Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014 - Trang 27 - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #183  
Cũ 03-12-2013, 10:46
Avatar của Tống Văn Nghĩa
Tống Văn Nghĩa Tống Văn Nghĩa đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: THPT
Nghề nghiệp: ABC
Sở thích: Tự do
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 548
Điểm: 210 / 7915
Kinh nghiệm: 95%

Thành viên thứ: 2652
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 631
Đã cảm ơn : 329
Được cảm ơn 485 lần trong 271 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Nguyên văn bởi Miền cát trắng Xem bài viết
[B][COLOR=
75. Cho $a,b \geq 0$ sao cho $a+b=1$. Chứng minh rằng
$$\sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+a}+\sqrt{1+ab} \le 3$$
Ta có: $\sqrt{a^{2}+b}\leq \frac{a^{2}+b+1}{2}$
$\sqrt{b^{2}+a}\leq \frac{b^{2}+a+1}{2}$
$\sqrt{1+ab}\leq \frac{2+ab}{2}$

$\Rightarrow \sqrt{a^2+b}+\sqrt{b^2+a}+\sqrt{1+ab}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+ab}{2}+\frac{5}{2}=\frac{a^{2}-a+1}{2}+\frac{5}{2}\leq 3$
Dấu "=" khi a=0,b=1 hay a=1,b=0


Chủ đề được quan tâm nhiều nhất:



Còn sống là còn nỗ lực


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Tống Văn Nghĩa 
Miền cát trắng (03-12-2013)
  #184  
Cũ 03-12-2013, 13:35
Avatar của hoangmac
hoangmac hoangmac đang ẩn
Lặng
Đến từ: Bắc Ninh
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 254
Điểm: 49 / 3176
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 16181
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Bài gửi: 147
Đã cảm ơn : 149
Được cảm ơn 239 lần trong 89 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Nguyên văn bởi Miền cát trắng Xem bài viết
74. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a^2+1}{b+1}+\dfrac{b^2+1}{c+1}+\dfrac{c^2 +1}{a+1} \le \dfrac{45}{4}$$
$TH1: a \geq b \geq c$. Ta có
$P\leq \dfrac{a^2+1}{c+1}+\dfrac{b^2+1}{b+1}+\dfrac{c^2+1 }{a+1}=\dfrac{a^3+c^3+a^2+c^2+a+c+2}{ac+a+c+1}+ \dfrac{b^2+1}{b+1} \leq \dfrac{(a+c)^3+(a+c)^2+(a+c)+2}{a+c+1}+\dfrac{b^2+ 1}{b+1} =(3-b)^2+1+\dfrac{1}{4-b}+\dfrac{b^2+1}{b+1}=g(b)$
Đến đây ta thu được hàm 1 biến giảm trên $\left[0; \dfrac{3}{2}\right]$.
Suy ra $P\leq g(0)=\dfrac{45}{4}$
$TH2: a\leq b\leq c$, tương tự $TH1$
$\dfrac{1}{c+1}\leq \dfrac{1}{b+1}, a^2+1 \leq b^2+1$ nên
$P\leq \dfrac{a^2+1}{c+1}+\dfrac{b^2+1}{b+1}+\dfrac{c^2+1 }{a+1} \,\,\,\,\ OK?$
Vậy bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=0, c=3$ cùng các hoán vị


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #185  
Cũ 03-12-2013, 14:11
Avatar của Miền cát trắng
Miền cát trắng Miền cát trắng đang ẩn
Mãi yêu người- MT
 
Cấp bậc: 27 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 65 / 656
Điểm: 312 / 9839
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 985
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 938
Đã cảm ơn : 2.200
Được cảm ơn 2.234 lần trong 558 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Nguyên văn bởi hoangmac Xem bài viết
$TH1: a \geq b \geq c$. Ta có
$P\leq \dfrac{a^2+1}{c+1}+\dfrac{b^2+1}{b+1}+\dfrac{c^2+1 }{a+1}=\dfrac{a^3+c^3+a^2+c^2+a+c+2}{ac+a+c+1}+ \dfrac{b^2+1}{b+1} \leq \dfrac{(a+c)^3+(a+c)^2+(a+c)+2}{a+c+1}+\dfrac{b^2+ 1}{b+1} =(3-b)^2+1+\dfrac{1}{4-b}+\dfrac{b^2+1}{b+1}=g(b)$
Đến đây ta thu được hàm 1 biến giảm trên $\left[0; \dfrac{3}{2}\right]$.
Suy ra $P\leq g(0)=\dfrac{45}{4}$
$TH2: a\leq b\leq c$, tương tự $TH1$
Vậy bài toán được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=0, c=3$ cùng các hoán vị
$TH2: a\leq b\leq c$, tương tự $TH1$, bạn làm rõ thử xem.
Bài 76. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P=\sqrt{\dfrac{a^2+1}{b+1}}+\sqrt{\dfrac{b^2+1}{ c+1}}+\sqrt{\dfrac{c^2+1}{a+1}}$$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Miền cát trắng 
duyanh175 (03-12-2013)
  #186  
Cũ 03-12-2013, 21:57
Avatar của duyanh175
duyanh175 duyanh175 đang ẩn
Chiếc lá cuối cùng
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 551
Điểm: 212 / 7161
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 14906
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gửi: 638
Đã cảm ơn : 483
Được cảm ơn 1.023 lần trong 461 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Bài 77 : Cho 3 số thực $x,y,z$ không âm thỏa mãn : $xy+yz+zx=1$ . Tìm GTLN biểu thức :

$$P=9\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)-4\left(x^{3}+y^{3}+z^{3} \right)$$


Nguyên văn bởi Miền cát trắng Xem bài viết
Bài 76. Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thoả mãn $a+b+c=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$P=\sqrt{\dfrac{a^2+1}{b+1}}+\sqrt{\dfrac{b^2+1}{ c+1}}+\sqrt{\dfrac{c^2+1}{a+1}}$$

Với : $0\leq x\leq 3$ ta luôn có : $\left\{\begin{matrix}
\sqrt{x^{2}+1}\leq 1+\left(\dfrac{\sqrt{10}-1}{3} \right)x & & \\ \\
\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}\leq 1-\dfrac{x}{6}& &
\end{matrix}\right.$


Suy ra : $\sqrt{\dfrac{a^{2}+1}{b+1}}\leq \left(1+\frac{\sqrt{10}-1}{3}a \right)\left(1-\frac{b}{6} \right)=1+\frac{\sqrt{10}-1}{3}a-\frac{b}{6}-\frac{\sqrt{10}-1}{18}ab$


$\Rightarrow \sqrt{\dfrac{a^{2}+1}{b+1}}\leq 1+\left( \frac{\sqrt{10}-1}{3}\right)a-\frac{b}{6}$


Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng lại ta được :


$P\leq 3+\left(\frac{\sqrt{10}-1}{3} \right)\left(a+b+c \right)-\frac{a+b+c}{6}=\frac{3}{2}+\sqrt{10}$


Vậy : $P_{max}=\frac{3}{2}+\sqrt{10}. Khi : a;b;c$ là các hoán vị của $0;0;3$

Nguyên văn bởi Miền cát trắng Xem bài viết
74. Cho các số thực không âm $a,b,c$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$\dfrac{a^2+1}{b+1}+\dfrac{b^2+1}{c+1}+\dfrac{c^2 +1}{a+1} \le \dfrac{45}{4}$$

Với : $0\leq x\leq 3$ ta luôn có : $\left\{\begin{matrix}
x^{2}+1\leq 3x+1 & & \\ \\
\dfrac{1}{x+1}\leq 1-\dfrac{x}{4} & &
\end{matrix}\right.$


Suy ra : $\frac{a^{2}+1}{b+1}\leq \left(3a+1 \right)\left(1-\frac{b}{4} \right)=3a+1-\frac{b}{4}-\frac{3ab}{4}\leq 1+3a-\frac{b}{4}$


Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng lại ta được :


$VT\leq 3+\frac{11}{4}\left(a+b+c \right)=\frac{45}{4}$ (đpcm)


Đẳng thức xảy ra khi : $a;b;c$ là các hoán vị của $0;0;3$.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 4 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lê Đình Mẫn (04-12-2013), lehavinhthai (16-12-2013), Miền cát trắng (03-12-2013), nguyentaidiem (26-01-2014)
  #187  
Cũ 04-12-2013, 22:02
Avatar của duyanh175
duyanh175 duyanh175 đang ẩn
Chiếc lá cuối cùng
 
Cấp bậc: 23 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 551
Điểm: 212 / 7161
Kinh nghiệm: 6%

Thành viên thứ: 14906
 
Tham gia ngày: Jul 2013
Bài gửi: 638
Đã cảm ơn : 483
Được cảm ơn 1.023 lần trong 461 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Bài 78 : Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.Tìm GTNN biểu thức :

$$P=\dfrac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a-b}}+\dfrac{1}{a+b-c}$$



Bài 79 : Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN biểu thức :

$$P=\dfrac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a-b}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b-c}}$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Lê Đình Mẫn (05-12-2013), Miền cát trắng (05-12-2013)
  #188  
Cũ 05-12-2013, 00:43
Avatar của hoangmac
hoangmac hoangmac đang ẩn
Lặng
Đến từ: Bắc Ninh
 
Cấp bậc: 11 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 254
Điểm: 49 / 3176
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 16181
 
Tham gia ngày: Sep 2013
Bài gửi: 147
Đã cảm ơn : 149
Được cảm ơn 239 lần trong 89 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Nguyên văn bởi duyanh175 Xem bài viết
Bài 77 : Cho 3 số thực $x,y,z$ không âm thỏa mãn : $xy+yz+zx=1$ . Tìm GTLN biểu thức :

$$P=9\left(x^{2}+y^{2}+z^{2} \right)-4\left(x^{3}+y^{3}+z^{3} \right)$$
$P \leq 9(x+y+z)^2-4(x^3+y^3+z^3-3xyz)-18 = 9(x+y+z)^2-4(x+y+z)^3+12(x+y+z)-18= 10- \left(4y+4y+4z+7\right)\left(x+y+z-2\right)^2 \leq 10$
Vậy $P_{max}=10$ khi $a=b=1, c=0$ cùng các hoán vị.

Nguyên văn bởi duyanh175 Xem bài viết
Bài 78 : Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.Tìm GTNN biểu thức :

$$P=\dfrac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a-b}}+\dfrac{1}{a+b-c}$$
Đặt $\sqrt{b+c-a}=x, \sqrt{c+a-b}=y, \sqrt{a+b-c}=z \Rightarrow a=\dfrac{y^2+z^2}{2}, b=\dfrac{z^2+x^2}{2}$
$P= \dfrac{y^2+z^2}{2x} +\dfrac{z^2+x^2}{2y}+\dfrac{1}{z^2} \geq z+z+\dfrac{1}{z^2} \geq 3$
Vậy $P_{min}=3$ khi $x=y=z=1$
Nguyên văn bởi duyanh175 Xem bài viết
Bài 79 : Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác thỏa mãn: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ . Tìm GTNN biểu thức :

$$P=\dfrac{a}{\sqrt{b+c-a}}+\dfrac{b}{\sqrt{c+a-b}}+\dfrac{c}{\sqrt{a+b-c}}$$
Đặt $\sqrt{b+c-a}=x, \sqrt{c+a-b}=y, \sqrt{a+b-c}=z \Rightarrow a=\dfrac{y^2+z^2}{2}, b=\dfrac{z^2+x^2}{2}, c=\dfrac{x^2+y^2}{2}$
$ĐK \Rightarrow 12=(x^2+y^2)^2+(y^2+z^2)^2+(z^2+x^2)^2 \leq 4(x^4+y^4+z^4)$
$P=\dfrac{y^2+z^2}{2x}+\dfrac{z^2+x^2}{2y}+\dfrac{ x^2+y^2}{2z} \geq 3\sqrt[4]{\dfrac{x^4+y^4+z^4}{3}} \geq 3$
Vậy $P_{max}=3$ khi $a=b=c=1$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
duyanh175 (05-12-2013), Lê Đình Mẫn (05-12-2013), Miền cát trắng (05-12-2013)
  #189  
Cũ 05-12-2013, 00:51
Avatar của Nguyễn Duy Hồng
Nguyễn Duy Hồng Nguyễn Duy Hồng đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Sóc Sơn - Hà Nội
Nghề nghiệp: Kỹ Sư Xây Dựng
 
Cấp bậc: 35 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 86 / 869
Điểm: 611 / 11972
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7332
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 1.835
Đã cảm ơn : 1.971
Được cảm ơn 1.849 lần trong 898 bài viết

Mặc định Re: Topic BẤT ĐẲNG THỨC LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2014

Bài 80: Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
$$Q=\sqrt[3]{a+\frac{1}{bc}}+\sqrt[3]{b+\frac{1}{ca}}+\sqrt[3]{c+\frac{1}{ab}}$$
Bài 81: Cho a,b,c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
$$\sum \left(\frac{a}{b+c-a} \right)^{2014}\geq \sum \left(\frac{a}{b+c-a} \right)^{2013}$$
Bài 82: Cho các số thực dương a,b,c,d và e. Tìm GTNN của biểu thức:
$$M=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{d}+\frac{d}{e }+\left(\frac{e}{a} \right)^{2}$$
Bài 83: Cho a,b,c dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}\geq \frac{10}{3}$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 3 người đã cảm ơn cho bài viết này
duyanh175 (05-12-2013), Lê Đình Mẫn (05-12-2013), Miền cát trắng (05-12-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Tài Liệu Chọn lọc một số bài Bất Đẳng Thức từ diễn đàn K2pi Trần Quốc Việt [Tài liệu] Bất đẳng thức 1 27-05-2016 13:21
Bất đẳng thức cực trị Trangsf Bất đẳng thức - Cực trị 1 23-05-2016 01:09
Bộ Giáo dục thay đổi phương thức xét tuyển đại học, cao đẳng FOR U Tin tức Giáo dục 24h 0 13-05-2016 09:47
SPHN lần 3;Với các số thục dương $x,y$. Chứng minh bất đẳng thức: $\frac{1}{x+y+1}-\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( y+1 \right)}<\frac{1}{11}$ catbuilata Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 13:13
Sử dụng bất đẳng thức để giải bất phương trình hthtb22 [Tài liệu] Phương trình-BPT vô tỷ 4 10-04-2016 09:11



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
3abc- 2014a-b-c, Ôn thi cùng các cao thủ bđt-facebook, bat dang thuc, bat dang thuc nao se thi 2014, bất đẳng thức luyện thi đại học 2014, bất đẳng thức thi 2014, bất đẳng thức thi đại học, các bất đẳng thức thi đại học, cho a b c >0 v* (a b c)^3= 32abc tìm, chuyên đề bất đăng thức ôn đại học 2014, imo 2006 bat dang thuc, phương pháp gọi số hạng vắng, tim gtnn p=3abc-2014a, tim min p=3abc-2014, tim min p=3abc-2014a, timf min p = xy yz zt tx, toan luyen tp chung trang52, topic bat dang thuc luyen thi dai hoc 2014 k2pi, topic bất đẳng thức luyện thi đh 2014 k2pi, topic luyen thi dai hoc 2014 k2pi, toppic bat dang thuc, xy yz zt tx=1 tim gtnn, xy yz zx = 1 tìm gtnn p=x^2 my^2 nz^2
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014