Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014 - Trang 48 - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #330  
Cũ 01-01-2014, 16:23
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4727
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Nguyên văn bởi Mạo Hỡi Xem bài viết
Bài 150: Cho a, b, c>0, abc=1. Tìm GTNN của:
$$H=\dfrac{(1+a)(1+b)(1+c)}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)(1 +c^2)}}.$$
Bài 151: Cho a, b, c>0. Chứng minh rằng:
$$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})+(a+b+c)^2 \geq 4\sqrt{3abc(a+b+c)}.$$
Bài 150:
Dễ có: $a+1 \ge \sqrt{a^2+1}$.Từ đây suy ra $H \ge 1$.
Bài 151:
Đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z$ ta được BĐT tương đương là:
$$xyz(x+y+z)+(x^2+y^2+z^2)^2 \ge 4xyz\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$$
Do BĐT thuần nhất,chuẩn hoá $x^2+y^2+z^2=3$.
BĐT viết lại: $$9 \ge xyz(12-(x+y+z))$$.
Đặt $x+y+z=t$ thì $t \in[\sqrt{3};3]$.Khi đó, $xy+yz+zx=\dfrac{t^2-3}{2}$.
Dễ dàng CM được: $3xyz(x+y+z) \le (xy+yz+zx)^2 \Rightarrow xyz \le \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}=\dfrac{(t^2-3)^2}{12t}$.
Ta càn CM cho: $9 \ge \dfrac{(12-t)(t^2-3)^2}{12t}$.
BDT trên luôn đúng với $t \in[\sqrt{3};3]$.Từ đây có dpcm.
Dấu $=$ khi $t=3$ hay $a=b=c$.


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #331  
Cũ 01-01-2014, 16:44
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 689
Điểm: 350 / 9684
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.052
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.511 lần trong 603 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Nguyên văn bởi Ngọc Anh Xem bài viết
Bài 150:
Dễ có: $a+1 \ge \sqrt{a^2+1}$.Từ đây suy ra $H \ge 1$.
Đề bài cho vậy không tồn tại GTNN:
Bài 150.1:
Cho a, b, c>0, abc=1. Tìm GTNN của:
$$H=\dfrac{(1+a)(1+b)(1+c)}{\sqrt[4]{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}}.$$

Nguyên văn bởi Ngọc Anh Xem bài viết
Bài 151:
Đặt $\sqrt{a}=x;\sqrt{b}=y;\sqrt{c}=z$ ta được BĐT tương đương là:
$$xyz(x+y+z)+(x^2+y^2+z^2)^2 \ge 4xyz\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}$$
Do BĐT thuần nhất,chuẩn hoá $x^2+y^2+z^2=3$.
BĐT viết lại: $$9 \ge xyz(12-(x+y+z))$$.
Đặt $x+y+z=t$ thì $t \in[\sqrt{3};3]$.Khi đó, $xy+yz+zx=\dfrac{t^2-3}{2}$.
Dễ dàng CM được: $3xyz(x+y+z) \le (xy+yz+zx)^2 \Rightarrow xyz \le \dfrac{(xy+yz+zx)^2}{3(x+y+z)}=\dfrac{(t^2-3)^2}{12t}$.
Ta càn CM cho: $9 \ge \dfrac{(12-t)(t^2-3)^2}{12t}$.
BDT trên luôn đúng với $t \in[\sqrt{3};3]$.Từ đây có dpcm.
Dấu $=$ khi $t=3$ hay $a=b=c$.
Có thể chuẩn hóa khác như sau:
Bất đẳng thức là thuần nhất nên ta có thể chuẩn hóa $abc=1$.
Sử dụng bất đẳng thức AM−GM, dễ thấy
$$\sqrt{abc}(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}) \geq 3.$$
Mặt khác, theo bất đẳng thức quen thuộc $3abc(a+b+c)≤(ab+bc+ca)^2$ ta sẽ đưa bài toán về chứng minh
$$(a+b+c)^2+3 \geq 4(ab+bc+ca) \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3 \geq 2(ab+bc+ca).$$
Sử dụng bất đẳng thức AM−GM ta có $a2+b2 \geq 2ab$ và $c^2+1 \geq 2c$, và với chú ý là $2=2abc$ nên bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được
$$2ab+2c+2abc\geq 2(ab+bc+ca).$$
Hay là
$c(a−1)(b−1) \geq 0$
Bất đẳng thức cuối luôn đúng vì trong 3 số a, b, c có tích abc=1 thì luôn tồn tại 2 số nằm cùng phía so với 1, và ta giả sử hai số đó là a và b.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  NTH 52 
Ngọc Anh (01-01-2014)
  #332  
Cũ 01-01-2014, 17:24
Avatar của Ngọc Anh
Ngọc Anh Ngọc Anh đang ẩn
๖ۣۜGió
Đến từ: Thanh Hoá
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Toán, Lý
 
Cấp bậc: 17 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 403
Điểm: 112 / 4727
Kinh nghiệm: 14%

Thành viên thứ: 17755
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 337
Đã cảm ơn : 176
Được cảm ơn 631 lần trong 227 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Bài 150.1: Cho a,b,c dương thoả mãn: $abc=1$.
Tìm GTNN của: $$H = \frac{{(a + 1)(b + 1)(c + 1)}}{{\sqrt[4]{{({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1)}}}}$$.
Ta sẽ Cm cho $H \ge 4\sqrt[4]{2}$.
Mũ 4 cả 2 vế,ta được BĐT tương đương là:
$${(a + 1)^4}{(b + 1)^4}{(c + 1)^4} \ge 512({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1)$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + 2a + 1} \right)^2}{\left( {{b^2} + 2b + 1} \right)^2}{\left( {{c^2} + 2c + 1} \right)^2} \ge 512({a^2} + 1)({b^2} + 1)({c^2} + 1)$$
$$ \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{a^2} + 1}}{a} + 2} \right)^2}{\left( {\frac{{{b^2} + 1}}{b} + 2} \right)^2}{\left( {\frac{{{c^2} + 1}}{c} + 2} \right)^2} \ge 512.\frac{{{a^2} + 1}}{a}.\frac{{{b^2} + 1}}{b}.\frac{{{c^2} + 1}}{c}$$
$${(x + 2)^2}{(y + 2)^2}{(z + 2)^2} \ge 512xyz$$.
Trong đó: $$x = \frac{{{a^2} + 1}}{a} \ge 2;y = \frac{{{b^2} + 1}}{b} \ge 2;z = \frac{{{c^2} + 1}}{c} \ge 2$$.
Mà: $$(x + 2)(y + 2)(z + 2) \ge {\left( {\sqrt[3]{{xyz}} + 2} \right)^3} \Rightarrow {(x + 2)^2}{(y + 2)^2}{(z + 2)^2} \ge {\left( {\sqrt[3]{{xyz}} + 2} \right)^6}$$
Đặt:$\sqrt[3]{{xyz}} = t \Rightarrow t \ge 2.$.
Ta cần CM cho: ${(t + 2)^6} \ge 512{t^3} \Leftrightarrow {(t - 2)^2}\left( {{t^4} + 16{t^3} + 120{t^2} + 64t + 16} \right) \ge 0$
BĐT cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có dpcm.


Thời gian của bạn là hữu hạn, vì thế đừng lãng phí nó để sống cuộc đời người khác


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
hoangmac (01-01-2014), ma29 (01-01-2014), Đặng Thành Nam (06-01-2014)
  #333  
Cũ 01-01-2014, 17:24
Avatar của hoangmac
hoangmac hoangmac đang ẩn
Lặng
Đến từ: Bắc Ninh
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 254
Điểm: 49 / 3178
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 16181
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Bài gửi: 147
Đã cảm ơn : 149
Được cảm ơn 239 lần trong 89 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Nguyên văn bởi Mạo Hỡi Xem bài viết
Đề bài cho vậy không tồn tại GTNN:
Bài 150.1:
Cho a, b, c>0, abc=1. Tìm GTNN của:
$$H=\dfrac{(1+a)(1+b)(1+c)}{\sqrt[4]{(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)}}.$$
$$\dfrac{(1+a)^4}{1+a^2} \geq 8a$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{(a-1)^4}{1+a^2}\geq 0$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Ngọc Anh (01-01-2014), Đặng Thành Nam (06-01-2014)
  #334  
Cũ 01-01-2014, 18:27
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 8333
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Bài 153

Đặt $x = \frac{ab}{c^{2}} ; y = \frac{ac}{b^{2}} ; z = \frac{bc}{a^{2}}$

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

$\frac{c^{4}}{\left(ab + c^{2} \right)^{2}} + \frac{b^{4}}{\left(ac + b^{2} \right)^{2}} + \frac{a^{4}}{\left(cb + a^{2} \right)^{2}} + \frac{2a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(ab + c^{2} \right)\left(ac + b^{2} \right)\left(bc + a^{2} \right)} \geq 1$

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz ta có :

$\left(ab + c^{2} \right)^{2} \leq \left(a^{2} + c^{2}\right)\left(b^{2} + c^{2}\right)$

Và : $\left(ab + c^{2} \right)\left(ac + b^{2} \right)\left(bc + a^{2} \right) \leq \left(a^{2} + b^{2}\right)\left(a^{2} + c^{2}\right)\left(b^{2} + c^{2}\right)$

Do đó : $\frac{c^{4}}{\left(ab + c^{2} \right)^{2}} + \frac{b^{4}}{\left(ac + b^{2} \right)^{2}} + \frac{a^{4}}{\left(cb + a^{2} \right)^{2}} + \frac{2a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(ab + c^{2} \right)\left(ac + b^{2} \right)\left(bc + a^{2} \right)} $

$\geq \frac{c^{4}\left(a^{2} + b^{2}\right) + b^{4}\left(a^{2} + c^{2}\right) + a^{4}\left(b^{2} + c^{2}\right) + 2a^{2}b^{2}c^{2}}{\left(a^{2} + b^{2}\right)\left(b^{2} + c^{2}\right)\left(a^{2} + c^{2} \right)} = 1$

Nên bất đẳng thức được chứng minh. Dấu = xảy ra $\Leftrightarrow x = y = z = 1.$


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Thế Duy 
ma29 (01-01-2014)
  #335  
Cũ 01-01-2014, 20:14
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 68 / 689
Điểm: 350 / 9684
Kinh nghiệm: 59%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.052
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.511 lần trong 603 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Bài 154: Cho a, b, c là 3 số thực, c>0 thoả mãn $a^2+ab+b^2=3c^2.$
Tìm GTLN của $A=\dfrac{a^3+b^3}{c^3}+\dfrac{4ab}{c^2}.$


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #336  
Cũ 01-01-2014, 22:58
Avatar của 0915549009
0915549009 0915549009 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 5 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 118
Điểm: 16 / 1687
Kinh nghiệm: 75%

Thành viên thứ: 3934
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 48
Đã cảm ơn : 0
Được cảm ơn 46 lần trong 28 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Nguyên văn bởi Mạo Hỡi Xem bài viết
Bài 154: Cho a, b, c là 3 số thực, c>0 thoả mãn $a^2+ab+b^2=3c^2.$
Tìm GTLN của $A=\dfrac{a^3+b^3}{c^3}+\dfrac{4ab}{c^2}.$
Từ điều kiện: $\Rightarrow (\frac{a}{c})^2+\frac{a}{c}.\frac{b}{c}+(\frac{b}{ c})^2=3$
Đặt $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=x; \frac{a}{c}.\frac{b}{c}=y$. Khi đó: $x \in [-2;2]$
Khảo sát hàm $A=-2x^3+4x^2+9x-12$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tài Liệu Chọn lọc một số bài Bất Đẳng Thức từ diễn đàn K2pi Trần Quốc Việt [Tài liệu] Bất đẳng thức 1 27-05-2016 13:21
Bất đẳng thức cực trị Trangsf Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 01:09
Bộ Giáo dục thay đổi phương thức xét tuyển đại học, cao đẳng FOR U Tin tức Giáo dục 24h 0 13-05-2016 09:47
SPHN lần 3;Với các số thục dương $x,y$. Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}<\frac{1}{11}$ catbuilata Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 13:13
Sử dụng bất đẳng thức để giải bất phương trình hthtb22 [Tài liệu] Phương trình-BPT vô tỷ 4 10-04-2016 09:11



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
3abc- 2014a-b-c, Ôn thi cùng các cao thủ bđt-facebook, bat dang thuc, bat dang thuc nao se thi 2014, bất đẳng thức luyện thi đại học 2014, bất đẳng thức thi 2014, bất đẳng thức thi đại học, các bất đẳng thức thi đại học, cho a b c >0 v* (a b c)^3= 32abc tìm, chuyên đề bất đăng thức ôn đại học 2014, imo 2006 bat dang thuc, phương pháp gọi số hạng vắng, tim gtnn p=3abc-2014a, tim min p=3abc-2014, tim min p=3abc-2014a, timf min p = xy yz zt tx, toan luyen tp chung trang52, topic bat dang thuc luyen thi dai hoc 2014 k2pi, topic bất đẳng thức luyện thi đh 2014 k2pi, topic luyen thi dai hoc 2014 k2pi, toppic bat dang thuc, xy yz zt tx=1 tim gtnn, xy yz zx = 1 tìm gtnn p=x^2 my^2 nz^2
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014