Cho $x, y, z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=40x^2+27y^2+21z^2$$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 18-12-2013, 22:04
Avatar của thangk56btoanti
thangk56btoanti thangk56btoanti đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Hà Nội
Sở thích: Algebra
 
Cấp bậc: 7 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 160
Điểm: 24 / 2289
Kinh nghiệm: 40%

Thành viên thứ: 3330
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 72
Đã cảm ơn : 5
Được cảm ơn 18 lần trong 14 bài viết

Lượt xem bài này: 482
Mặc định Cho $x, y, z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=40x^2+27y^2+24z^2$$

Lâu rồi mới up một bài bất đẳng thức. Cho $x, y, z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=40x^2+27y^2+24z^2$$


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 19-12-2013, 07:54
Avatar của letrungtin
letrungtin letrungtin đang ẩn
$\color{red}{VIP\ 0187}$
Đến từ: Đồng Tháp
Nghề nghiệp: Giáo viên
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 469
Điểm: 151 / 7024
Kinh nghiệm: 77%

Thành viên thứ: 1014
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 455
Đã cảm ơn : 169
Được cảm ơn 926 lần trong 298 bài viết

Mặc định Re: Cho $x, y, z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=40x^2+27y^2+21z^2$$

Nguyên văn bởi thangk56btoanti Xem bài viết
Lâu rồi mới up một bài bất đẳng thức. Cho $x, y, z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=40x^2+27y^2+21z^2$$
Bài toán tổng quát: Cho $x,y,z$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm GTNN của biểu thức $$P=ax^2+by^2+cz^2\quad \text{với } a,b,c>0$$
Đáp số: $\min P=2u_0$, với $u_0$ là nghiệm dương của phương trình $$2u^3+(a+b+c)u^2-abc=0$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  letrungtin 
Miền cát trắng (19-12-2013)
  #3  
Cũ 19-12-2013, 09:24
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8320
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Cho $x, y, z$ thỏa mãn: $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=40x^2+27y^2+21z^2$$

Bài toán tổng quát. : Cho x , y , z thỏa mãn xy + yz + xz = 1. Tìm Min của P = $ax^{2} + by^{2} + cz^{2}$


Hướng tư duy.:

Giả sử : $ax^{2} + by^{2} + cz^{2} \geq 2k\left(xy + yz + xz \right)$ với k > 0

Số k này chắc chắn tồn tại. Thế nên ta sẽ đi tìm số k tốt nhất thỏa mãn bđt trên

Ta viết bđt thành : $ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + k\left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) \geq k\left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) + 2k\left(xy + yz + xz \right)$

$\Leftrightarrow ax^{2} + by^{2} + cz^{2} + k\left(x^{2} + y^{2} + z^{2}\right) \geq k\left(x + y + z \right)^{2}$

Đến đây sử dụng bđt Bunhiacopxki ta có :

$\left(k + a \right)x^{2} + \left(k + b \right)y^{2} + \left(k + c \right)z^{2} \geq \frac{\left(x + y + z \right)^{2}}{\frac{1}{k + a} + \frac{1}{k + b} + \frac{1}{k + c}}$

Đánh giá này chắc chắn xảy ra đẳng thức vì hệ gồm :

$xy + yz + xz = 1$ và $\left(k + a \right)x = \left(k + b \right)y = \left(k + c \right)z$

Luôn có nghiệm với mọi k dương. Nên số k tốt nhất thỏa mãn là nghiệm của pt :

$\frac{1}{k} = \frac{1}{k + a} + \frac{1}{k + b} + \frac{1}{k + c}$

Tìm đk k $\Rightarrow $ tìm đk P min.


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
hoakiyo (02-05-2014), Miền cát trắng (19-12-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M= 2016\left(\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{c}+ \dfrac{\sqrt{b^2+c^2}}{a}\right)-(a+b+c)\left(\dfrac{2015}{a}+ \dfrac{2015}{c}\right)$ Lê Đình Mẫn Bất đẳng thức - Cực trị 0 30-05-2016 17:19
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}+3(ab+bc+ca)$. $N_B^N$ Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 08:48
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a\left[\left(a^2+3\right)\dfrac{a+b}{c}+24\right]+b\left[\left(b^2+3\right)\dfrac{b+c}{a}+24\right]+c\left[\left(c^2+3\right)\dfrac{c+a}{b}+24\right]$$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 1 04-05-2016 23:05
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\dfrac{\left(a-b \right)\left(b-c \right)\left(c-a \right)}{a^2+b^2+c^2}$ Trần Quốc Việt Bất đẳng thức - Cực trị 6 28-04-2016 14:41
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\frac{bc}{a(b+2c)}+\frac{2ca}{b(c+a)}+\frac{2ab }{c(2a+b)}$ youngahkim Bất đẳng thức - Cực trị 1 24-04-2016 23:33



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014