Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán: Số phức - Lượng giác giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải bài tập Số phức


 
Công cụ bài viết Kiểu hiển thị
  #1  
Cũ 08-01-2013, 10:44
Avatar của catbuilata
catbuilata catbuilata đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 33 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 82 / 823
Điểm: 534 / 16632
Kinh nghiệm: 92%

Thành viên thứ: 2783
 
Tham gia ngày: Jan 2013
Bài gửi: 1.604

Lượt xem bài này: 2511
Mặc định Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$

Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #2  
Cũ 08-01-2013, 13:18
Avatar của Con phố quen
Con phố quen Con phố quen đang ẩn
Quản trị www.k2pi.net
 
Cấp bậc: 22 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 532
Điểm: 197 / 11094
Kinh nghiệm: 29%

Thành viên thứ: 897
 
Tham gia ngày: Oct 2012
Bài gửi: 591

Mặc định

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$
Bài toán này con phố quen có hướng đi sau :
Đặt $z=x+yi, \ x,y \in \mathbb R.$ Từ điều kiện :$\left|z \right|=1 \Rightarrow x^2+y^2=1 \Leftrightarrow y^2=1-x^2 \ge 0 \Rightarrow -1 \le x \le 1.$
Mặt khác ta có : $\ z^2-z+1=(x+yi)^2-(x+yi)+1=2x^2-x+(2x-1)yi$
Do đó : $\left|z^2-z+1 \right| = \sqrt{(2x-1)^2(x^2+y^2)} =\left|2x-1 \right|.$
Lại có : $z+1=x+1 +yi \Rightarrow \left|z+1 \right|= \sqrt{2(x+1)}$
Vậy ta đưa bài toán về bài toán cơ bản sau :
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : $$f(x)=\sqrt{2(x+1)} + \left|2x-1 \right|$$ trên đoạn $\left[-1; \ 1 \right]$
Ta có hai trường hợp của bài toán :
  • Trường hợp 1 : Với $ \dfrac{1}{2} \le x \le 1 \Rightarrow 2x-1 \ge 0.$
    Do đó ta có : $f(x)=\sqrt{2(x+1)} +2x-1$ có $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2(x+1)}}+2 >0, \ \forall x \in \left[\dfrac{1}{2}; 1 \right]$
    Từ đây ta có : $\mbox{max}f(x)=f(1)=3 \ ; \ \mbox{min}f(x)=f \left(\dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{3}.$
  • Trường hợp 2 : Với $-1 \le x < \dfrac{1}{2} \Rightarrow 2x-1 <0.$
    Do đó ta có : $f(x)=\sqrt{2(x+1)}+1-2x$ có $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2(x+1)}}-2, \ f'(x)=0 \Leftrightarrow x=-\dfrac{7}{8}.$
    Và có :$f(-1)=3, \ f \left(\dfrac{-7}{8} \right)=\dfrac{13}{4} \ , \ f \left(\dfrac{1}{2} \right)=\sqrt{3}.$
    Trong trường hợp này lưu ý ta không tồn tại giá trị nhỏ nhất mà chỉ có giá trị lớn nhất là $\dfrac{13}{4}$ đạt được khi $x= -\dfrac{7}{8}$
Tới đây ta dùng phép so sánh cả hai trường hợp ta rút ra kết luận :
  • Giá trị lớn nhất của $P= \dfrac{13}{4}$ lúc đó $z= -\dfrac{7}{8} \pm \dfrac{\sqrt{15}}{8}i.$
  • Giá trị nhỏ nhất của $P= \sqrt 3$ lúc đó $z=\dfrac{1}{2} \pm +\dfrac{\sqrt{3}}{2}i.$


TRIỆU TẤM LÒNG NGƯỜI CON VIỆT HƯỚNG VỀ BIỂN ĐÔNG


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #3  
Cũ 25-03-2014, 20:58
Avatar của LaMort
LaMort LaMort đang ẩn
Cộng Tác Viên
 
Cấp bậc: 8 [♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 189
Điểm: 30 / 3292
Kinh nghiệm: 57%

Thành viên thứ: 18146
 
Tham gia ngày: Dec 2013
Bài gửi: 92

Mặc định Re: Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$
Vì mỗi số phức đều có căn bậc 2 của nó, nên giả sử $u$ là căn bậc 2 của $z$ thế thì $|z|=|u^2|=u\bar u=1$, từ đó $|u|=|\bar u|=1$ vì vậy\[\begin{align*}
P &= \left| {z + 1} \right| + \left| {{z^2} - z + 1} \right|\\
&= |\bar u|\left| {{u^2} + 1} \right| + |{{\bar u}^2}|\left| {{u^4} - {u^2} + 1} \right|\\
&= \left| {u + \bar u} \right| + \left| {{u^2} - 1 + {{\bar u}^2}} \right|\\
&= \left| {u + \bar u} \right| + \left| {{{\left( {u + \bar u} \right)}^2} - 3} \right|
\end{align*}\]Để ý rằng $u + \bar u\in\mathbb R$ (nó là 2 lần phần thực của $u$), cho nên đặt $|u + \bar u|=t\in\mathbb R$ có\[P=t+|3-t^2|\]Để ý rằng $0\le t\le |u|+|\bar u|=2$, nên $t+\sqrt 3\ge 1$ do đó\[P=t+(t+\sqrt 3)|\sqrt 3-t|\ge t+|\sqrt 3-t|\ge t+\sqrt 3-t=\sqrt 3\]Đồng thời\[t - \frac{{13}}{4} < 0 < 3 - {t^2} = \frac{{13}}{4} - t - {\left( {t - \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{{13}}{4} - t\]Vậy $P=t+|3-t^2|\le t+\dfrac{13}{4}-t=\dfrac{13}{4}$.
Thêm nữa, khi $z=\dfrac{1+i\sqrt 3}{2}$ thì $P=\sqrt 3$ và khi $z=u^2$ với $u=\dfrac{1}{4}+i\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ thì $P=\dfrac{13}{4}$. Vậy nên giá trị nhỏ nhất cần tìm là $\sqrt 3$, còn giá trị lớn nhất cần tìm là $\dfrac{13}{4}$.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
  #4  
Cũ 17-04-2014, 03:17
Avatar của Mathplus
Mathplus Mathplus đang ẩn
Thành viên Chính thức
 
Cấp bậc: 4 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 85
Điểm: 10 / 1446
Kinh nghiệm: 40%

Thành viên thứ: 19866
 
Tham gia ngày: Feb 2014
Bài gửi: 32

Mặc định Re: Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$

Nguyên văn bởi catbuilata Xem bài viết
Cho số phức$ z$ có $|z| = 1$. Tìm min và max của $P=\left| z+1 \right|+\left| {{z}^{2}}-z+1 \right|$
Do $|z|=1$ nên $$P=|z+1|+|z+\overline{z}-1|=\sqrt{2+z+\overline{z}}+|z+\overline{z}-1|.$$
Đặt $2+z+\overline{z}=x$ và có $|z+\overline{z}|\leq 2\Rightarrow 0\leq x\leq 4$.
Do đó $$P=\begin{cases}
\sqrt{x}+x-3\ \ \ \text{nếu}\ \ 4\geq x\geq 3\\\sqrt{x}+3-x\ \ \ \text{nếu}\ \ 0\leq x<3.\end{cases}$$
Mặt khác với $4\geq x\geq 3$ thì $3\geq P\geq \sqrt{3}$ và với $3> x \geq 0$ thì $P=-\left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{13}{4}\leq \dfrac{13}{4}$ và từ $-\dfrac{1}{2}\leq \sqrt{x}-\dfrac{1}{2}<\sqrt{3}-\dfrac{1}{2}$ nên $P>\sqrt{3}$.\\
Vậy với mọi $x\in [0;4]$ thì $\sqrt{3}\leq P\leq \dfrac{13}{4}$.
Do đó $P_{\min}=\sqrt{3}$ tại $z=\dfrac{1}{2}+\dfrac{i\sqrt{3}}{2}$ và $P_{\max}=\dfrac{13}{4}$ tại $z=-\dfrac{7}{8}+\dfrac{i\sqrt{15}}{8}$.


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Từ khóa
$pleft|, $|z|, 1, 1$, , của, cho, left|, max, min, phức$, right|, right|$, số, tìm, , z$, z2z
Công cụ bài viết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên