Giả sử ba số dương x,y,z thoả mãn xyz=1 .Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3} + \frac{1}{y^{2} + 2z^{2} +3} + \frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 12-01-2014, 13:28
Avatar của Nhữ Phong
Nhữ Phong Nhữ Phong đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: ninh binh
Nghề nghiệp: hoc sinh
Sở thích: toan
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 419
Điểm: 121 / 5096
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 16741
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gửi: 363
Đã cảm ơn : 157
Được cảm ơn 346 lần trong 199 bài viết

Lượt xem bài này: 538
Mặc định Giả sử ba số dương x,y,z thoả mãn xyz=1 .Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3} + \frac{1}{y^{2} + 2z^{2} +3} + \frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3}$




Learn from yesterday, live for today, hope for tomorrow and the important thing is not to stop questioning


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 12-01-2014, 13:46
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8351
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Giả sử ba số dương x,y,z thoả mãn xyz=1 .Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3} + \frac{1}{y^{2} + 2z^{2} +3} + \frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3}$

+ Đặt $a = x^{2} $ ; $b = y^{2}$ và $c = z^{2} \Rightarrow abc = \left(xyz \right)^{2} = 1.$

+ Nên bđt trở thành : $P = \frac{1}{2a + b + 3} + \frac{1}{2b + c + 3} + \frac{1}{2c + a + 3}$

+ Ta có : $2a + b + 3 = a + b + a + 1 + 2 \geq 2\left(\sqrt{ab} + \sqrt{a} + 1\right) $

+ Tương tự có : $2b + c + 3 \geq 2\left(\sqrt{bc} + \sqrt{b} + 1\right) $

Và : $2c + a + 3 \geq 2\left(\sqrt{ac} + \sqrt{c} + 1\right)$

$\Rightarrow P \leq \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{ab} + \sqrt{b} + 1} + \frac{1}{\sqrt{bc} + \sqrt{b} + 1} + \frac{1}{\sqrt{ac} + \sqrt{c} + 1}\right) $

Mặt khác : $\frac{1}{\sqrt{ab} + \sqrt{a} + 1} = \frac{\sqrt{abc}}{\sqrt{ab} + \sqrt{a} + \sqrt{abc}} = \frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc} + \sqrt{b} + 1}$

Và : $\frac{1}{\sqrt{ac} + \sqrt{c} + 1} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{abc} + \sqrt{bc} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{bc} + \sqrt{b} + 1}$

Nên $\left(\frac{1}{\sqrt{ab} + \sqrt{b} + 1} + \frac{1}{\sqrt{bc} + \sqrt{b} + 1} + \frac{1}{\sqrt{ac} + \sqrt{c} + 1}\right) $ = $\frac{\sqrt{bc}}{\sqrt{bc} + \sqrt{b} + 1} + \frac{1}{\sqrt{bc} + \sqrt{b} + 1} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{bc} + \sqrt{b} + 1} = 1$

$\Rightarrow P \leq \frac{1}{2}$

Dấu $=$ xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Thế Duy 
Nhữ Phong (12-01-2014)
  #3  
Cũ 12-01-2014, 18:34
Avatar của harrypham
harrypham harrypham đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Viet Nam
Nghề nghiệp: Gõ đầu trẻ
 
Cấp bậc: 3 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 73
Điểm: 9 / 1034
Kinh nghiệm: 93%

Thành viên thứ: 4349
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 27
Đã cảm ơn : 28
Được cảm ơn 19 lần trong 10 bài viết

Mặc định Re: Giả sử ba số dương x,y,z thoả mãn xyz=1 .Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3} + \frac{1}{y^{2} + 2z^{2} +3} + \frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3}$

Nguyên văn bởi bangcoi45 Xem bài viết
Giả sử ba số dương x,y,z thoả mãn xyz=1 .Tìm giá trị lớn nhất của
$P=\frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3} + \frac{1}{y^{2} + 2z^{2} +3} + \frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3}$
Một lời giải đơn giản hơn.
Lời giải. Ta có $$P= \sum \frac{1}{(z^2+x^2)+(x^2+1)+2} \le \sum \frac{1}{2(zx+x+1)}= \frac 12 .$$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$. $\blacksquare$




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  harrypham 
N H Tu prince (12-01-2014)
  #4  
Cũ 05-02-2014, 22:03
Avatar của ndkmath1
ndkmath1 ndkmath1 đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Hà Nội
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 318
Điểm: 72 / 4508
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 4163
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 216
Đã cảm ơn : 168
Được cảm ơn 289 lần trong 146 bài viết

Mặc định Re: Giả sử ba số dương x,y,z thoả mãn xyz=1 .Tìm giá trị lớn nhất của $P=\frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3} + \frac{1}{y^{2} + 2z^{2} +3} + \frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3}$

Nguyên văn bởi bangcoi45 Xem bài viết
Giả sử ba số dương x,y,z thoả mãn xyz=1 .Tìm giá trị lớn nhất của
$P=\frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3} + \frac{1}{y^{2} + 2z^{2} +3} + \frac{1}{z^{2} + 2x^{2} +3}$
Thêm cách nữa

Ta có

$P\leq \frac{1}{4}\sum \left(\frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{y^{2}+2} \right)=\frac{1}{4}\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}+\frac{1}{4}\sum \frac{1}{y^{2}+2}$

Ta CM

$\sum \frac{1}{x^{2}+y^{2}+1}\leq 1$

Bằng phép đổi biến $x^{2}=a^{3},y^{2}=b^{3},z^{2}=c^{3}$

Ta quy về CM $\sum \frac{1}{a^{3}+b^{3}+1}\leq 1$ với $a,b,c$ dương và $abc=1$ (Bài tóan quen thuộc)

Để ý $\sum \frac{1}{y^{2}+2}\leq 1$ đúng theo bài http://www.k2pi.net.vn/showthread.ph...-frac-1-ca-2-2

...


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
giá trị lớn nhất xyz=1
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014