Tổng quát hoá của ma29 cho một bài toán - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TÀI LIỆU MÔN TOÁN THPT giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan SÁCH TOÁN THPT giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chuyên đề chọn lọc môn Toán

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 07-01-2014, 10:24
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 458
Điểm: 144 / 6065
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 434
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Lượt xem bài này: 2549
Mặc định Tổng quát hoá của ma29 cho một bài toán

Đầu tiên ta có các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$ ta xét biểu thức :
$$A=\sqrt[2n+1]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[2n+1]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[2n+1]{c^2+\frac{1}{c^2}}$$
(ma29)
Hướng giải quyết:
Ta có : $$\sqrt[2n+1]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}\geq \sqrt[4n+2]{(a^2+\frac{1}{a^2})(k^2+\frac{1}{k^2})}$$
Tương tự ta cũng có :
$$\sqrt[2n+1]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}\geq \sqrt[4n+2]{(b^2+\frac{1}{b^2})(k^2+\frac{1}{k^2})}$$

$$\sqrt[2n+1]{c^2+\frac{1}{c^2}}+\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}
\geq \sqrt[4n+2]{(c^2+\frac{1}{c^2})(k^2+\frac{1}{k^2})}$$

$$\Rightarrow A+ 3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}\geq 2\sqrt[4n+2]{k^2+\frac{1}{k^2}}\left[\sqrt[4n+2]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[4n+2]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[4n+2]{c^2+\frac{1}{c^2}} \right]$$
Ta đặt $$A_1=\sqrt[4n+2]{a^2+\frac{1}{a^2}}+\sqrt[4n+2]{b^2+\frac{1}{b^2}}+\sqrt[4n+2]{c^2+\frac{1}{c^2}}$$
$$\Rightarrow A+3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}} \geq 2A_1(1)$$
Tiếp theo ta sẽ sử dụng CS để có thể giảm bậc của căn thức để có thể giải quyết bài toán :
$$\sqrt[4n+2]{(b^2+\frac{1}{b^2}(\alpha^2+\beta ^2)}\geq \sqrt[2n+1]{a\alpha +\frac{\beta }{a}}$$
Điều kiện để dấu bằng xảy ra :
$$\left\{\begin{matrix}
a=b=c\\
\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}= 3\sqrt[n]{k}\\
\frac{a}{\alpha }=\frac{1}{b\beta }
\end{matrix}\right.$$
Ta chọn $\alpha=1\Rightarrow \beta =\frac{1}{k^2}$
Từ đây ta có được kết quả đầu tiên cho lần sử dụng CS:
$$\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}A_1\geq \sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{b+\frac{1}{k^2b}}+\sqrt[2n+1]{c+\frac{1}{k^2c}}$$
Ta đặt $A_2=\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{b+\frac{1}{k^2b}}+\sqrt[2n+1]{c+\frac{1}{k^2c}}$ thì ta có :
$$A_1\geq \frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}}. A_2(2)$$
Ta sử dụng AM-GM cho $2n$ số$ \sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}$ và $\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}$ ta có :
$$\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+....+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\geq (2n+1)\sqrt[2n+1]{ [\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}]^{2n}.\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}$$
Tương tự và gom lại thì ta không thu đc kết quả như mong muốn vì bậc cuả căn thức biến động :
Ta sử dụng AM-GM cho $(2n+1)^2$ số$ \sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}$ và $\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}$ ta có :
$$\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+....+\sqrt[2n+1]{a+\frac{1}{k^2a}}+\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^2+1]{\sqrt[2n+1]{\left ( a+\frac{k^2a}{k} \right )^{(2n+1)^2}}\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}$$
$$\Rightarrow [(2n+1)^2+1]A_2+3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\geq \left[ [(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\right]\left(a+b+c+\frac{1}{k^2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c}) \right)$$
Đặt $$A_3=a+b+c+\frac{1}{k^2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+ \frac{1}{c})$$
$$\Rightarrow [(2n+1)^2+1]A_2+3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\geq \left[ [(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}\right]A_3$$
Ta thay lần lượt từ dưới lên ta có :
$$A\geq 2A_1-3\left ( \sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}} \right )$$
$$A_1\geq \frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}}A_2$$
và :
$$A_2\geq \frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}A_3-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1}$$
Ta suy ra:
$$A\geq 2\left [\left (\frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}} \right )
\left (\frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}A_3-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1} \right ) \right ]-3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}$$
Ta sẽ tìm đánh giá $A_3\geq$ hằng số là bài toán đc giải quyết :
Tiếp tục sử dụng AM-GM ta có :
$$\underbrace{\frac{1}{\alpha}a+\frac{1}{\alpha}a+ ....+\frac{1}{\alpha}a}_{\alpha lan}+\underbrace{\frac{1}{\beta k^2b}+\frac{1}{\beta k^2b}+....+\frac{1}{\beta k^2b}}_{\beta lan}\geq (\alpha +\beta )\sqrt[\alpha +\beta ]{\left (\frac{a}{\alpha } \right )^\alpha .\left ( \frac{1}{\beta k^2a} \right )^\beta }$$
Vế phải của bất đẳng thức này có số mũ của $a$ là $\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }$ ta cần có :$ \frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }=\frac{1}{n}\Rightarrow \alpha =\frac{1+n}{n-1}, \beta =1$
Vậy ta có :
$$a+\frac{1}{k^2a}\geq \left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[\frac{2n}{n-1}]{\left ( \frac{n-1}{n+1}a \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2a}}=\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n]{a}\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}}$$
$$\Rightarrow \sum a+\frac{1}{k^2a}\geq \left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )\left (\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c} \right )\geq \left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )3\sqrt[n]{k}$$
$$A\geq 2\left [\left (\frac{1}{\sqrt[4n+2]{1+\frac{1}{k^4}}} \right )
\left (\frac{[(2n+1)^2+1]\sqrt[(2n+1)^3+(2n+1)]{k+\frac{1}{k^3}}\left (\left ( \frac{2n}{n-1} \right )\sqrt[n+1]{\left (\frac{n-1}{n+1} \right )^{\frac{n+1}{n-1}}.\frac{1}{k^2}} \right )3\sqrt[n]{k}-3\sqrt[2n+1]{k+\frac{1}{k^3}}}{(2n+1)^2+1} \right ) \right ]-3\sqrt[2n+1]{k^2+\frac{1}{k^2}}$$
Đây chính là GTNN của A chưa rút gọn đẳng thức xảy ra $\Longleftrightarrow a=b=c=k\square$
Tuy nhiên ta cũng có thể mở rộng bài toán lên nữa theo nhiều chiều hướng khác nhau .......


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 8 người đã cảm ơn cho bài viết này
BichLe96 (12-06-2014), haituatcm (27-06-2016), Kị sĩ ánh sáng (14-06-2014), nghiadaiho (08-07-2014), Nguyễn Duy Hồng (07-01-2014), protostar (11-05-2015), reyes789 (08-07-2014), vannhonbclt (24-01-2014)
  #2  
Cũ 12-06-2014, 13:53
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 458
Điểm: 144 / 6065
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 434
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Mặc định Re: Tổng quát hoá của ma29 cho một bài toán

Bài 2: Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$. Tìm GTNN của :
$$P_1=\sqrt[2n+1]{ma^2+\frac{1}{na^2}}+\sqrt[2n+1]{mb^2+\frac{1}{nb^2}}+\sqrt[2n+1]{mc^2+\frac{1}{nc^2}}$$
(Sáng tác ma29)
Bài 3: Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$. Tìm GTNN của :
$$P_2=\sqrt[2n+1]{ma^2+\frac{1}{na^2}}+\sqrt[2n+1]{mb^2+\frac{1}{nb^2}}+\sqrt[2n+1]{mc^2+\frac{1}{nc^2}}+\left (\frac{m+n}{2} \right )\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$
(Sáng tác ma29)
Bài 4:Cho các số $a,b,c$ dương thoả mãn $\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}\geq 3\sqrt[n]{k}$. Tìm GTNN của :
$$P_3=\sum \left (\sqrt[2n+1]{ma^2+\frac{1}{na^2}} \right )^{t}+\left (\sqrt[2n+1]{mb^2+\frac{1}{nb^2}} \right )^{t}+\left (\sqrt[2n+1]{mc^2+\frac{1}{nc^2}} \right )^{t}$$
trong đó $t=1+\frac{(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}$
(Sáng tác ma29)


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
BichLe96 (12-06-2014), haituatcm (27-06-2016)
  #3  
Cũ 12-06-2014, 19:48
Avatar của Neverland
Neverland Neverland đang ẩn
RunAway-Dsfaster =D
Đến từ: Nghệ An
Nghề nghiệp: Living in my life
Sở thích: My Life
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 443
Điểm: 135 / 5030
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 19217
 
Tham gia ngày: Jan 2014
Bài gửi: 405
Đã cảm ơn : 180
Được cảm ơn 207 lần trong 132 bài viết

Mặc định Re: Tổng quát hoá của ma29 cho một bài toán

Một công trình khủng bố


Đã đến lúc phải từ bỏ lối chờ đợi những quà tặng bất ngờ của cuộc sống mà phải tự mình làm ra cuộc sống
-Lev Tolstoi-

Các bạn đang xem video trên www.K2pi.Net.Vn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 07-07-2014, 21:58
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 458
Điểm: 144 / 6065
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 434
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Mặc định Re: Tổng quát hoá của ma29 cho một bài toán

Nguyên văn bởi Runaway Xem bài viết
Một công trình khủng bố
lại ghẹo tớ rồi cậu chế đại chả biết đúng sai


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Về vấn đề: Hỏi - Đáp NHANH CÁC BÀI TOÁN Phạm Kim Chung Hỏi và Giải đáp nhanh các bài Toán 9 11-12-2017 22:31
Mở rộng từ bài toán của chuyên Hà Tĩnh. Trường An Bất đẳng thức - Cực trị 2 20-09-2017 19:09
(Oxy chọn lọc) TUYỂN TẬP 50 BÀI TOÁN OXY HAY VÀ KHÓ Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hình giải tích Oxy 1 28-05-2016 18:38



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014