Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình: $x^{4}+\left(x^{2}+x+2 \right)\sqrt[3]{\left(2x-1 \right)^{4}}+4x=8x^{2}$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Phương trình và Bất phương trình

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 09-10-2013, 03:24
Avatar của Nguyễn Duy Hồng
Nguyễn Duy Hồng Nguyễn Duy Hồng đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Sóc Sơn - Hà Nội
Nghề nghiệp: Kỹ Sư Xây Dựng
 
Cấp bậc: 35 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 86 / 869
Điểm: 611 / 11993
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7332
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 1.835
Đã cảm ơn : 1.971
Được cảm ơn 1.849 lần trong 898 bài viết

Lượt xem bài này: 446
Mặc định Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình: $x^{4}+\left(x^{2}+x+2 \right)\sqrt[3]{\left(2x-1 \right)^{4}}+4x=8x^{2}$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 09-10-2013, 22:53
Avatar của Con phố quen
Con phố quen Con phố quen đang ẩn
Quản trị www.k2pi.net
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 529
Điểm: 195 / 7980
Kinh nghiệm: 18%

Thành viên thứ: 897
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 585
Đã cảm ơn : 379
Được cảm ơn 1.758 lần trong 473 bài viết

Mặc định Re: Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình: $x^{4}+\left(x^{2}+x+2 \right)\sqrt[3]{\left(2x-1 \right)^{4}}+4x=8x^{2}$

Nguyên văn bởi Nguyễn Duy Hồng Xem bài viết
Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình: $x^{4}+\left(x^{2}+x+2 \right)\sqrt[3]{\left(2x-1 \right)^{4}}+4x=8x^{2}$
Nghe Hồng nói đây là dạng toán mới nên mom mem vào xem thế nào? Trước tiên là khen dạo này Hồng chế bài nhìn hình thức gọn gàng hơn và đẹp hơn.
Để khẳng định nghiệm của bài toán thay vì làm thuận, Con phố quen sẽ làm ngược lại vấn đề là tìm nghiệm lớn nhất. Ròi suy ngược vấn đề là xong.
Điều kiện :$x > \frac{1}{2}$. Ta biến đổi phương trình trở thành $$\frac{x^4-8x^2+4x}{x^2+x+2}=-\left(2x-1 \right)\sqrt[3]{2x-1}$$$$ \Leftrightarrow \frac{x^4-8x^2+4x}{x^2+x+2}+x\left(2x-1 \right) =\left(2x-1 \right)\left(x -\sqrt[3]{2x-1} \right)$$$$\Leftrightarrow \frac{x\left(3x-2 \right)\left(x^2+x-1 \right)}{x^2+x+2}=\left(2x-1 \right) \frac{\left(x-1 \right)\left(x^2+x-1 \right)}{x^2+x\sqrt[3]{2x-1} +\sqrt[3]{(2x-1)^2}}$$$$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x^2+x-1 =0 \quad (1)\\ \frac{x\left(3x-2 \right)}{x^2+x+2}=\frac{\left(x-1 \right)\left(2x-1 \right)}{x^2+x\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{(2x-1)^2}} \quad (2)\end{matrix} \right.$$ Với $(1)$ ta có : $x^2+x-1 =0 \Leftrightarrow x =\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Đối chiếu điều kiện ta có : $x =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
Bây giờ vấn đề nằm ở chỗ phương trình $(2)$, ta chỉ cần đi chứng minh rằng phương trình $(2)$ không có nghiệm vượt nghiệm $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ để từ đó kết luận nghiệm của phương trình đã cho luôn.
Ta có phương trình $(2)$ được biến đổi trở thành phương trình sau : $$x^2+x\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{(2x-1)^2}= \frac{\left(x-1 \right)\left(2x-1 \right) \left(x^2+x-1 \right)}{x\left(3x-2 \right)}$$ Nhưng bây giờ vấn đề khác lại nảy sinh ra. Thật vậy với $x \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ thì $x(3x-2)$ vẫn có thể bằng $0$, do đó thật quả khó khăn để xét. Bây giờ ta ước gì khi $x(3x-2)$ luôn dương để ta có thể thoải mái trong cách tạo phân số . Mà muốn vậy, ta liền đổi biến $x$ thành biến $-x$ ngay tức khắc sẽ có điều đó liền lập tức.
Thật vậy :$-x \left(3(-x) -2 \right)=x(3x+2).$
Mà nếu đổi như vậy, ta liền có nghiệm lớn nhất trong hai nghiệm tìm được bây giờ chính là $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Nghiệm mới này hoàn toàn hợp lí cho $x(3x+2) \ne 0$. Vậy rõ ràng bước ban đầu tuy là tách liên hợp thành công nhưng lại vướng phải phương trình $(2)$ không thực chắc, mà trong giải liên hợp sự đòi hỏi đánh giá "chắc" là một nhu cầu hết sức quan trọng. Vì ta không những cần "chắc" mà còn đòi hỏi phải tinh giản trong đánh giá nữa mới là vấn đề then chốt. Vậy trở lại bài toán, trước tiên đi vào giải ta sẽ đổi biến cho chắc.
Thay biến $x$ bằng biến $t=-x$ ta thu được phương trình sau : $$t^{4}+\left(t^{2}-t+2 \right)\sqrt[3]{\left(2t+1 \right)^{4}}-4t=8t^{2}$$ Điều kiện : $t \ge -\frac{1}{2}$. Biến đổi phương trình vừa thay biến thành phương trình :$$\frac{t^4-8t^2-4t}{t^2-t+2}=-\left(2t+1 \right)\sqrt[3]{2t+1}$$$$ \Leftrightarrow \frac{t^4-8t^2-4t}{t^2-t+2}+t\left(2t+1 \right) =\left(2t+1 \right)\left(t -\sqrt[3]{2t+1} \right)$$$$\Leftrightarrow \frac{t\left(3t+2 \right)\left(t^2-t-1 \right)}{t^2-+2}=\left(2t+1 \right) \frac{\left(t+1 \right)\left(t^2-t-1 \right)}{t^2+t\sqrt[3]{2t+1} +\sqrt[3]{(2t+1)^2}}$$$$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t^2-t-1 =0 \quad (1)\\ \frac{t\left(3t+2 \right)}{t^2-t+2}=\frac{\left(t+1 \right)\left(2t+1 \right)}{t^2+t\sqrt[3]{2t+1}+\sqrt[3]{(2t+1)^2}} \quad (2)\end{matrix} \right.$$Với $(1)$ ta có : $t^2-t-1 =0 \Leftrightarrow t =\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Đối chiếu điều kiện ta có : $t =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Ta đi chứng minh phương trình $(2)$ không có nghiệm $t \ge \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Thật vậy, phương trình $(2)$ được biến đổi thành phương trình : $$t^2+t\sqrt[3]{2t+1}+\sqrt[3]{(2t+1)^2}= \frac{\left(t+1 \right)\left(2t+1 \right) \left(t^2-t-1 \right)}{t\left(3t+2 \right)}$$ Ta có với $t \ge \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thì $t^2+t\sqrt[3]{2t+1}+\sqrt[3]{(2t+1)^2} >t^2+t+1$.
Do đó ta chỉ cần chỉ ra được : $t^2+t+1 - \frac{\left(t+1 \right)\left(2t+1 \right) \left(t^2-t-1 \right)}{t\left(3t+2 \right)} >0$ là được.
Mà điều này luôn đúng. Thật vậy ta có :$$t^2+t+1 - \frac{\left(t+1 \right)\left(2t+1 \right) \left(t^2-t-1 \right)}{t\left(3t+2 \right)}=\frac{t^4+4t^3+t^2+6t+1}{t(3t+2)} >0, x \ge \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$Do đó phương trình $(2)$ không thể có nghiệm vượt nghiệm $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Vậy nghiệm lón nhất của phương trình là :$t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Do đó nghiệm nhỏ nhất của phương trình chính là $x=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

P/S : Không biết đây đúng là ý đồ của Hồng chưa? Nhưng nếu theo hướng này thì quả thật đây là bài toán hay, chỗ phân đoạn đánh giá, vì con phố quen thiết nghỉ rằng với tâm trạng chung của học sinh thì đánh số với số dương bao giờ cũng có vẻ dễ chịu hơn với số âm.
Phù gõ mệt chết đi được. Hy vọng là đúng, nếu không chắc như vầy quá


TRIỆU TẤM LÒNG NGƯỜI CON VIỆT HƯỚNG VỀ BIỂN ĐÔNG


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Con phố quen 
Nguyễn Duy Hồng (09-10-2013)
  #3  
Cũ 09-10-2013, 23:17
Avatar của Nguyễn Duy Hồng
Nguyễn Duy Hồng Nguyễn Duy Hồng đang ẩn
Điều Hành Diễn Đàn
Đến từ: Sóc Sơn - Hà Nội
Nghề nghiệp: Kỹ Sư Xây Dựng
 
Cấp bậc: 35 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 86 / 869
Điểm: 611 / 11993
Kinh nghiệm: 76%

Thành viên thứ: 7332
 
Tham gia ngày: Mar 2013
Bài gửi: 1.835
Đã cảm ơn : 1.971
Được cảm ơn 1.849 lần trong 898 bài viết

Mặc định Re: Tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình: $x^{4}+\left(x^{2}+x+2 \right)\sqrt[3]{\left(2x-1 \right)^{4}}+4x=8x^{2}$

Nguyên văn bởi Con phố quen Xem bài viết
Nghe Hồng nói đây là dạng toán mới nên mom mem vào xem thế nào? Trước tiên là khen dạo này Hồng chế bài nhìn hình thức gọn gàng hơn và đẹp hơn.
Để khẳng định nghiệm của bài toán thay vì làm thuận, Con phố quen sẽ làm ngược lại vấn đề là tìm nghiệm lớn nhất. Ròi suy ngược vấn đề là xong.
Điều kiện :$x > \frac{1}{2}$. Ta biến đổi phương trình trở thành $$\frac{x^4-8x^2+4x}{x^2+x+2}=-\left(2x-1 \right)\sqrt[3]{2x-1}$$$$ \Leftrightarrow \frac{x^4-8x^2+4x}{x^2+x+2}+x\left(2x-1 \right) =\left(2x-1 \right)\left(x -\sqrt[3]{2x-1} \right)$$$$\Leftrightarrow \frac{x\left(3x-2 \right)\left(x^2+x-1 \right)}{x^2+x+2}=\left(2x-1 \right) \frac{\left(x-1 \right)\left(x^2+x-1 \right)}{x^2+x\sqrt[3]{2x-1} +\sqrt[3]{(2x-1)^2}}$$$$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}x^2+x-1 =0 \quad (1)\\ \frac{x\left(3x-2 \right)}{x^2+x+2}=\frac{\left(x-1 \right)\left(2x-1 \right)}{x^2+x\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{(2x-1)^2}} \quad (2)\end{matrix} \right.$$ Với $(1)$ ta có : $x^2+x-1 =0 \Leftrightarrow x =\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Đối chiếu điều kiện ta có : $x =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$
Bây giờ vấn đề nằm ở chỗ phương trình $(2)$, ta chỉ cần đi chứng minh rằng phương trình $(2)$ không có nghiệm vượt nghiệm $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ để từ đó kết luận nghiệm của phương trình đã cho luôn.
Ta có phương trình $(2)$ được biến đổi trở thành phương trình sau : $$x^2+x\sqrt[3]{2x-1}+\sqrt[3]{(2x-1)^2}= \frac{\left(x-1 \right)\left(2x-1 \right) \left(x^2+x-1 \right)}{x\left(3x-2 \right)}$$ Nhưng bây giờ vấn đề khác lại nảy sinh ra. Thật vậy với $x \ge \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ thì $x(3x-2)$ vẫn có thể bằng $0$, do đó thật quả khó khăn để xét. Bây giờ ta ước gì khi $x(3x-2)$ luôn dương để ta có thể thoải mái trong cách tạo phân số . Mà muốn vậy, ta liền đổi biến $x$ thành biến $-x$ ngay tức khắc sẽ có điều đó liền lập tức.
Thật vậy :$-x \left(3(-x) -2 \right)=x(3x+2).$
Mà nếu đổi như vậy, ta liền có nghiệm lớn nhất trong hai nghiệm tìm được bây giờ chính là $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Nghiệm mới này hoàn toàn hợp lí cho $x(3x+2) \ne 0$. Vậy rõ ràng bước ban đầu tuy là tách liên hợp thành công nhưng lại vướng phải phương trình $(2)$ không thực chắc, mà trong giải liên hợp sự đòi hỏi đánh giá "chắc" là một nhu cầu hết sức quan trọng. Vì ta không những cần "chắc" mà còn đòi hỏi phải tinh giản trong đánh giá nữa mới là vấn đề then chốt. Vậy trở lại bài toán, trước tiên đi vào giải ta sẽ đổi biến cho chắc.
Thay biến $x$ bằng biến $t=-x$ ta thu được phương trình sau : $$t^{4}+\left(t^{2}-t+2 \right)\sqrt[3]{\left(2t+1 \right)^{4}}-4t=8t^{2}$$ Điều kiện : $t \ge -\frac{1}{2}$. Biến đổi phương trình vừa thay biến thành phương trình :$$\frac{t^4-8t^2-4t}{t^2-t+2}=-\left(2t+1 \right)\sqrt[3]{2t+1}$$$$ \Leftrightarrow \frac{t^4-8t^2-4t}{t^2-t+2}+t\left(2t+1 \right) =\left(2t+1 \right)\left(t -\sqrt[3]{2t+1} \right)$$$$\Leftrightarrow \frac{t\left(3t+2 \right)\left(t^2-t-1 \right)}{t^2-+2}=\left(2t+1 \right) \frac{\left(t+1 \right)\left(t^2-t-1 \right)}{t^2+t\sqrt[3]{2t+1} +\sqrt[3]{(2t+1)^2}}$$$$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}t^2-t-1 =0 \quad (1)\\ \frac{t\left(3t+2 \right)}{t^2-t+2}=\frac{\left(t+1 \right)\left(2t+1 \right)}{t^2+t\sqrt[3]{2t+1}+\sqrt[3]{(2t+1)^2}} \quad (2)\end{matrix} \right.$$Với $(1)$ ta có : $t^2-t-1 =0 \Leftrightarrow t =\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Đối chiếu điều kiện ta có : $t =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
Ta đi chứng minh phương trình $(2)$ không có nghiệm $t \ge \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Thật vậy, phương trình $(2)$ được biến đổi thành phương trình : $$t^2+t\sqrt[3]{2t+1}+\sqrt[3]{(2t+1)^2}= \frac{\left(t+1 \right)\left(2t+1 \right) \left(t^2-t-1 \right)}{t\left(3t+2 \right)}$$ Ta có với $t \ge \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thì $t^2+t\sqrt[3]{2t+1}+\sqrt[3]{(2t+1)^2} >t^2+t+1$.
Do đó ta chỉ cần chỉ ra được : $t^2+t+1 - \frac{\left(t+1 \right)\left(2t+1 \right) \left(t^2-t-1 \right)}{t\left(3t+2 \right)} >0$ là được.
Mà điều này luôn đúng. Thật vậy ta có :$$t^2+t+1 - \frac{\left(t+1 \right)\left(2t+1 \right) \left(t^2-t-1 \right)}{t\left(3t+2 \right)}=\frac{t^4+4t^3+t^2+6t+1}{t(3t+2)} >0, x \ge \frac{1+\sqrt{5}}{2}$$Do đó phương trình $(2)$ không thể có nghiệm vượt nghiệm $t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Vậy nghiệm lón nhất của phương trình là :$t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Do đó nghiệm nhỏ nhất của phương trình chính là $x=-\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

P/S : Không biết đây đúng là ý đồ của Hồng chưa? Nhưng nếu theo hướng này thì quả thật đây là bài toán hay, chỗ phân đoạn đánh giá, vì con phố quen thiết nghỉ rằng với tâm trạng chung của học sinh thì đánh số với số dương bao giờ cũng có vẻ dễ chịu hơn với số âm.
Phù gõ mệt chết đi được. Hy vọng là đúng, nếu không chắc như vầy quá

Đầu tiên phải nói lời giải của anh quá hay và đúng ý tưởng của em. Ý tưởng của em là chế phương trình mà việc giải nó trên R (trên tập xác đinh) là việc khó hoặc không thể giải được, nhưng việc giải nó trên một tập con (Tập con của TXĐ ) là hoàn toàn giải được. Do vây câu hỏi ở dạng toán này là tìm nghiệm lớn nhất hoặc tìm nghiệm nhỏ nhất của phương trình.

Em nghĩ đây là một dạng toán hay, đòi hỏi tư duy, cách giải của anh đúng ý tưởng nhưng cách của em thì gọn hơn một chút ( hehe tác giả mà )

Nhưng thực sự em vẫn chưa chế được bài hay theo ý muốn


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Chứng minh phương trình mũ có nghiệm thực dương duy nhất Trangsf Hỏi và Giải đáp nhanh các bài Toán 1 26-05-2016 22:34
Tìm tất cả các nghiệm lớn hơn 1 của phương trình $\sqrt{x^2+1}+\sqrt{2}=(\sqrt{3-x}+\sqrt{4-2x})(1+\sqrt{2-x})$ jupiterhn9x Giải phương trình Vô tỷ 1 21-05-2016 17:59
Chuyên đề tổng hợp về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Tai lieu [Tài liệu] Phương trình-BPT vô tỷ 0 15-05-2016 08:45
Chứng minh rằng với mọi giá trị của m khác không thì phương trình sau luôn có nghiệm $$\frac{m}{{{x^2} - x}} + \frac{{{m^3} + m}}{{{x^2} - 4}} = \sqrt {{m^2} - m + 1} $$ hoangphilongpro Giới hạn hàm số - Giới hạn dãy số 0 28-04-2016 12:47
Tuyển tập Hệ phương trình giải được bằng phương pháp đánh giá Phạm Kim Chung [Tài liệu] Hệ phương trình 92 05-01-2016 11:15



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014