Đề thi HSG VMO 2014 - Trang 2 - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

 
Cũ 03-01-2014, 12:34
Avatar của phatthientai
phatthientai phatthientai đang ẩn
Thành viên Chính thức
Nghề nghiệp: Học sinh
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 658
Điểm: 315 / 9049
Kinh nghiệm: 35%

Thành viên thứ: 8227
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 946
Đã cảm ơn : 108
Được cảm ơn 265 lần trong 190 bài viết

Mặc định Đề thi HSG VMO 2014

Đề thi HSG VMO 2014
Click the image to open in full size.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hồng Sơn-cht (03-01-2014), Miền cát trắng (03-01-2014)
  #5  
Cũ 04-01-2014, 13:37
Avatar của xuannambka
xuannambka xuannambka đang ẩn
Quản lý diễn đàn
Đến từ: Thanh Chương 1_Nghệ A
Nghề nghiệp: Chăn trâu
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7055
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 989
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 103
Được cảm ơn 649 lần trong 243 bài viết

Mặc định Re: Đề thi HSG VMO 2014

Bạn có thể tải file đính kèm mà không cần phải ĐĂNG KÝ THÀNH VIÊN

Kiểu file: pdf De Thi VMO 2014 - Ngay 2.pdf‎ (314,4 KB, 34 lượt tải )


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  xuannambka 
Huy Vinh (04-01-2014)
  #6  
Cũ 04-01-2014, 14:00
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8356
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Đề thi HSG VMO 2014

Bài 6

Theo AM - GM ta có :

$\left(xy + z^{2} \right)^{3} \geq 8xyz^{3}\sqrt{xy}$

$\Rightarrow \frac{x^{3}y^{4}z^{3}}{\left(x^{4} + y^{4}\right)\left(xy + z^{2} \right)^{3}} \leq \frac{xy^{2}\sqrt{xy}}{8\left(x^{4} + y^{4}\right)} $ (1)

Lại theo bất đẳng thức Chebyshew và AM - GM ta có :

$x^{4} + y^{4} \geq \frac{\left(x + y \right)\left(x^{3} + y^{3}\right)}{2} \geq \sqrt{xy}\left(x^{3} + y^{3}\right) $ (2)

Từ 1 và 2 ta có : $\frac{x^{3}y^{4}z^{3}}{\left(x^{4} + y^{4}\right)\left(xy + z \right)^{2}} \leq \frac{xy^{2}}{8\left(x^{3} + y^{3}\right)} $ (3)

Tiếp tục theo AM - GM ta có : $x^{3} + y^{3} \geq \sqrt[4]{8x^{4}y^{4}\left(x^{4} + y^{4}\right)}$

Kết hợp với (3) $\Rightarrow \frac{x^{3}y^{4}z^{3}}{\left(x^{4} + y^{4}\right)\left(xy + z^{2} \right)^{3}} \leq \frac{xy^{2}}{8\sqrt[4]{8x^{4}y^{4}\left(x^{4} + y^{4}\right)}} = \frac{1}{8}\sqrt[4]{\frac{y^{4}}{8\left(x^{4} + y^{4} \right)}} $ (4)

Tương tự cho 2 đánh giá còn lại và đặt $a = x^{4} ; b = y^{4} ; c = z^{4} $ nên ta có :

$P \leq \frac{1}{8\sqrt[4]{8}}\left(\sqrt[4]{\frac{a}{a + c}} + \sqrt[4]{\frac{c}{b + c}} + \sqrt[4]{\frac{b}{a + b}}\right) $ (5)

Sử dụng bđt Cauchy - Schawrz ta có :

$\left(\sum \sqrt[4]{\frac{b}{a + b}} \right)^{4} \leq 9\left(\sum \sqrt{\frac{b}{a + b}} \right)^{2} \leq 9\left[\sum \left(b + c \right) \right].\left[\sum \frac{b}{\left(a + b \right)\left(b + c \right)} \right] $

$= \frac{36\left(a + b + c \right)\left(ab + bc + ac \right)}{\left(a + b \right)\left(a + c \right)\left(b + c \right)} \leq \frac{81}{2} $

Vì : $9\left(\sum a \right)\left(\sum ab \right) \leq 8\prod \left(a + b \right)$

Do đó : $\sqrt[4]{\frac{b}{a + b}} + \sqrt[4]{\frac{c}{b + c}} + \sqrt[4]{\frac{a}{a + c}} \leq \frac{3}{\sqrt[4]{2}} $ (6)

Từ 5 và 6 $\Rightarrow P \leq \frac{3}{16}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z.$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
hbtoanag (05-01-2014), Huy Vinh (04-01-2014), N H Tu prince (05-01-2014), Ngọc Anh (04-01-2014)
  #7  
Cũ 04-01-2014, 14:16
Avatar của Nôbita
Nôbita Nôbita đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Hồ Chí Minh
Nghề nghiệp: Tập sự
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 12 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 281
Điểm: 58 / 4156
Kinh nghiệm: 24%

Thành viên thứ: 1430
 
Tham gia ngày: Nov 2012
Bài gửi: 174
Đã cảm ơn : 40
Được cảm ơn 191 lần trong 100 bài viết

Mặc định Re: Đề thi HSG VMO 2014

Nguyên văn bởi Hiền Duy Xem bài viết
Bài 6

Theo AM - GM ta có :

$\left(xy + z^{2} \right)^{3} \geq 8xyz^{3}\sqrt{xy}$

$\Rightarrow \frac{x^{3}y^{4}z^{3}}{\left(x^{4} + y^{4}\right)\left(xy + z^{2} \right)^{3}} \leq \frac{xy^{2}\sqrt{xy}}{8\left(x^{4} + y^{4}\right)} $ (1)

Lại theo bất đẳng thức Chebyshew và AM - GM ta có :

$x^{4} + y^{4} \geq \frac{\left(x + y \right)\left(x^{3} + y^{3}\right)}{2} \geq \sqrt{xy}\left(x^{3} + y^{3}\right) $ (2)

Từ 1 và 2 ta có : $\frac{x^{3}y^{4}z^{3}}{\left(x^{4} + y^{4}\right)\left(xy + z \right)^{2}} \leq \frac{xy^{2}}{8\left(x^{3} + y^{3}\right)} $ (3)

Tiếp tục theo AM - GM ta có : $x^{3} + y^{3} \geq \sqrt[4]{8x^{4}y^{4}\left(x^{4} + y^{4}\right)}$

Kết hợp với (3) $\Rightarrow \frac{x^{3}y^{4}z^{3}}{\left(x^{4} + y^{4}\right)\left(xy + z^{2} \right)^{3}} \leq \frac{xy^{2}}{8\sqrt[4]{8x^{4}y^{4}\left(x^{4} + y^{4}\right)}} = \frac{1}{8}\sqrt[4]{\frac{y^{4}}{8\left(x^{4} + y^{4} \right)}} $ (4)

Tương tự cho 2 đánh giá còn lại và đặt $a = x^{4} ; b = y^{4} ; c = z^{4} $ nên ta có :

$P \leq \frac{1}{8\sqrt[4]{8}}\left(\sqrt[4]{\frac{a}{a + c}} + \sqrt[4]{\frac{c}{b + c}} + \sqrt[4]{\frac{b}{a + b}}\right) $ (5)

Sử dụng bđt Cauchy - Schawrz ta có :

$\left(\sum \sqrt[4]{\frac{b}{a + b}} \right)^{4} \leq 9\left(\sum \sqrt{\frac{b}{a + b}} \right)^{2} \leq 9\left[\sum \left(b + c \right) \right].\left[\sum \frac{b}{\left(a + b \right)\left(b + c \right)} \right] $

$= \frac{36\left(a + b + c \right)\left(ab + bc + ac \right)}{\left(a + b \right)\left(a + c \right)\left(b + c \right)} \leq \frac{81}{2} $

Vì : $9\left(\sum a \right)\left(\sum ab \right) \leq 8\prod \left(a + b \right)$

Do đó : $\sqrt[4]{\frac{b}{a + b}} + \sqrt[4]{\frac{c}{b + c}} + \sqrt[4]{\frac{a}{a + c}} \leq \frac{3}{\sqrt[4]{2}} $ (6)

Từ 5 và 6 $\Rightarrow P \leq \frac{3}{16}$

Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z.$
Lời giải này hơi giống với lời giải của anh Cẩn. http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=46339


"Hãy lấp lánh ngày hôm nay và ngày mai bạn sẽ tỏa sáng."


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nôbita 
NXANH (04-01-2014)
  #8  
Cũ 04-01-2014, 14:40
Avatar của hoangmac
hoangmac hoangmac đang ẩn
Lặng
Đến từ: Bắc Ninh
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 254
Điểm: 49 / 3186
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 16181
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Bài gửi: 147
Đã cảm ơn : 149
Được cảm ơn 239 lần trong 89 bài viết

Mặc định Re: Đề thi HSG VMO 2014

Theo AM - GM ta có :

$\left(xy + z^{2} \right)^{3} \geq 8xyz^{3}\sqrt{xy}$

$\Rightarrow \frac{x^{3}y^{4}z^{3}}{\left(x^{4} + y^{4}\right)\left(xy + z^{2} \right)^{3}} \leq \frac{xy^{2}\sqrt{xy}}{8\left(x^{4} + y^{4}\right)} $

Lại theo bất đẳng thức Chebyshew và AM - GM ta có :

$x^{4} + y^{4} \geq \frac{\left(x + y \right)\left(x^{3} + y^{3}\right)}{2} \geq \sqrt{xy}\left(x^{3} + y^{3}\right) $

Suy ra: $\frac{x^{3}y^{4}z^{3}}{\left(x^{4} + y^{4}\right)\left(xy + z \right)^{2}} \leq \frac{xy^{2}}{8\left(x^{3} + y^{3}\right)} $
Đặt $(a, b, c)\rightarrow \left(\dfrac{x}{y}, \dfrac{y}{z}, \dfrac{z}{x}\right)$ thì $abc=1$. Ta cần chứng minh
$$\sum \dfrac{a}{a^3+1}\leq \dfrac{3}{2}$$
Ta có:
$$\dfrac{a}{a^3+1}\leq \dfrac{3(a+1)}{4(a^2+a+1)}$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{(a-1)^2(3a^2+5a+3)}{4(a^3+1)(a^2+a+1)}\geq 0 (Đúng)$$
Vậy chỉ cần chứng minh
$$\sum \dfrac{a+1}{a^2+a+1}\leq 2$$
Đây là 1 kết quả quen thuộc!
Ăn theo lời giải của Hiền Duy


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
Đề thi vmo 2014, ĐỀ thi vmo 2014, đề thi vmo 2014, đề vmo 2014, bình luận vmo 2014, cuoc thi vmo 12, de thi hmo 2014, de thi vmo 2013 - 2014, de thi vmo 2014, http://www.k2pi.net/showthread.php?t=13461, k2pi.net, looi giai vmo2014, nội dung thi vmo, vmo 2014 pdf, vmo2014 pdf
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014