$

Và $2\left(x + 1 \right)\left(x^{2} + 1\right).\left(\sqrt{2x - x^{2}} + 1\right) > 1$

Nên phương trình $\left(* \right) $ vô nghiệm.

Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (14-01-2014), Lê Đình Mẫn (13-01-2014), Tuấn Anh Eagles (28-01-2014)
  #3  
Cũ 13-01-2014, 10:52
Avatar của Tống Văn Nghĩa
Tống Văn Nghĩa Tống Văn Nghĩa đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: THPT
Nghề nghiệp: ABC
Sở thích: Tự do
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 548
Điểm: 210 / 7905
Kinh nghiệm: 95%

Thành viên thứ: 2652
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 631
Đã cảm ơn : 329
Được cảm ơn 485 lần trong 271 bài viết

Mặc định Re: Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt)

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt)
$ĐK: \sqrt[4]{\frac{1}{2}}\leq x\leq 2$
$2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }\Leftrightarrow 2(x^{4}-1)+1- \sqrt {2x - x^2 }=0$
$\Leftrightarrow 2(x-1)(x+1)(x^{2}+1)+\frac{x^{2}-2x+1}{1+\sqrt{2x-x^{2}}}=0$
$\Leftrightarrow (x-1)[2(x+1)(x^{2}+1)+\frac{x-1}{1+\sqrt{2x-x^{2}}}]=0$
$\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1.$
Vì với điều kiện thì $2(x+1)(x^{2}+1)>2$ còn $\left|\frac{x-1}{1+\sqrt{2x-x^{2}}} \right|<\left|x-1 \right|\leq 1$


Còn sống là còn nỗ lực


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (14-01-2014), Lê Đình Mẫn (13-01-2014), Tuấn Anh Eagles (28-01-2014)
  #4  
Cũ 13-01-2014, 11:03
Avatar của Lê Đình Mẫn
Lê Đình Mẫn Lê Đình Mẫn đang ẩn
$\color{blue}{MANLONELY}$
Đến từ: Quảng Bình
 
Cấp bậc: 36 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 89 / 893
Điểm: 655 / 13452
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 859
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 1.966
Đã cảm ơn : 1.997
Được cảm ơn 4.188 lần trong 1.383 bài viết

Mặc định Re: Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt)

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt)
Phương pháp đánh giá:
ĐK: $0\le x\le 2$.
+ Nếu $1\le x\le 2$ ta có $2x^4-1\ge 2.1-1=1\ge \sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{2x-x^2}$;
+ Nếu $0\le x\le 1$ ta có $2x^4-1\le 2x-1\le 2x-x^2\le \sqrt{2x-x^2}$ vì $0\le 2x-x^2\le 1$.
Vậy $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.


HỌC CÁCH TƯ DUY QUA TỪNG LỜI GIẢI.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
catbuilata (14-01-2014), Tống Văn Nghĩa (13-01-2014), Tuấn Anh Eagles (28-01-2014)
  #5  
Cũ 13-01-2014, 11:08
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8316
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt)

Cách 2

+ Điều kiện : $x \in \left[ 0 ; 2 \right]$

+ Áp dụng bđt Cauchy ta có : $\sqrt{2x - x^{2}} \leq \frac{1 + 2x - x^{2}}{2} $

$\Rightarrow 2x^{4} - 1 = \sqrt{2x - x^{2}} \leq \frac{1 + 2x - x^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2x^{4} - 1 \leq \frac{1 + 2x - x^{2}}{2} \Leftrightarrow 4x^{4} + x^{2} - 2x - 3 \leq 0 $

$\Leftrightarrow \left(x - 1 \right)\left(4x^{3} + 4x^{2} + 5x + 3\right) \leq 0 \Rightarrow x \leq 1$

vì với $x \in \left[0 ; 2 \right] \Rightarrow 4x^{3} + 4x^{2} + 5x + 3 > 0 $

+ Xét hàm số : $f\left(x \right) = 2x^{4} - 1 - \sqrt{2x - x^{2}} $ với $x \in \left[0 ; 1 \right] $

Là hàm số đồng biến nên có nghiệm duy nhất.

Vậy nghiệm của phương trình thỏa : $f\left(1 \right) = 0 $ và bđt Cauchy xảy ra dấu bằng.

Nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Thế Duy 
Tuấn Anh Eagles (28-01-2014)
  #6  
Cũ 13-01-2014, 11:11
Avatar của Tống Văn Nghĩa
Tống Văn Nghĩa Tống Văn Nghĩa đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: THPT
Nghề nghiệp: ABC
Sở thích: Tự do
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 548
Điểm: 210 / 7905
Kinh nghiệm: 95%

Thành viên thứ: 2652
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 631
Đã cảm ơn : 329
Được cảm ơn 485 lần trong 271 bài viết

Mặc định Re: Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt)

Nguyên văn bởi Hiền Duy Xem bài viết
Cách 2

+ Điều kiện : $x \in \left[ 0 ; 2 \right]$

+ Áp dụng bđt Cauchy ta có : $\sqrt{2x - x^{2}} \leq \frac{1 + 2x - x^{2}}{2} $

$\Rightarrow 2x^{4} - 1 = \sqrt{2x - x^{2}} \leq \frac{1 + 2x - x^{2}}{2}$

$\Leftrightarrow 2x^{4} - 1 \leq \frac{1 + 2x - x^{2}}{2} \Leftrightarrow 4x^{4} + x^{2} - 2x - 3 \leq 0 $

$\Leftrightarrow \left(x - 1 \right)\left(4x^{3} + 4x^{2} + 5x + 3\right) \leq 0 \Rightarrow x \leq 1$

vì với $x \in \left[0 ; 2 \right] \Rightarrow 4x^{3} + 4x^{2} + 5x + 3 > 0 $

+ Xét hàm số : $f\left(x \right) = 2x^{4} - 1 - \sqrt{2x - x^{2}} $ với $x \in \left[0 ; 1 \right] $

Là hàm số đồng biến nên có nghiệm duy nhất.

Vậy nghiệm của phương trình thỏa : $f\left(1 \right) = 0 $ và bđt Cauchy xảy ra dấu bằng.

Nên $x=1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hàm f(x) đồng biến trên [0;1] ư


Còn sống là còn nỗ lực


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #7  
Cũ 14-01-2014, 08:37
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 11841
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604
Đã cảm ơn : 885
Được cảm ơn 843 lần trong 530 bài viết

Mặc định Re: Giải phương trình: $2x^4 - 1 = \sqrt {2x - x^2 }$ (càng nhiều cách càng tốt)

Xin góp thêm chút Bụi:

$2{{x}^{4}}-1=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\,\,\left( 1 \right)$ .
Với các bạn yêu thích kiểu truyền thống bình phương 2 dzế, có thể trình bày như sau:
Nếu x là nghiệm phương trình thì $\left\{ \begin{array}{l}
2x - x^2 \ge 0 \\
2x^4 - 1 \ge 0 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }} < \frac{1}{{\sqrt[4]{2}}} \le x \le 2$

Với điều kiện trên thì $\left( 1 \right)\Leftrightarrow 4{{x}^{8}}-4{{x}^{4}}+{{x}^{2}}-2x+1=0\Leftrightarrow 4{{x}^{4}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)+{{\left( x-1 \right)}^{2}}=0$.
$\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( 4{{x}^{7}}+4{{x}^{6}}+4{{x}^{5}}+4{{x}^{4}}+x-1 \right)=0\,\,\left( 2 \right)$
Xét hàm số : $f(x)=4{{x}^{7}}+4{{x}^{6}}+4{{x}^{5}}+4{{x}^{4}}+ x-1,x\in \left[ \frac{1}{\sqrt{2}};2 \right]$
$f'(x)=28{{x}^{6}}+24{{x}^{5}}+20{{x}^{4}}+16{{x}^ {3}}+1>0\,\,\forall x\in \left[ \frac{1}{\sqrt{2}};2 \right]$
$\Rightarrow f(x)$ là hàm số đồng biến trên $\left[ \frac{1}{\sqrt{2}};2 \right]$
Do đó với $x>\frac{1}{\sqrt{2}}$thì ta có:
$f(x)>f\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)=4{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{7}}+4{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{6}}+4{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{5}}+4{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{4}}+\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)-1>4{{\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)}^{4}}+\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)-1=\frac{1}{\sqrt{2}}>0$
Từ đó phương trình (2) $ \Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$
Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất $x=1$.

Thêm cách nữa:

$2{{x}^{4}}-1=\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\,\,\left( 1 \right)$ .
Điều kiện:......
Khi đó (1) $\Leftrightarrow 2\left( 2{{x}^{4}}-1 \right)=2\sqrt{2x-{{x}^{2}}}\,\,\Leftrightarrow 4{{x}^{4}}=2-x+2\sqrt{\left( 2-x \right)x}+x={{\left( \sqrt{2-x}+\sqrt{x} \right)}^{2}}$
$\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}=\sqrt{2-x}+\sqrt{x}$
Tới đây gạo đã nấu thành cơm, các bác chén kiểu gì tùy thích


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lê Đình Mẫn (14-01-2014), Nguyễn Duy Hồng (14-01-2014), Tuấn Anh Eagles (28-01-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Giải hệ phương trình chứa $\sqrt {2{x^2} - x + y + 4} - \sqrt {21x + y - 16} + {x^2} - x + y + 1 = 0$ phuongthaosp1 Giải hệ phương trình 0 02-06-2016 15:53
Giải hệ phương trình chứa ${\sqrt {{x^2} + 4x + 3} + y\left( {1 - \sqrt {x + 3} } \right) = {y^3} + \left( {1 - {y^2}} \right)\sqrt {x + 1} }$ dobinh1111 Giải hệ phương trình 0 18-05-2016 11:35
Giải phương trình $\sqrt{x^2+6} +\sqrt{x + 2} = \sqrt{x^2 - 2x + 4}+x^2$ Khanhduy Giải phương trình Vô tỷ 0 15-05-2016 20:10
Tuyển tập Hệ phương trình giải được bằng phương pháp đánh giá Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hệ phương trình 92 05-01-2016 11:15
Giải phương trình $$\frac{2}{x+5+2\sqrt{x+1}}+\frac{1}{2+\sqrt{x+1} +\sqrt{x^{2}+4x+3}}+\frac{1}{2+2\sqrt{x+3}+\sqrt{x ^{2}+4x+3}} =\frac{1}{2}$$ Trần Quốc Việt Giải phương trình Vô tỷ 0 03-05-2015 23:58



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014