Chứng minh bất đẳng thức $\sum {\sqrt {\frac{{{a^2} + 4bc}}{{{b^2} + {c^2}}}} } \ge 2 + \sqrt 2 $ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 02-01-2014, 13:20
Avatar của ANLHP
ANLHP ANLHP đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 1 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 8
Điểm: 1 / 100
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 17532
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 5
Đã cảm ơn : 8
Được cảm ơn 0 lần trong 0 bài viết

Lượt xem bài này: 737
Smile Chứng minh bất đẳng thức $\sum {\sqrt {\frac{{{a^2} + 4bc}}{{{b^2} + {c^2}}}} } \ge 2 + \sqrt 2 $



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 02-01-2014, 14:29
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 458
Điểm: 144 / 6053
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 434
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh bất đẳng thức

Nguyên văn bởi ANLHP Xem bài viết
cho a, b,c không âm. Chứng minh rằng

Đầu tiên ta sẽ chuẩn hoá $a^2+b^2+c^2=2$ và viết lại bđt dưới dạng :
$$\sum \sqrt{\frac{a^3+4abc}{a(b^2+c^2)}}\geq 2+\sqrt{2}$$
Ta có : $$a(b^2+c^2)\leq \frac{1}{a}(\frac{a^2+b^2+c^2}{2})^2 \Rightarrow \frac{1}{a(b^2+c^2)}\geq \frac{4a}{(a^2+b^2+c^2)^2}$$
Suy ra :
$$LHS\geq \frac{1}{(a^2+b^2+c^2)}\left(2a\sqrt{a^2+4bc} +2b\sqrt{b^2+4ca}\right)+\sqrt{\frac{c^2+4ab}{a^2+ b^2}}\geq 2+\sqrt{2}$$
Vậy nên cần chứng minh :
$$\frac{1}{(a^2+b^2+c^2)}\left(2a\sqrt{a^2+4bc} +2b\sqrt{b^2+4ca}\right)+\sqrt{\frac{c^2+4ab}{a^2+ b^2}}\geq 2+\sqrt{2}$$
$$\Leftrightarrow a\sqrt{a^2+4bc}+b\sqrt{b^2+4ca}+\sqrt{\frac{c^2+4a b}{a^2+b^2}}\geq 2+\sqrt{2}(*)$$
Ta thấy rằng :
$$LHS_{(*)}\geq a\sqrt{a^2+3bc}+b\sqrt{b^2+3ca}+\sqrt{\frac{c^2+4a b}{a^2+b^2}}$$
Mà ta lại có bất đẳng thức quen thuộc sau :
$$\sum a\sqrt{a^2+3bc}\geq 2(ab+bc+ca)$$
Chứng minh :
$$\sum _{cyc}a\sqrt{a^2+3bc}=\sum_{cyc}\frac{a(b+c)(a^2+3 bc)}{(b+c)\sqrt{a^2+3bc}}\geq \sum_{cyc}\frac{2a(b+c)(a^2+3bc)}{a^2+3bc+(b+c)^2} $$
Do vậy ta cần chứng minh :
$$\sum_{cyc}\frac{2a(b+c)(a^2+3bc)}{a^2+3bc+(b+c)^ 2}\geq 2\sum_{cyc}ab$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{2a(b+c)(a^2+3bc)}{a^2+3bc+(b+c)^2} \geq 2\sum_{cyc}a(b+c)$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a(b+c)(a^2-b^2-c^2+bc)}{2+5bc}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{a^3(b+c)-a(b^3+c^3)}{2+5bc} \geq 0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{ab(a^2-b^2)}{2+5bc}-\sum_{cyc}\frac{ca(c^2-a^2)}{2+5bc}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow \sum_{cyc}\frac{ab(a^2-b^2)}{2+5bc}-\sum_{cyc}\frac{ab(a^2-b^2)}{2+5ca}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow 5abc \sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(a+b)}{(2+5bc)(2+5ca)}\geq 0$$
Suy ra ta có :
$$LHS_{(*)}\geq (ab+bc+ca)-c\sqrt{c^2+3ab}+\sqrt{\frac{c^2+4ab}{a^2+b^2}}\geq (ab+bc+ca)-c\sqrt{c^2+4ab}+\sqrt{\frac{c^2+4ab}{a^2+b^2}}$$
Ta sẽ chứng minh :
$$2(ab+bc+ca)-c\sqrt{c^2+4ab}+\sqrt{\frac{c^2+4ab}{a^2+b^2}}\geq 2+\sqrt{2}$$
Tương đương :
$$(a+b+c)^2-c\sqrt{c^2+4bc}+\sqrt{\frac{c^2+4ab}{a^2+b^2}}\geq 4+\sqrt{2}$$
Ta giả sử $a\geq b\geq c \Rightarrow c\leq \frac{1}{3}$ nhưng hiện tại mình vẫn chưa kiểm chứng được bất đẳng thức này đúng hay sai hay có cách giải quyết nào


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  ma29 
ANLHP (02-01-2014)
  #3  
Cũ 02-01-2014, 14:31
Avatar của vung kute
vung kute vung kute đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: hà nội
Nghề nghiệp: sinh viên khoa toá
Sở thích: toán học
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 148
Điểm: 21 / 1823
Kinh nghiệm: 95%

Thành viên thứ: 16544
 
Tham gia ngày: Oct 2013
Bài gửi: 65
Đã cảm ơn : 13
Được cảm ơn 22 lần trong 12 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh bất đẳng thức

Em xem lại giùm anh cái.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 02-01-2014, 18:09
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 656
Điểm: 312 / 9844
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.234 lần trong 558 bài viết

Mặc định Re: Chứng minh bất đẳng thức

Nguyên văn bởi ANLHP Xem bài viết
cho a, b,c không âm. Chứng minh rằng

Click the image to open in full size.

Click the image to open in full size.



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Miền cát trắng 
ANLHP (03-01-2014)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Chứng minh Các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên máy tính Inspectorgadget [Tài liệu] Bất đẳng thức 0 27-04-2016 12:45
SPHN lần 3;Với các số thục dương $x,y$. Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}<\frac{1}{11}$ catbuilata Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 13:13



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
cho a=(4bc-a^2)/(bc 2a^2)
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014