Tìm giá trị nhỏ nhất của :$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^ {2}}{x+2y}$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 25-10-2014, 16:41
Avatar của Trọng Nhạc
Trọng Nhạc Trọng Nhạc đang ẩn
Quản Lý Diễn Đàn
Đến từ: Cà Mau
Nghề nghiệp: thợ toán
Sở thích: yên lặng
 
Cấp bậc: 26 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 643
Điểm: 299 / 13079
Kinh nghiệm: 75%

Thành viên thứ: 9728
 
Tham gia ngày: Apr 2013
Bài gửi: 898
Đã cảm ơn : 975
Được cảm ơn 898 lần trong 485 bài viết

Lượt xem bài này: 428
Mặc định Tìm giá trị nhỏ nhất của :$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^ {2}}{x+2y}$

Cho x,y,z> 0 thỏa mãn:$3\left(x^{4} +y^{4}+z^{4}\right)-7\left(x^{2} +y^{2}+z^{2}\right)+12=0$
Tìm giá trị nhỏ nhất của :$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^ {2}}{x+2y}$




Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 25-10-2014, 18:24
Avatar của ndkmath1
ndkmath1 ndkmath1 đang ẩn
Quản Lý Chuyên Mục
Đến từ: Hà Nội
 
Cấp bậc: 13 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 318
Điểm: 72 / 6653
Kinh nghiệm: 72%

Thành viên thứ: 4163
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 216
Đã cảm ơn : 168
Được cảm ơn 289 lần trong 146 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của :$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^ {2}}{x+2y}$

Nguyên văn bởi Trọng Nhạc Xem bài viết
Cho x,y,z> 0 thỏa mãn:$3\left(x^{4} +y^{4}+z^{4}\right)-7\left(x^{2} +y^{2}+z^{2}\right)+12=0$
Tìm giá trị nhỏ nhất của :$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^ {2}}{x+2y}$
Lời giải.
Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
$P=\dfrac{x^4}{x^2(y+2z)}+\dfrac{y^4}{y^2(z+2x)}+
\dfrac{z^4}{z^2(x+2y)}$
$\\ \geqslant \dfrac{(x^2+y^2+z^2)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2(xy^2+yz^2 +zx^2)}\geqslant \sqrt{\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}}$

Mà $0=3\left(x^{4} +y^{4}+z^{4}\right)-7\left(x^{2} +y^{2}+z^{2}\right)+12\\ \geqslant (x^2+y^2+z^2)^2-7\left(x^{2} +y^{2}+z^{2}\right)+12\\ \Rightarrow 4\geqslant x^2+y^2+z^2 \geqslant 3$

Do đó $P\geqslant 1$

Khi $x=y=z=1$ thì $P=1$ nên giá trị nhỏ nhất của $P$ là $1$.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 25-10-2014, 18:32
Avatar của Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Nguyễn Văn Quốc Tuấn Nguyễn Văn Quốc Tuấn đang ẩn
Nguyễn Văn Quốc Tuấn
Đến từ: Hà Tĩnh
Nghề nghiệp: Sinh Viên
Sở thích: Hacker mũ trắng
 
Cấp bậc: 18 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 442
Điểm: 134 / 7959
Kinh nghiệm: 68%

Thành viên thứ: 19484
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 403
Đã cảm ơn : 54
Được cảm ơn 493 lần trong 193 bài viết

Mặc định Re: Tìm giá trị nhỏ nhất của :$P=\frac{x^{2}}{y+2z}+\frac{y^{2}}{z+2x}+\frac{z^ {2}}{x+2y}$

Ta có: \[\begin{array}{l}
3\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) - 7\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + 12 \ge {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} - 7\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + 12\\
\Leftrightarrow {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} - 7\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) + 12 \le 0\\
\Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 4} \right]\left[ {\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 3} \right] \le 0\\
\Leftrightarrow 3 \le {x^2} + {y^2} + {z^2} \le 4
\end{array}\]

Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có:
\[P = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}y + 2{x^2}z}} + \frac{{{y^4}}}{{z{y^2} + 2{y^2}x}} + \frac{{{z^4}}}{{x{z^2} + 2y{z^2}}} \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{{x^2}y + {y^2}z + {z^2}x + 2z{x^2} + 2x{y^2} + 2y{z^2}}}\]

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x^2}y + {y^2}z + {z^2}x \le \frac{{{x^4} + {y^2}}}{2} + \frac{{{y^4} + {z^2}}}{2} + \frac{{{z^4} + {x^2}}}{2}\\
2z{x^2} + 2x{y^2} + 2y{z^2} \le {x^4} + {z^2} + {x^2} + {y^4} + {y^2} + {z^4}
\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow {x^2}y + {y^2}z + {z^2}x + 2z{x^2} + 2x{y^2} + 2y{z^2} \le \frac{{3\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right) + 3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}}{2} = 5\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 6\]

Khi đó \[P \ge \frac{{{{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)}^2}}}{{5\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 6}}\]

Đặt $\begin{array}{*{20}{c}}
{{x^2} + {y^2} + {z^2} = t}&{t \in \left[ {3;4} \right]}
\end{array}$
Xét hàm số: $\begin{array}{*{20}{c}}
{f\left( t \right) = \frac{{{t^2}}}{{5t - 6}}}&{t \in \left[ {3;4} \right]}
\end{array}$

Hàm số này đồng biến trên đoạn $t \in \left[ {3;4} \right] \Rightarrow f\left( t \right) \ge f\left( 3 \right) = 1$



Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:

Công cụ bài viết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên