Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh BĐT sau: $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$ - Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TRẮC NGHIỆM giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 GIẢI TOÁN ONLINE giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload-File giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan TOÁN OLYMPIC - HỌC SINH GIỎI giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI TOÁN ĐẠI SỐ HSG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị

Trả lờiGui De Tai Moi
 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị

  #1  
Cũ 06-09-2013, 13:57
Avatar của tu230596
tu230596 tu230596 đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 3 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 55
Điểm: 6 / 748
Kinh nghiệm: 20%

Thành viên thứ: 9359
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 20
Đã cảm ơn : 10
Được cảm ơn 5 lần trong 4 bài viết

Lượt xem bài này: 459
Mặc định Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh BĐT sau: $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  tu230596 
dienhosp3 (06-09-2013)
  #2  
Cũ 06-09-2013, 15:26
Avatar của minhcanh95
minhcanh95 minhcanh95 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Diễn đàn Mathscope
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Bóng đá
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 147
Điểm: 21 / 1923
Kinh nghiệm: 89%

Thành viên thứ: 14301
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 64
Đã cảm ơn : 6
Được cảm ơn 56 lần trong 39 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh BĐT sau: $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

Nguyên văn bởi tu230596 Xem bài viết
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh BĐT sau:
$\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$
Bất đẳng thức đã cho tương đương với $\frac{1}{{2 - a}} - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2 - b}} - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2 - c}} - \frac{1}{2} \ge \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{{2 - a}} + \frac{b}{{2 - b}} + \frac{c}{{2 - c}} \ge 3$
Theo Cauchy-Schwarz, ta có $\sum {\frac{a}{{2 - a}}} = \sum {\frac{{{a^2}}}{{2a - {a^2}}}} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{2{{(a + b + c)}} - 3}}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh ${(a + b + c)^2} \ge 6{(a + b + c)} - 9$. Dễ thấy bất đẳng thức này tương đương với ${(a + b + c - 3)^2} \ge 0$ nên ta có đpcm. $\blacksquare$
Có thế chứng minh theo cách khác như sau : Theo Cauchy-Schwarz, ta có $$\sum {\frac{a}{{2 - a}}} = \sum {\frac{{{a^4}}}{{2{a^3} - {a^4}}}} \ge \frac{{{{({a^2} + {b^2} + {c^2})}^2}}}{{2({a^3} + {b^3} + {c^3}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})}} = \frac{9}{{2({a^3} + {b^3} + {c^3}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})}}$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $$2({a^3} + {b^3} + {c^3}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4}) \le 3 = {a^2} + {b^2} + {c^2}$$
Sử dụng AM-GM, ta có ${a^4} + {a^2} \ge 2{a^3},{b^4} + {b^2} \ge 2{b^3},{c^4} + {c^2} \ge 2{c^3}$
Cộng lại ta sẽ được bất đẳng thức trên.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  minhcanh95 
dienhosp3 (06-09-2013)
  #3  
Cũ 06-09-2013, 15:58
Avatar của Tống Văn Nghĩa
Tống Văn Nghĩa Tống Văn Nghĩa đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: THPT
Nghề nghiệp: ABC
Sở thích: Tự do
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 548
Điểm: 210 / 7910
Kinh nghiệm: 95%

Thành viên thứ: 2652
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 631
Đã cảm ơn : 329
Được cảm ơn 485 lần trong 271 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh BĐT sau: $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

Nguyên văn bởi minhcanh95 Xem bài viết
Bất đẳng thức đã cho tương đương với $\frac{1}{{2 - a}} - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2 - b}} - \frac{1}{2} + \frac{1}{{2 - c}} - \frac{1}{2} \ge \frac{3}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{{2 - a}} + \frac{b}{{2 - b}} + \frac{c}{{2 - c}} \ge 3$
Theo Cauchy-Schwarz, ta có $\sum {\frac{a}{{2 - a}}} = \sum {\frac{{{a^2}}}{{2a - {a^2}}}} \ge \frac{{{{(a + b + c)}^2}}}{{2{{(a + b + c)}^2} - 3}}$
Vậy ta chỉ cần chứng minh ${(a + b + c)^2} \ge 6{(a + b + c)^2} - 9$. Dễ thấy bất đẳng thức này tương đương với ${(a + b + c - 3)^2} \ge 0$ nên ta có đpcm. $\blacksquare$
Có thế chứng minh theo cách khác như sau : Theo Cauchy-Schwarz, ta có $$\sum {\frac{a}{{2 - a}}} = \sum {\frac{{{a^4}}}{{2{a^3} - {a^4}}}} \ge \frac{{{{({a^2} + {b^2} + {c^2})}^2}}}{{2({a^3} + {b^3} + {c^3}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})}} = \frac{9}{{2({a^3} + {b^3} + {c^3}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4})}}$$
Vậy ta chỉ cần chứng minh $$2({a^3} + {b^3} + {c^3}) - ({a^4} + {b^4} + {c^4}) \le 3 = {a^2} + {b^2} + {c^2}$$
Sử dụng AM-GM, ta có ${a^4} + {a^2} \ge 2{a^3},{b^4} + {b^2} \ge 2{b^3},{c^4} + {c^2} \ge 2{c^3}$
Cộng lại ta sẽ được bất đẳng thức trên.
Chổ màu đỏ giải thích rõ hơn được không bạn ?
Theo mình có thể chứng minh theo hướng này:
Vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$nên ta có $a,b,c\in (0;\sqrt{3}).$
Bây giờ ta chứng minh $ \frac{1}{2-x}\geq \frac{x^{2}+1}{2}$ với $ x\in (0;\sqrt{3})$.
Ta có : $\frac{1}{2-x}-\frac{x^{2}+1}{2}=\frac{x(x-1)^{2})}{2(2-x)}\geq 0$
Vậy nếu thay x lần lượt bởi a,b,c ta được:
$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{2}=3. Dấu "=" khi a=b=c=1$


Còn sống là còn nỗ lực


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 06-09-2013, 16:42
Avatar của minhcanh95
minhcanh95 minhcanh95 đang ẩn
Thành viên Chính thức
Đến từ: Diễn đàn Mathscope
Nghề nghiệp: Học sinh
Sở thích: Bóng đá
 
Cấp bậc: 6 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 147
Điểm: 21 / 1923
Kinh nghiệm: 89%

Thành viên thứ: 14301
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 64
Đã cảm ơn : 6
Được cảm ơn 56 lần trong 39 bài viết

Mặc định Re: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2 = 3$. Chứng minh BĐT sau: $\frac{1}{2-a} + \frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c} \geq 3$

Nguyên văn bởi tongvannghia Xem bài viết
Chổ màu đỏ giải thích rõ hơn được không bạn ?
Theo mình có thể chứng minh theo hướng này:
Vì $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$nên ta có $a,b,c\in (0;\sqrt{3}).$
Bây giờ ta chứng minh $ \frac{1}{2-x}\geq \frac{x^{2}+1}{2}$ với $ x\in (0;\sqrt{3})$.
Ta có : $\frac{1}{2-x}-\frac{x^{2}+1}{2}=\frac{x(x-1)^{2})}{2(2-x)}\geq 0$
Vậy nếu thay x lần lượt bởi a,b,c ta được:
$\frac{1}{2-a}+\frac{1}{2-b}+\frac{1}{2-c}\geq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+3}{2}=3. Dấu "=" khi a=b=c=1$
À, mình viết nhầm tí, đã sửa lại như trên.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:
Chủ đề mới nhất trong chuyên mục

giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Chủ đề tương tự
Chủ đề Người khởi xướng chủ đề Diễn đàn Trả lời Bài cuối
Cho các số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{a^{2}+b^{2}}{(a-b)^{2}}\geq \frac{5}{2}$ pcfamily Đại số lớp 8 4 20-06-2016 22:22
Chứng minh Các BĐT đa thức bậc 4 ba biến thực trên máy tính Inspectorgadget [Tài liệu] Bất đẳng thức 0 27-04-2016 12:45
Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều $(\sqrt x + 1)\sqrt y + 1) \ge 4$ xuanvy2005 Bất đẳng thức - Cực trị 1 25-04-2016 18:18
Cho a , b và c là các số thực dương và thỏa mãn :${b^2} > ac$. Chứng minh rằng :$$a{(a - b)^4} + 4a{b^2} + c > 2b({a^2} + {b^2})$$ hoangphilongpro Bất đẳng thức - Cực trị 0 21-04-2016 11:41
Chứng minh rằng: $\sqrt{a+\frac{(b-c)^{2}}{4}}+\sqrt{b+\frac{(c-a)^{2}}{4}}+\sqrt{c+\frac{(a-b)^{2}}{4}}\leq 2$ Dsfaster134 Bất đẳng thức - Cực trị 4 23-02-2015 18:40



Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 

Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt



DIỄN ĐÀN K2PI.NET.VN | THÁNG 12.2011
Giải toán Online | Đề thi Toán | Luyện thi Toán | Tài liệu môn Toán
Thay đổi tên miền K2pi.Net thành K2pi.Net.Vn từ ngày 01-10-2014