Chuyên đề: [B][U]Bất đẳng thức - Cực trị[/U][/B] - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 18-12-2013, 23:23
Avatar của Viet Hoang
Viet Hoang Viet Hoang đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Thái Bình
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 133
Điểm: 18 / 1560
Kinh nghiệm: 34%

Thành viên thứ: 17936
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 56
Đã cảm ơn : 51
Được cảm ơn 29 lần trong 14 bài viết

Lượt xem bài này: 659
Mặc định Chuyên đề: [B][U]Bất đẳng thức - Cực trị[/U][/B]

Chuyên đề: Bất đẳng thức - Cực trị

1) Một số tính chất:
1.1) Tính chất bắc cầu: $a<b;b<c$ $\Rightarrow a<c$

1.2) Cộng 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số: $a<b$ $\Rightarrow a+c< b+c$

1.3) Nhân 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac< bc$
Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bc$

1.4) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a+c< b+d$

1.5) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a-c< b-d$

1.6) Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều có hai vế không âm:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a> b\geq 0 & & \\ c> d\geq 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bd$

1.7) Nâng lên luỹ thừa:

Nếu $a> b> 0\Rightarrow a^{n}> b^{n}(n\in \mathbb{N}*)$
$a> b \Rightarrow a^{n}> b^{n}$ ($n$ lẻ)

1.8) So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số:

Nếu $\left\{\begin{matrix}m,n\in \mathbb{N}* & & \\ m>n & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow \left\{\begin{matrix}a> 1 \Rightarrow a^{m}> a^{n} & & \\ a=1 \Rightarrow a^{m}=a^{n} & & \\ a<1 \Rightarrow a^{m}< a^{n} \end{matrix}\right.$

1.9) Lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức cùng dấu:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a> b & & \\ ab> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

1.10) Cộng vào cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số:

Nếu $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{a}{b}>1 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{a}{b}>\frac{a+c}{b+c}$

2) Các bất đẳng thức thường gặp:

2.1) $a^{2}\geq 0\forall a$. Dấu bằng có khi: $a=0$.

2.2) $|a|\geq 0\forall a$. Dấu bằng có khi: $a=0$.

2.3) $|a|\geq a\forall a$. Dấu bằng có khi: $a\geq 0$.

2.4) $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu bằng có khi: $ab\geq 0$.

2.5) $|a|-|b|\leq |a-b|$. Dấu bằng có khi: $\left\{\begin{matrix}ab\geq 0 & & \\ |a|\geq |b| & & \end{matrix}\right.$.

2.6) $a^{2}+b^{2}\geq 2ab$. Dấu bằng có khi: $a=b$

2.7) $(a+b)^{2}\geq 4ab\Leftrightarrow ab\leq (\frac{(a+b)}{2})^{2}$. Dấu bằng có khi: $a=-b$.

2.8) $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}(a;b> 0)$. Dấu bằng có khi: $a=b$.

2.9) $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2(ab> 0)$. Dấu bằng có khi: $a=b$.

2.10) Các bất đẳng thức cổ điển:

a) Bất đẳng thức Cô-si (AM-GM):

Với $n$ số thực dương: $a_{1};a_{2};...;a_{n}$

Dạng 1: $\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n}\geq \sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

Dạng 2: $a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n\sqrt[n]{a_{1}a_{2}...a_{n}}$

Dạng 3: $(\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n})^{n}\geq a_{1}a_{2}...a_{n}$

Dấu bằng có khi: $a_{1}=a_{2}=...=a_{n}$

b) Bất đẳng thức BCS (Bunhiakovsky):
Với 2 bộ số thực bất kì: ($a_{1};a_{2};...;a_{n}$);($b_{1};b_{2};...;b_{n}$ ):
Dạng 1: $(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2 }^{2}+...+b_{n}^{2})$

Dạng 2: $|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}|\leq \sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2} +b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}}$

Dấu bằng có khi: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac {a_{n}}{b_{n}}$

Dạng 3: $a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{n}b_{n}\leq \sqrt{(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2})(b_{1}^{2 }+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2})}$

Dấu bằng có khi: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac {a_{n}}{b_{n}}>0$

c) Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu: (Cauchy-Swarchz)

Với $\forall x_{i}>0;i=\overline{1,n}$ ta có:

$\frac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+. ..+\frac{a_{n}^{2}}{x_{n}}\geq \frac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}}{x_{1}+x_{2}+... +x_{n}}$
Dấu bằng có khi: $\frac{a_{1}}{x_{1}}=\frac{a_{2}}{x_{2}}=...=\frac {a_{n}}{x_{n}}>0$
Chứng minh: Xét $(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}=(\frac{a_{1}}{\sqrt{x _{1}}}.\sqrt{x_{1}}+\frac{a_{2}}{\sqrt{x_{2}}}.\sq rt{x_{2}}+...+\frac{a_{n}}{\sqrt{x_{n}}}.\sqrt{x_{ n}})^{2}\leq (\frac{a_{1}^{2}}{x_{1}}+\frac{a_{2}^{2}}{x_{2}}+. ..+\frac{a_{n}^{2}}{x_{n}})(x_{1}+x_{2}+...+x_{n}) $ (Áp dụng BCS)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh.

d) Bất đẳng thức Minkopsky:

Cho 2 dãy số thực dương: $(a_{1};a_{2};...;a_{n});(b_{1};b_{2};...;b_{n})$ ta có:

$\sqrt{a_{1}^{2}+b_{1}^{2}}+\sqrt{a_{2}^{2}+b_{2}^ {2}}+...+\sqrt{a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}\geq \sqrt{(a_{1}+a_{2}+...+a_{n})^{2}+(b_{1}+b_{2}+... +b_{n})^{2}}$

Dấu bằng xảy ra khI: $\frac{a_{1}}{b_{1}}=\frac{a_{2}}{b_{2}}=...=\frac {a_{n}}{b_{n}}$.

3) các phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp:

Phương pháp biến đổi tương đương.
Phương pháp sử dựng các bất đẳng thức cổ điển và sử dụng các bất đẳng thức phụ đã biết.
Phương pháp làm trội, làm giảm.
Phương pháp dồn biến, đổi biến.
Phương pháp tách bình phương.
Phương pháp hình học.
Phương pháp phản chứng.
Phương pháp quy nạp.

Bài tập: Phương pháp biến đổi tương đương:

1) Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a)$4x^{2}+4y^{2}+6x+3\geq 4xy \forall x;y$

b)$a^{4}+b^{4}\geq a^{3}b+ab^{3} \forall a;b$

c)$x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+14> 2x+12y+6z$

d)$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca\forall a;b;c$

e)$(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

g)$1+a\geq \sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{a^{2}}\forall a> 0$

h)$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}\forall a;b> 0$

2) Chứng minh bất đẳng thức:

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

3) Chứng minh rằng: $\forall a;b> 0$ ta có:

$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

4) Cho $a;b\in (-1;1)$, chứng minh:

$|a+b|< |1+ab|$

5) Cho $a;b;c$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix}abc=1 & & \\ a> \sqrt[3]{36} & & \end{matrix}\right.$

Chứng minh: $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}> ab+bc+ca$

6) Cho $a+b\geq 2$. Cmr: $a^{3}+b^{3}\leq a^{4}+b^{4}$

7) Cho $a> 1$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{a}}< \sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}$

8) Cm: $a^{2}(1+b^{2})+b^{2}(1+c^{2})+c^{2}(1+a^{2})\geq 6abc \forall a;b;c$

9) Cho $\left\{\begin{matrix}a;b;c> 0 & & \\ \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sq rt{c}}=1 & & \end{matrix}\right.$ Cmr: $3(ab+bc+ca)\geq abc$

10) Cmr: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}\geq a(b+c+d+e) \forall a;b;c;d;e$

11) Cho $ab\geq 1$. Cm: $\frac{1}{1+a^{2}}+\frac{1}{1+b^{2}}\geq \frac{2}{1+ab}$

12) Cho $x;y> 0$. Cm: $\frac{1}{(1+x)^{2}}+\frac{1}{(1+y)^{2}}\geq \frac{1}{1+xy}$

13) Cho $x;y\in \left [ 0;1 \right ]$. Cm: $\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}} \leq \frac{2}{\sqrt{1+xy}}$

14) Cho $a;b;c> 0$. Cm: $\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a +b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

Các bài làm rồi sẽ được mình tô màu đỏ.

Làm luôn vậy
Lời giải:


1)a)$(x-2y)^{2}+3(x+1)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: $x=-1;y=\frac{-1}{2}$.

b)$a^{3}(a-b)-b^{3}(a-b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a^{2}-ab+b^{2})\geq 0$ (luôn đúng)

c)$(x-1)^{2}+(2y-3)^{2}+3(z-1)^{2}+1>0$ (luôn đúng)
d)$\frac{1}{2}[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]\geq 0$ (luôn đúng)

e) Áp dụng câu d)
$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq 2(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})\geq (a+b+c)^{2}$ (cộng 2 vế với $a^{2}+b^{2}+c^{2}> 0$)

g) Đặt $\sqrt[3]{a}=x>0$

$PT\Leftrightarrow 1+x^{3}\geq x+x^{2}$

$\Leftrightarrow (x-1)^{2}(x+1)\geq 0$ (luôn đúng do $x>0$)

h) $\Leftrightarrow \frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}$

$\Leftrightarrow a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)(\sqrt{a}-\sqrt{b})\geq 0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}(\sqrt{a}+\sqrt{b})\geq 0$ (luôn đúng do $a;b>0$)

2) $\sqrt{a^{2}+b^{2}}+\sqrt{c^{2}+d^{2}}\geq \sqrt{(a+c)^{2}+(b+d)^{2}}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2\sqrt{(a^{2}+b^{2})(c^{2} +d^{2})}\geq (a+c)^{2}+(b+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2ac+2b d$

$\Rightarrow 2\sqrt{a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2} }\geq 2(ac+bd)$ (*)

Nếu $ac+bd<0$ thì (*) luôn đúng.
Nếu $ac+bd\geq 0$ thì:

(*) $\Leftrightarrow a^{2}c^{2}+a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}\geq a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}+2abcd$

$\Leftrightarrow a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-2abcd\geq 0$

$\Leftrightarrow (ad-bc)^{2}\geq 0$ (Luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi: $ad=bc$

3)$\frac{a+b}{2}.\frac{a^{2}+b^{2}}{2}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{a^{3}+b^{3}+a^{2}b+ab^{2}}{4}\leq \frac{a^{3}+b^{3}}{2}$

$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+a^{2}b+ab^{2}\leq 2a^{3}+2b^{3}$

$\Leftrightarrow a^{2}(a-b)-b^{2}(a-b)\geq 0$

$\Leftrightarrow (a-b)^{2}(a+b)\geq 0$ (Luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi: $a=b$

4)

$|a+b|< |1+ab|$

$\Leftrightarrow |a+b|^{2}< |1+ab|^{2}$

$\Leftrightarrow a^{2}+b^{2}-a^{2}b^{2}-1<0$

$\Leftrightarrow (a^{2}-1)(1-b^{2})<0$ (Luôn đúng do $a;b\in (-1;1)$)

5)$a>\sqrt[3]{36}\Leftrightarrow a^{3}-36>0\Leftrightarrow \frac{a^{3}-12.3abc}{12a}>0$ (Do $12a>0$)

$\Leftrightarrow \frac{a^{2}}{12}-3bc>0$

Có: $\frac{a^{2}}{3}+b^{2}+c^{2}>ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow (\frac{a}{2}-b-c)^{2}+(\frac{a^{2}}{12}-3bc)>0$ (Luôn đúng)
6)Xét hiệu: $(a^{4}+b^{4}).2-(a^{3}+b^{3})(a+b)$
Biến đổi tương đương
=> $(a-b)^{2}(a^{2}+ab+b^{2})\geq 0\forall a;b$

$\Leftrightarrow 2(a^{4}+b^{4})\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

Mà $GT\Rightarrow (a+b)(a^{4}+b^{4})\geq 2(a^{4}+b^{4})$

$\Rightarrow (a^{4}+b^{4})(a+b)\geq (a^{3}+b^{3})(a+b)$

=>đpcm.

7)$PT\Leftrightarrow 1<\sqrt{a^{2}+a}-\sqrt{a^{2}-a}$

$\Leftrightarrow a+\sqrt{a^{2}-a}<\sqrt{a^{2}+a}$

$\Leftrightarrow a^{2}-a+1+2\sqrt{a^{2}-a}<a^{2}+a$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{a^{2}-a}<2a-1\Leftrightarrow 4a^{2}-4a<4a^{2}-4a+1\Leftrightarrow 0<1$ (luôn đúng)
8)
$PT\Leftrightarrow (a-bc)^{2}+(b-ca)^{2}+(c-ab)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

9)$\sum \frac{1}{\sqrt{a}}=1\Leftrightarrow \sum \sqrt{ab}=\sqrt{abc}\Leftrightarrow \sum ab+\sum 2\sqrt{ab^{2}c}=abc\Leftrightarrow abc=\sum ab+2\sum \sqrt{ab.bc}\leq \sum ab+\sum (ab+bc)=3\sum ab$

10) Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với 4 thu gọn được:
$(a-2b)^{2}+(a-2d)^{2}+(a-2c)^{2}+(a-2e)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)
11)Chuyển vế biến đổi tương đương.
12)$PT\Leftrightarrow (1+xy)[(1+x)^{2}+(1+y)^{2}]\geq [(1+x)(1+y)]^{2}$
$\Leftrightarrow (1+xy)[2(1+x+y)+x^{2}+y^{2}]\geq [(1+x+y)+xy]^{2}\Leftrightarrow 2(1+x+y)+x^{2}+y^{2}+2xy(1+x+y)+xy(x^{2}+y^{2})\ge q (1+x+y)^{2}+2xy(1+x+y)+x^{2}y^{2}$

$\Leftrightarrow 1+xy(x^{2}+y^{2})-2xy-x^{2}y^{2}\geq 0$

$\Leftrightarrow (xy-1)^{2}+xy(x-y)^{2}\geq 0$ (luôn đúng)

13) Áp dụng BCS:

$(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}} })^{2}\leq 2(\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}})$

Áp dụng câu 11:

$\frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}}\leq \frac{2}{1+xy}$

$\Rightarrow VT^{2}\leq 2.\frac{2}{1+xy}=\frac{4}{1+xy}$

=> đpcm

Bài tập: Phương pháp dùng bất đẳng thức cổ điển:

$I)$ Bất đẳng thức Cô-si:

1) Bất đẳng thức Cô-si đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân:


1) Cho $a\geq 3$. Tìm Min $S=a+\frac{1}{a}$
Sai lầm thường gặp: $S=a+\frac{1}{a}\geq 2\sqrt{a.\frac{1}{a}}=2$
Dấu "=" xảy ra khi: $a=\frac{1}{a}\Rightarrow a=1$ (trái với giả thiết)
Cách làm đúng:
Ta chọn điểm rơi: Ta phải tách hạng tử $a$ hoặc $\frac{1}{a}$ để sao cho khi áp dụng BĐT Cô-si dấu "=" xảy ra khi $a=2$. Có các hình thức sau:

$(a,\frac{1}{a})\Rightarrow \begin{bmatrix}(\frac{1}{\alpha }a;\frac{1}{a}) (1) & & \\ (\alpha a;\frac{1}{a}) (2) & & \\ (a;\frac{1}{\alpha a}) (3) \\ (a;\frac{\alpha }{a}) (4) \end{bmatrix}$.

Chẳng hạn ta chọn sơ đồ điểm rơi $(1)$: (sơ đồ điểm rơi $(2);(3);(4)$ bạn đọc tự làm)
$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{\alpha }a=\frac{3}{\alpha } & & \\ \frac{1}{a}=\frac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \frac{3}{\alpha }=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \alpha =9$.
Vậy ta có: $S=a+\frac{1}{a}=\frac{1}{9}a+\frac{1}{a}+\frac{8} {9a}\geq 2\sqrt{\frac{1}{9}a.\frac{1}{a}}+\frac{8}{9}.3=\fr ac{2}{3}+\frac{8}{3}=\frac{10}{3}$

Dấu "=" xảy ra khi: $\frac{1}{9}a=\frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow a=3(t/m)$

2) Cho $a\geq 2$. Tìm Min $S=a+\frac{1}{a^{2}}$.

Sơ đồ chọn điểm rơi:

$a=2$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}\frac{a}{\alpha }=\frac{2}{\alpha } & & \\ \frac{1}{a^{2}}=\frac{1}{4} & & \end{matrix}\right.\Rightarrow \frac{2}{\alpha }=\frac{1}{4}\Rightarrow \alpha =8$.

Sai lầm thường gặp:

$$S=a+\frac{1}{a^{2}}=(\frac{a}{8}+\frac{1}{a^{2}} )+\frac{7a}{8}\geq 2\sqrt{\frac{a}{8a^{2}}}+\frac{7a}{8}=\dfrac{2}{\s qrt{16}}+\frac{7.2}{8}=\frac{2}{4}+\frac{7}{4}=\df rac{9}{4}.$$

Nguyên nhân sai lầm:

Mặc dù chọn điểm rơi $a=2$ và $Min S=\frac{9}{4}$ là đáp số đúng nhưng cách giải trên đã mắc sai lầm trong việc đánh giá mẫu số: Nếu $a\geq 2$ thì $\frac{2}{\sqrt{8a}}\geq \frac{2}{\sqrt{8.2}}=\frac{2}{4}$ là đánh giá sai.

Để thực hiện lời giải đúng ta cần phải kết hợp với kí thuật tách nghịch đảo, phải biến đổi $S$ sao cho sau khi sử dụng BĐT Cô si sẽ khử hết biến số $a$ ở mẫu số.

Lời giải đúng:

$$S=a+\frac{1}{a^2}=(\frac{a}{8}+\frac{a}{8}+\frac {1}{a^{2}})+\frac{6a}{8}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a^{2}}{64a^{2}}}+\frac{6.2}{8}=\frac{9}{4}. $$

Dấu "=" xảy ra khi: $a=2$.

3) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b>0 & & \\ a+b\leq 1 & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=ab+\frac{1}{ab}$

4) Cho $a,b>0$. Tìm Min $S=\frac{a+b}{\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{a+b}$

5) Cho $\left\{\begin{matrix}a,b,c>0 & & \\ a+b+c\leq \frac{3}{2} & & \end{matrix}\right.$. Tìm Min $S=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



ღToán học muôn màu là bề khổ và cũng là thiên đường
Tùy thuộc vào việc người ta yêu hay ghét mà thôi.ღ


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 9 người đã cảm ơn cho bài viết này
Hà Nguyễn (18-12-2013), hoangmac (20-12-2013), Miền cát trắng (20-12-2013), N H Tu prince (19-12-2013), Nguyễn Duy Hồng (20-12-2013), Success Nguyễn (19-12-2013), Phong Vân (19-12-2013), Tống Văn Nghĩa (20-12-2013), Đặng Thành Nam (18-12-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tài Liệu Chọn lọc một số bài Bất Đẳng Thức từ diễn đàn K2pi Trần Quốc Việt [Tài liệu] Bất đẳng thức 1 27-05-2016 13:21
Bất đẳng thức cực trị Trangsf Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 01:09
Bộ Giáo dục thay đổi phương thức xét tuyển đại học, cao đẳng FOR U Tin tức Giáo dục 24h 0 13-05-2016 09:47
SPHN lần 3;Với các số thục dương $x,y$. Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}<\frac{1}{11}$ catbuilata Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 13:13
Sử dụng bất đẳng thức để giải bất phương trình hthtb22 [Tài liệu] Phương trình-BPT vô tỷ 4 10-04-2016 09:11



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014