Topic về bất đẳng thức hiện đại - Trang 2

TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TRANG CHỦ giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TTLT THANH LONG giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12TÀI LIỆU TOÁN THPT giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 ĐỀ THI THPT QUỐC GIA giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12 Upload giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12ĐĂNG KÍ THÀNH VIÊN
 
giải toán online, giải bài toán, giải toán, cách giải bài toán, giải toán 10, đáp án môn toán, đề thi thử môn toán, luyen thi toan, tài liệu ôn thi đại học, boi duong hoc sinh gioi, boi duong hsg, de thi vao lop 10, toán lớp 10, toán lớp 11, toán lớp 12   TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan GIẢI BÀI TẬP TOÁN ONLINE giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Giải toán Đại số luyện thi Đại học giai toan, de thi trac nghiem, tai lieu mon toan, de thi thpt quoc gia, luyen thi dai hoc, hoc sinh gioi mon toan Bất đẳng thức - Cực trị


 
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này Kiểu hiển thị
  #5  
Cũ 29-12-2013, 14:52
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 69 / 690
Điểm: 351 / 11586
Kinh nghiệm: 63%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.055
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.514 lần trong 605 bài viết

Mặc định Re: Topic về bất đẳng thức hiện đại

Nguyên văn bởi ma29 Xem bài viết
Bài 2 : Cho các số dương $a,b,c$ . Chứng minh rằng :
$$P=\sum \frac{ab}{3a^2+b^2}\leq \frac{3}{4}$$
Đặt $$\dfrac{a}{b}=x; \dfrac{b}{c}=y; \dfrac{c}{a}=z \rightarrow xyz=1.$$
Ta có: $3(t+1)(3t^2+1)-8t(t^2+t+1)= (t-1)^2(t+3)\geq 0$, Suy ra:
$$P=\dfrac{x}{3x^2+1}+\dfrac{y}{3y^2+1}+\dfrac{z}{ 3z^2+1} \leq \dfrac{3}{8}\left(\dfrac{x+1}{x^2+x+1}+\dfrac{y+1} {y^2+y+1}+\dfrac{z+1}{z^2+z+1}\right)\leq \dfrac{3}{4}$$
Vậy $P_{max}=\dfrac{3}{4}$ khi $a=b=c$


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Miền cát trắng (29-12-2013), Nguyễn Duy Hồng (29-12-2013)
  #6  
Cũ 29-12-2013, 14:52
Avatar của ma29
ma29 ma29 đang ẩn
songoku
 
Cấp bậc: 19 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 0 / 461
Điểm: 146 / 7349
Kinh nghiệm: 45%

Thành viên thứ: 13065
 
Tham gia ngày: Jun 2013
Bài gửi: 439
Đã cảm ơn : 202
Được cảm ơn 279 lần trong 119 bài viết

Mặc định Re: Topic về bất đẳng thức hiện đại

Bài 5: Cho các số thực không âm $a,b,c $. Chứng minh rằng :
$$\left(ab+bc+ca \right)\left(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+ \frac{1}{(c+a)^2} \right)\geq \frac{9}{4}$$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Miền cát trắng (29-12-2013), Nguyễn Duy Hồng (29-12-2013)
  #7  
Cũ 29-12-2013, 15:08
Avatar của NTH 52
NTH 52 NTH 52 đang ẩn
Bùi Đình Hiếu
Đến từ: VLPT, sedo
Nghề nghiệp: SV-smod-mod
Sở thích: Toán-Lí
 
Cấp bậc: 28 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 69 / 690
Điểm: 351 / 11586
Kinh nghiệm: 63%

Thành viên thứ: 4755
 
Tham gia ngày: Feb 2013
Bài gửi: 1.055
Đã cảm ơn : 287
Được cảm ơn 1.514 lần trong 605 bài viết

Mặc định Re: Topic về bất đẳng thức hiện đại

Nguyên văn bởi ma29 Xem bài viết
Bài 5: Cho các số thực không âm $a,b,c $. Chứng minh rằng :
$$\left(ab+bc+ca \right)\left(\frac{1}{(a+b)^2}+\frac{1}{(b+c)^2}+ \frac{1}{(c+a)^2} \right)\geq \frac{9}{4}$$
Đây chính là bất đẳng thức I ran 96 nổi tiếng.
Có nhiều cách giải cho bài toán này.
Cách 1: SOS:
Đặt $x+y=a,y+z=b,z+x=c$.
Ta cần chứng minh :

$$\Leftrightarrow (2\sum ab - \sum a^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}) \geq \frac{9}{4}$$

$$\Leftrightarrow (\frac{2}{bc}-\frac{1}{a^2})(b-c)^2+(\frac{2}{ca}-\frac{1}{b^2})(c-a)^2+(\frac{2}{ab}-\frac{1}{c^2})(a-b)^2 \geq 0$$

$$\Leftrightarrow S_a(b-c)^2+S_b(c-a)^2 + S_c(a-b)^2 \geq 0$$

Giải sử $a\geq b \geq c \Rightarrow S_a \geq 0$. Sử dụng tiêu chuẩn 4 của S.O.S ta chỉ cần CM : $b^2S_b+c^2S_c \geq 0 \Leftrightarrow b^3+c^3 \geq abc$.

Không khó thấy rằng điều trên hiển nhiên đúng.


MY FACEBOOK:https://www.facebook.com/hieu.buidinh.54
MY BLOG:http://hieubuidinh.blogspot.com
Cuốn sách mới nhất: Chinh phục bài tập Vật lý - Điện xoay chiều
Bìa sách: https://www.facebook.com/photo.php?f...type=1&theater
Trích đoạn: http://goo.gl/WNNkZi
Nhóm giải đáp thắc mắc liên quan tới cuốn sách: https://www.facebook.com/groups/1559972954254499/


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Có 2 người đã cảm ơn cho bài viết này
Miền cát trắng (29-12-2013), Nguyễn Duy Hồng (29-12-2013)
  #8  
Cũ 29-12-2013, 15:43
Avatar của Nguyễn Thế Duy
Nguyễn Thế Duy Nguyễn Thế Duy đang ẩn
Cộng Tác Viên
Đến từ: Hải Hậu
Nghề nghiệp: Học sinh nghèo !!
Sở thích: Toán học
 
Cấp bậc: 29 [♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥♥ Bé-Yêu ♥]
Hoạt động: 70 / 706
Điểm: 370 / 10265
Kinh nghiệm: 25%

Thành viên thứ: 17501
 
Tham gia ngày: Nov 2013
Bài gửi: 1.111
Đã cảm ơn : 227
Được cảm ơn 2.023 lần trong 753 bài viết

Mặc định Re: Topic về bất đẳng thức hiện đại

Bài 5 : Iran 1996

WLOG, assume $x\ge y\ge z$. Now we use a lemma:
$\boxed{\text{Lemma}}$
We claim that $\sum_{cyc}\frac{1}{(x+y)^2}\geq \frac{1}{4xy}+\frac{2}{(x+z)(y+z)}$
Proof: The lemma is equivalent with:
$\left(\frac{1}{x+z}-\frac{1}{y+z}\right)^2\geq \frac{(x-y)^2}{4xy(x+y)^2}$
$\Longrightarrow 4xy(x+y)^2\geq (x+z)^2(y+z)^2$
But, as $x\ge y\ge z$ so $4xy\ge 4y^2\ge (y+z)^2$
& $(x+y)^2\geq (x+z)^2$ so the lemma is proved.
$\boxed{\text{Using this lemma: }}$
The inequality
$\implies (xy+yz+zx)\left(\frac{1}{4xy}+\frac{2}{(x+z)(y+z)} \right)\geq \frac{9}{4}$
$\implies \frac{1}{4}+\frac{z(x+y)}{4xy}+\frac{2(xy+yz+zx)}{ (x+z)(y+z)}\geq \frac{9}{4}$
$\implies \frac{z(x+y)}{4xy}+2-\frac{2z^2}{(x+z)(y+z)}\geq 2\left[\because 2(xy+yz+zx)=2(x+z)(y+z)-2z^2\right]$
$\implies \frac{z(x+y)}{4xy}\geq \frac{2z^2}{(x+z)(y+z)}
\implies (x+y)(y+z)(z+x)\geq 8xyz.$
This easily follows from AM-GM. Hence proved.
This solution is really genial for its simplicity and brilliancy.... and also the easiest solution (in my opinion) possible


Gỉa sử $z$ là số bé nhất , khi đó $z^{2} \leq xz $ ; $yz$ và $x + y \leq 3$ nên ta có điều sau :

$\begin{align*}
P &\leq \left(x^2 - xy + y^2 \right)x^2y^2 \\
&= \left(\left(x + y \right)^2 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&\leq \left(9 - 3xy \right)x^2y^2 \\
&= 12 - 3\left(xy - 2 \right)^2\left(1 + xy \right) \\
&\leq 12
\end{align*}$

Do đó kết luận GTLN của $P$ bằng $12$ khi và chỉ khi $x = 2$ ; $y = 1$ ; $ z = 0$


Báo cáo bài viết xấu Trả lời với trích dẫn
Các thành viên sau đã cảm ơn bài viết của  Nguyễn Thế Duy 
Miền cát trắng (29-12-2013)
Trả lờiG?i Ð? Tài M?i Thích và chia sẻ bài viết này:


Đang xem bài viết : 1 (0 thành viên và 1 khách)
 


Từ khóa
bat dang thuc iran 96, ung dung bất đẳng thức iran 96
Công cụ bài viết Tìm trong chủ đề này
Tìm trong chủ đề này:

Tìm chi tiết
Kiểu hiển thị

Quyền viết bài
Bạn không thể gửi chủ đề mới
Bạn không thể gửi trả lời
Bạn không thể gửi file đính kèm
Bạn không thể sửa bài viết của mình

BB code đang Mở
Mặt cười đang Mở
[IMG] đang Mở
HTML đang Tắt


Copyright ©2011 - 2018 K2pi.Net.Vn

Liên hệ  ||  K2PI.NET.VN  ||   Lưu Trữ  ||   Lên trên